KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > (AINAKIN LÄHES) MATEMAATTINEN PULMA
4816. (Ainakin lähes) matemaattinen pulma
Juhani Heino14.5.2009 klo 00:05
Otsikko on luultavasti aika epäonnistunut, mutta en keksinyt parempaakaan - tarkoitus on laittaa vielä muitakin pulmia samaan säikeeseen jos porukalla ideoita riittää.Jos matematiikka ei ole tuttua tai se pelottaa, tässä saattaisi olla helpohko pääsytie siihen maailmaan: ei tarvita korkeampaa matematiikkaa eikä varsinaisesti edes lukuja.
Yhdistetään mielivaltaiset ruudut yhdeksi vihjealueeksi. Tai jos sanaristikot eivät olisi tuttuja, ilmaistaan sama toisin: rajataan mielivaltainen suljettu alue ruutupaperilta käyttämällä rajaviivoihin vain ruutujen sivuja.
Kaikilla mahdollisilla alueilla on parillinen:
a) viivanpätkien (ruudun mittaisten) määrä
b) viivojen määrä
Osoita kumpikin väite joko oikeaksi tai vääräksi.
2. Matti14.5.2009 klo 12:20
a) Jätetään vihjalueen keskellä olevat viivanpätkät vielä paikoilleen. Viivanpätkiä on nyt 4n kappaletta, jos ruutuja on n kappaletta. Kahdelle ruudulle yhteiset viivanpätkät on laskettu kahteen kertaan. Poistetaan nyt vihjealueen keskellä olevat viivanpätkät. Joka poistolla 4n pienenee kahdella, koska poistettavat viivanpätkät kuuluvat aina kahteen ruutuun. Jäljelle jää parillinen määrä. Mot.a) Toinen todistus. Piirretään alueen ylimmän (tai ylimpien) ruudun keskipisteen kautta vaakaviiva vihjealueen yli. Vasemmalta lähtien lasketaan kuinka monta kertaa vaakaviiva lävistää alueen reunan. Eka lävistyksellä mennään alueen ulkoa sisään, toka lävistyksellä sisältä ulos. Näin jatketaan. Viimeinen lävistys tapahtuu aina sisältä ulos, koska vihjealue on äärellinen. Lävistyksiä on siis parillinen määrä. Toistetaan sama alueen muillekin vaakariveille, ja kaikille pystyriveille. Jokainen viiva antaa parillisen määrän viivanpätkiä. Ja kaikki viivanpätkät tulevat nyt lävistetyksi kerran. Mot.
Viivojen määrä on sekin parillinen. Vaakaviivoja ja pystyviivoja on yhtä paljon. Tämä kuuluu ryhmään "selvähän tuo, mutta milläs sen todistat". Itselläni ei ainakaan vielä ole todistusta.
3. ++juh14.5.2009 klo 13:11
b) Viivat muodostavat murtoviivasilmukan, jossa joka toinen viiva on vaakasuora ja joka toinen pystysuora. Jos viivojen määrä olisi pariton, niin silmukassa olisi kaksi samansuuntaista viivaa peräkkäin. Siispä viivoja on parillinen määrä.
4. Matti14.5.2009 klo 13:43
Hieno todistus!
5. Jaska14.5.2009 klo 13:56
Vihjealueen rajojen sisäpuolelle jääviä pätkiä ei siis noteerata.
6. Jaska15.5.2009 klo 17:24
Tämä on melkein matemaattisen ohella melkein filosofinenkin, vaan ei mielestäni sofistinen.Maallikko A väittää B:lle, että on matemaattisesti mahdotonta, että Jumala olisi kaikkivaltias. Matemaatikko B pyytää A:ta todistamaan väitteensä. A esittää todistuksen, jota B ei pysty kumoamaan.
Mikä on sinun todistuksesi?
7. Tuomas L.15.5.2009 klo 18:46
Tämä ei ole kovin matemaattista, mutta vanha kysymys ainakin on, pystyykö kaikkivaltias Jumala luomaan niin ison kiven, ettei jaksa nostaa sitä.
8. Jaska15.5.2009 klo 20:14
Juu, tuo on kouluajoilta tuttu sofismi, mutta tuskin matemaattinen. Luomistyötä A versus B:kin liippaa. A: Pystyykö jumala piirtämään äärettömän suuren, ehdottoman täydellisen ympyrän. Meni helpoksi, vai mitä?
9. Juhani Heino15.5.2009 klo 21:40
++juh todisti b:n samalla tavalla kuin itsekin tein. Matinkin todistus on olennaisesti sama kuin mulla - oma versioni a:sta oli suunnilleen näin:Lisätään alueeseen ruutuja yksi kerrallaan. Aina kun jokin reunaviivoista osuu vanhaan, se poistetaan sekä uudesta ruudusta että vanhasta alueesta. Joka tapauksessa viivanpätkien lisäys on aina parillinen.
Kuten Jaska totesi, sisäpuolelle jääviä pätkiä ei noteerata. Jos noteerattaisiin, kyseessä olisi useampi alue. Ne voitaisiin laskea erikseen ja niistä jokaisessa olisi parillinen määrä. Jotkin viivat laskettaisiin useampaan kertaan mutta mitäs piirtäjä ei noudattanut ohjetta yhdestä alueesta :)
10. Juhani Heino15.5.2009 klo 22:37
Tämän löysin yli 20 vuotta sitten jostain tietokonelehdestä, joka lojui varusmiestoimikunnan kerhohuoneen kaapissa. Nyt löysin asialle englanninkielisen nimenkin kun kaivoin MathWorld-sivustoa, mutta antaa sen vielä olla ja kehitellään omin voimin.Kyse on aina vektoriparista eli kahdesta 1-ulotteisesta taulukosta. Näillä kahdella esimerkillä on ominaisuus 2:
{0, 5, 7} = {1, 3, 8}
ja
{1, 4, 4} = {2, 2, 5}
Näillä on ominaisuus 3:
{0, 5, 5, 10} = {1, 2, 8, 9}
ja
{1, 4, 5, 8} = {2, 2, 7, 7}
Näillä on ominaisuus 4:
{0, 3, 5, 5, 10, 10} = {1, 1, 6, 6, 8, 11}
ja
{1, 5, 5, 5, 10, 10} = {2, 2, 7, 7, 7, 11}
Vektoreita sopivasti kasvattamalla tässä ominaisuudessa voidaan edetä rajattoman pitkälle. Lukujono-säikeen perusteella arvelen, että joku osaa jo tämän perusteella selvittää mistä on kyse.
11. Jaska17.5.2009 klo 22:14
Missä viipyvät ehdotukset? En kehtaisi omaani esittää, kun on niin pelottavan yksinkertainen eli komponenttien permutointiin liittyvä (noilla lukuarvoilla).
12. Juhani Heino17.5.2009 klo 22:18
Ei liity permutointiin, joten laita ihmeessä mielenkiinnon vuoksi - voi löytyä yllättävä yhteys kuten usein matematiikassa.
13. Jaska17.5.2009 klo 22:47
No, siispä esimerkki. Oletetaan, että ominaisuus neljä tarkoittaa kuusi yli neljän noissa kuuden komponentin pareissa. Saadaan 15 kpl neljän luvun yhteenlaskettavia, joiden kaikkien summat poikkeavat kaikista toisen vektorin summista, kun taas molempien kokonaissumma on sama. Sitä vastoin niillä ei ole ominaisuutta 3, esim. ylemmässä parissa 3+5+5 ja 1+6+6.
14. Juhani Heino17.5.2009 klo 23:11
Ahaa, tajusin. Johtuu siitä että nämä on tehty mahdollisimman lyhyiksi. Tässä laajempi esimerkki jolla on ominaisuus 3:{0, 4, 5, 6, 7, 11} = {1, 3, 3, 8, 8, 10}
Tässä ainakin 7+5+0 = 8+3+1.
Annan jo vinkin että yhteenlaskusta on kyse, toisin vain kuin Jaskan ehdotuksessa.
15. Juhani Heino24.5.2009 klo 23:24
Lopetetaanpa arvuuttelu ja otetaan uudestaan esille, jos joku vaikka haluaisi pohtia asiaa. Homman nimi on Multigrade Equation, olisiko suomeksi vaikkapa moniasteyhtälö voiteluöljyihin viitaten :)Koska vektorit ovat yhtä suuria, niillä on triviaalisti sama 0. asteen summa. Kuten Jaska huomasi, kokonaissumma eli 1. asteen summa on myös sama. Yllä olevissa ominaisuus tarkoittaa että yhtäsuuruus pätee siihen asteeseen saakka.
16. Jaska25.5.2009 klo 00:35
Aijaa, se olikin noin yksinkertainen. Olisihan se pitänyt heti hoksata, mutta kun on yksinkertainen. Siis potenssien yhteenlaskusta on kyse.
17. Juhani Heino9.6.2009 klo 19:31
Testaanpa ratkeaako tässä merkkipulma eli näkyykö äärettömän merkki:∞
18. Juhani Heino7.8.2009 klo 22:34
Törmäsin tällaiseen omituisuuteen. On käytössä tällaiset nopat:1, 2, 2, 3, 3, 4
1, 3, 4, 5, 6, 8
Kun ne heitetään yhtä aikaa, mitä huomaatte tuloksista joita näillä saadaan?
19. Jukkis7.8.2009 klo 22:55
Taisin keksiä. Aika jännä.
20. Ari8.8.2009 klo 09:57
Näemmä tuloksetkin identtiset...!
21. Jaska8.8.2009 klo 15:12
Arin vastauksen perusteella silmälukujen summien todennäköisyydet ovat samat kuin normaalinopilla heitettäessä. Sanoisin silti mieluummin, että saattaa tuntua omituiselta.
22. Ari8.8.2009 klo 16:58
Jaska, on ne samat! Tuollaiset nopat on hankittava(=tehtävä itse?)!
23. Juhani Heino8.8.2009 klo 19:09
Todennäköisyysjakauma on tosiaan aivan sama kuin normaalinopilla. Tuota ei ole löydetty sattumalta vaan nopat on tehty tarkoituksella - näin jutun yhdessä emäfunktioiden harjoitussarjassa.Näytän yksinkertaisemman esimerkin: tetraedrin muotoiset nopat. Kuutioilla menee samalla idealla, emäfunktio vain on pidempi.
Tetraedrinopan emäfunktio on x + x^2 + x^3 + x^4. Kaksi noppaa tarkoittaa kertolaskua:
(x + x^2 + x^3 + x^4)(x + x^2 + x^3 + x^4)
= x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 4x^5 + 3x^6 + 2x^7 + x^8.
Siis 2 ja 8 esiintyvät yhdellä tavalla, 5 neljällä jne.
Mutta x + x^2 + x^3 + x^4 voidaan jakaa tekijöihin:
x(1 + x + x^2 + x^3) = x(1 + x^2)(1 + x)
Kahden nopan yhteistulos voidaankin jakaa eri tavalla kahdelle nopalle:
x(1 + x^2)(1 + x^2) = x + 2x^3 + x^5
x(1 + x)(1 + x) = x + 2x^2 + x^3
Nopiksi tulevat täten:
1, 3, 3, 5
1, 2, 2, 3
ja ne toimivat samoin kuin kaksi 1, 2, 3, 4 -noppaa.
Vielä hullumpaa on tiedossa: saman tuloksen voi saada myös kolikolla ja oktaedrinopalla. Järjestetään taas toisella tavalla.
x(1 + x) = x + x^2
x(1 + x^2)(1 + x^2)(1 + x) = x + x^2 + 2x^3 + 2x^4 + x^5 + x^6
Nyt saadaan siis
1, 2
1, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6
Ja äärimmilleen vietynä voidaan heittää neljää kolikkoa:
1, 2
1, 2
0, 2
0, 2
Kuutioista ei voi oikein hullutella samalla tavalla. 18-tahokas tai 9-tahokas tuntuu turhan haetulta. 12-tahokkaan kanssa taas tulisi 3-tahokas jota ei ole olemassakaan. Ehkä pitkä kolmisivuinen prisma jonka päät vielä on pyöristetty? :)
24. Juhani Heino18.8.2009 klo 19:07
Useimmat lienevät nähneet tällaisia käänteisiä kryptoja:SEND
+ MORE
= MONEY
Tehdään siis yhteenlasku niin että tietty kirjain korvataan aina tietyllä numerolla väliltä 0-9.
Tässä uusi:
KAKSI
+ KAKSI
= NELJÄ
Ratkaisuja lienee useita, kun löysin yhden niin nopeasti.
Samaan tapaan keksin myös KAKSI + YKSI = KOLME, mutta nyt löysin sen Kimmo Pietiläisen vanhasta kirjasta "Toiset 200 ongelmaa". Keksijä oli näköjään Joel Ahonen.
25. Juhani Heino18.8.2009 klo 22:02
Tein ohjelman esikarsintaa varten, yritin aluksi ENTISÖITÄVÄä mutta siihen ei löytynyt sopivia. Tässä hätäratkaisu:KANTTI
* KANTTI
= EVERTINAUTO
Kyse on siis kertolaskusta.
26. Ari22.1.2018 klo 09:55
Millä kaavalla saat arvon c lasketuksi? a=b+(c-d)/e
27. Jukkis22.1.2018 klo 12:26
No tietysti tuosta saa että c=d+(a-b)e, mutta ei kai se vastaus tuo ole, kun kai tässä nyt joku ihmeellinen juju on mukana?
28. Ari22.1.2018 klo 13:31
Ei sen kummempa jujua, oiken meni!
29. ++juh23.9.2024 klo 18:30
Kumpi pokerikäsi on pelissä parempi, 1 vai 2?1: A A A K K
2: A A A 9 9
30. Jaska23.9.2024 klo 20:02
1. Tulkitsen, että "pelissä" tarkoittaa samaa jakoa. Jos pelattavassa pakassa on kaksi jokeria, on 1 parempi käsi edellyttäen, ettei pelaaja ole vetänyt korttia hihastaan. Jos pelissä ei ole jokereita, jompikumpi tai kumpikin pelaaja on vetänyt huijannut. Siinä tapauksessa potin saattaa korjata joku muu ringin pelaajista.
31. Jaska23.9.2024 klo 20:03
.. ässän hihasta eli huijannut.
32. ++juh23.9.2024 klo 20:42
Pelaat pokeria ja sinulla on kortit A A A K K.Onko sinulla parempi käsi kuin jos sinulla olisi kortit A A A 9 9?
33. clas23.9.2024 klo 21:30
Olisko yhtä hyvä käsi?
34. ++juh23.9.2024 klo 22:16
33. clasEi.
35. Jukkis24.9.2024 klo 11:49
Asiasta juuri mitään tietämättömänä pitäisin itsestään selvänä, että kunkkupari on parempi kuin ysipari, joten AAAKK on parempi käsi. Mutta eihän näin itsestään selvän asian kysymisessä olisi juurikaan järkeä, joten kai sitten AAA99 on parempi käsi. Jos näin on, niin ei mitään hajua, miksi.
36. Jaska24.9.2024 klo 12:07
Jaa kyse olikin tietysti siitä, että minulla on pelitilanteessa joko AAAKK tai AAA99. Pelin voittamisen kannalta ne ovat yhtä hyvät kädet, koska kummallakin häviää vain nelosille tai reetille.
37. ++juh24.9.2024 klo 12:19
AAA99 on pelin voittamisen kannalta kuitenkin parempi käsi.
38. Matias-Myyrä24.9.2024 klo 13:06
Kysymys lienee siitä, että jos minulla on AAAKK, on suurempi mahdollisuus, että vastustajalla on värisuora, koska mahdollisia suoria on enemmän kuin tapauksessa AAA99.
39. Jaska24.9.2024 klo 13:18
Saattaa olla noinkin. Varmuuden vuoksi lasken lukumäärät lenkillä
40. Jaska24.9.2024 klo 13:31
Joo tietenkin AAA99 katkaisee useamman värisuoran mahdollisuuden. Lukumäärät voi silti laskea.
KOMMENTOI