Lukujono 17 - Muut aiheet - Keskustelut

↶ Takaisin aiheisiin Siirry alalaitaan ↓

8709. Lukujono 17

Matti15.1.2016 klo 17:13

Uudet pulmat tänne, pliide.

2. Olavi Kivalo15.1.2016 klo 17:24

Mitä? Ovatko vanhat pulmat jo ratkottu?

3. Antti16.1.2016 klo 12:03

Kerrotaan keskenään kompleksilukuja
ar(j)+ai(j) ja
br(j)+bi(j), j=1, 2, 3...

Saadaan tuloja: 0, 0, 3, 16, 55, 156, 399, 960, ...

b:n reaaliosat ovat br: 1, 2, 3,... ja
b:n imaginaariosat ovat bi: 1*i, 2*i, 3*i, ....

a:n reaaliosat ja imaginaariosat ovat b:n vastaavien osien tapaan yksinkertaisia kasvavia lukujonoja, kuitenkaan ei ole ai(j) aina sama kuin ar(j)*i.

Mitkä ovat a:n reaaliosat ar ja imaginaariosat ai?
Mikä on 960:n jälkeen seuraava tulo?

4. Jukkis16.1.2016 klo 13:05

"a:n reaaliosat ja imaginaariosat ovat b:n vastaavien osien tapaan yksinkertaisia kasvavia lukujonoja"

Ootko ihan varma?

5. Jukkis16.1.2016 klo 14:30

Siis eivät molemmat ole kasvavia. Ja vain toinen on yksinkertainen. 960:n jälkeen tulee 2223.

6. Antti17.1.2016 klo 06:00

2223 on oikein. ar ja ai eivät tosiaan ole molemmat kasvavia, mutta ovat molemmat itseisarvoltaan kasvavia. Yksinkertaisia ovat kuitenkin nekin.

7. Antti17.1.2016 klo 08:04

ar:n ja ai:n ohella sekin katsokaa, Jukkis ja toiset, mikä on 2223:n seuraaja.

8. Jukkis17.1.2016 klo 13:40

Se, että on yksinkertaista kirjoittaa a(i) = (2^i-2*i)/4 ei tee näin saatavasta jonosta yksinkertaista. Sullahan on ollut näissä pähkinöissä "yksinkertaisia" jonoja, jotka olet saanut aikaan kirjoittamalla ihan simppelin kaavan, jossa on mukana jakojäännös tai kokonaislukuosa tai pienin yhteinen jaettava tms. Ja tuloksena on ollut pähkinä, joka on aivan mahdoton ratkaista, eikä niitä tuollaisia kukaan koskaan ole ratkaissutkaan. Vaikka jono ilmeisesti on ollut mielestäsi "yksinkertainen".

Tässä tapauksessa sentään termien erotuksia laskemalla saa aikaan rekursiokaavan, jolla termejä voi laskea. Mutta a:n reaaliosan ar(i) lausekkeen (joka on tuossa alussa) löytäminen vaatii kertalukua 2 olevan differenssiyhtälön ratkaisemisen. Ei ole yksinkertaista. Paitsi tietysti on, kun käyttää Wolfram Alphaa.

2223:n jälkeen jatkuu 5020, 11143, 24432, 53079, ...

9. Antti18.1.2016 klo 09:58

Pyydän anteeksi vajavaista tehtävän ilmoittamistani. Antamani jono on tulon imaginaariosien i:n kertoimien jono. Tulon reaaliosien jono on
2, 8, 21, 48, 105, 228, 497, 1088, 2385, ...

10. Jukkis18.1.2016 klo 11:56

Niin että miten tuon 16.1.2016 klo 12:03 olevan pähkinän olisi siis pitänyt täsmälleen kuulua?

Minä ratkaisin sen pähkinän, joka siellä on.

11. Antti18.1.2016 klo 13:13

Kerrotaan keskenään kompleksilukuja
ar(j)+ai(j) ja
br(j)+bi(j), j=1, 2, 3...

Tulojen imaginaariosat ovat: 0, 0, 3, 16, 55, 156, 399, 960, ... kertaa i.

b:n reaaliosat ovat br: 1, 2, 3,... ja
b:n imaginaariosat ovat bi: 1, 2, 3, .... kertaa i.

a:n reaaliosat ja imaginaariosat ovat b:n vastaavien osien tapaan yksinkertaisia lukujonoja, kuitenkaan ei ole ai(j) aina sama kuin ar(j)*i.

Mitkä ovat a:n reaaliosat ar
ja imaginaariosat ai?

12. Jukkis18.1.2016 klo 13:38

Tuollehan löytyy vaikka kuinka monta ratkaisua.

13. Antti18.1.2016 klo 15:58

Ratkaisu, jonka ensimmäisen jäsenen reaaliosa on 1?

14. Jukkis18.1.2016 klo 16:40

Niitäkin on monta.

Mikä on se ratkaisu, jonka luulit olevan ainoa oikea?

15. Jukkis18.1.2016 klo 18:19

Siis on
a = w+i*x
b = y+i*z.
Silloin
ab = (wy-xz)+i*(wz+xy)

On annettu y ja z ja on annettu wz+xy.

Kysytään, mitä on w ja x. Tottakai vastauksia on äärettömän monta.

Alkuperäisessä tehtävässä oli annettu y ja z. Lisäksi oli annettu reaalinen ab, eli oli annettu wy-xz ja kerrottu että wx+xy=0. Silloin löytyy tasan yksi mahdollinen w ja x. Se oli ihan järkevä tehtävä.

16. Antti22.1.2016 klo 04:19

1 1 1
A on 3*3-matriisi, A= 2 3 4.
3 9 14

A:n käänteismatriisin luvut kokonaislukuja.

Lisättäessä A:n erääseen lukuun pieni positiivinen kokonaisluku saadaan toinen matriisi, B, jonka käänteismatriisin luvut ovat myös kokonaislukuja ja jonka kolmannen rivin ja kolmannen sarakkeeen luvut erityisesti ovat A:n käänteismatriisin vastaavien paikkojen lukujen käänteislukuja.

Mitä A:n

17. Antti22.1.2016 klo 04:26

Matriisi tuli niin oudon näköiseksi, että otetaan uusiksi:
A:n ensimmäinen rivi on 1, 1, 1,
ja toinen rivi on 2, 3, 4,
ja kolmas rivi on 3, 9, 14.

A:n käänteismatriisin luvut kokonaislukuja.

Lisättäessä A:n erääseen lukuun pieni positiivinen kokonaisluku saadaan toinen matriisi, B, jonka käänteismatriisin luvut ovat myös kokonaislukuja ja jonka kolmannen rivin ja kolmannen sarakkeeen luvut erityisesti ovat A:n käänteismatriisin vastaavien paikkojen lukujen käänteislukuja.

Mitä A:n lukua lisätään ja kuinka paljolla?

18. Jukkis22.1.2016 klo 09:07

Sulla ei relatiivipronominien käyttö oikein suju. Tuolla sanamuodolla tehtävä on järjetön.

"ja jonka kolmannen..." viittaa noin kirjoitettuna matriisiin B, jossa on kokonaislukuja, joten miten voisi olla että sen "kolmannen rivin ja kolmannen sarakkeeen luvut erityisesti ovat A:n käänteismatriisin vastaavien paikkojen lukujen käänteislukuja".

Oikeasti varmaankin se on B.n käänteismatriisi, jonka kolmannen rivin etc.

Pitääpä tätä ehtiessä katsella.

19. Jukkis22.1.2016 klo 09:24

Eikun hetkinen. Eihän tuossa tehtävässä ole millään tavalla luettuna mitään järkeä.

A:ssa on kokonaislukuja.
A:n käänteismatriisissa C on kokonaislukuja.
A:n yhteen lukuun lisätään kokonaisluku, saadaan B, jossa on kokonaislukuja.
B:n käänteismatriisissa D on kokonaislukuja.

Miten helkutassa yhtään missään noista voi olla lukuja, jotka on kokonaisluvun käänteislukuja?

Että mitä ihmettä nyt taas Antti?

20. Antti22.1.2016 klo 09:34

Niin on, Jukkis, kuten kirjoitit, että tarkoitin B:n käänteismatriisin lukuja, ja jos tarkkaan lukee, juuri niihin näkee sanamuotoni viittaavan.

21. Antti22.1.2016 klo 09:37

Kiitos, Jukkis viimeisestä viestistäsi. Kirjoitin käänteislukuja tarkoittaessani vastalukuja

22. Jukkis22.1.2016 klo 10:34

En minä keksi muuta keinoa kuin kokeileminen, jolla tuohon vastauksen löytää. Excelillä se vastaus löytyi aika helpolla, kun se lisättävä luku tosiaan oli pieni. En sano vastausta, jos vaikka joku muu haluaa ratkoa. Vaikka tokkopa niitä muita ratkojia löytyy, sen verta tuntuu olevan hiljaista täällä.

Jos on rakenne "..., jonka ....... ja jonka ....." niin ihan saletti on, että molemmat relaitiivipronominit viittaa samaan asiaan, siis nyt matriisiin B.

23. Antti22.1.2016 klo 10:36

3*3-matriisin, A:n, ensimmäinen rivi on 1, 1, 1,
ja toinen rivi on 2, 3, 4,
ja kolmas rivi on 3, 9, 14.

A:n käänteismatriisin luvut kokonaislukuja.

Lisättäessä A:n erääseen lukuun pieni positiivinen kokonaisluku saadaan toinen kokonaislukumatriisi, B. B:n käänteismatriisin luvut ovat myös kokonaislukuja ja Bn käänteismatriisin kolmannen rivin ja kolmannen sarakkeeen luvut erityisesti ovat A:n käänteismatriisin vastaavien paikkojen lukujen vastalukuja.

Mitä A:n lukua lisätään ja kuinka paljolla?

24. Jukkis22.1.2016 klo 10:47

Antille tehtävä, muuten ihan sama, mutta "B:n käänteismatriisin ensimmäisen rivin ja kolmannen sarakkeeen luvut erityisesti ovat A:n käänteismatriisin vastaavien paikkojen lukujen vastalukuja".

25. Antti28.1.2016 klo 18:06

Alla on atan(funktio(j))/(pii()/2))-arvoja kun j=1,2,...,7.
Minkä funktion arvot ovat atan-funktion argumentteina?

0,8949 0,9735 0,9947 0,9991 0,9999 1,0000 1,0000

Myös kaksi viimeistä ykköstä on likiarvoa.

26. Jukkis28.1.2016 klo 18:30

Vastaus tehtävään 22.1.2016 klo 10:36:

Lisätään 2 matriisin A lukuun 14.

Entä mikä on vastaus tehtävään 22.1.2016 klo 10:47?

Minusta Antti on kohtuullista odottaa, että osaat itse ratkaista tehtävän, joka on ihan samanlainen kuin oma tehtäväsi.

27. Antti28.1.2016 klo 19:35

Jukkis, eikö tehtäväsi ole sama kuin tehtäväni?

28. Jukkis28.1.2016 klo 20:05

Eihän "kolmannen rivin ja kolmannen sarakkeeen luvut" ole sama asia kuin "ensimmäisen rivin ja kolmannen sarakkeeen luvut".

29. Antti28.1.2016 klo 20:08

Jukkis, eihän tosiaan ole ihan sama. Tehtäväsi ratkaisu on: Lisätään 3:een kaksi.

30. Jukkis28.1.2016 klo 20:22

Juu.

Mulla on vastaus tuohon klo 18:06 -tehtävään. Mutta jospa en vielä sano, jos vaikka joku muukin haluaa miettiä. Vaikka aika vähissä täällä miettijät on.

31. Jaska28.1.2016 klo 22:00

Miettijöiden vähyys voi johtua esim. siitä, että miettiminen ilman ko. tehtävän edellyttämiä perusvalmiuksia on täysin turhaa. Siitä syystä esim. minä en halua miettiä matriisi- ja funktiolaskentaa. Muilla säikeeläisillä voi olla muita syitä.

32. Jukkis30.1.2016 klo 10:33

Tuohon atan(funktio(j))/(pii()/2)) -hommaan on kanssa ääretön määrä vastauksia.

33. Jaska30.1.2016 klo 11:46

Tarkoittaako ääretön määrä, että Antin tehtävän oikea ratkaisu on mikä tahansa äärettömästä ratkaisujen määrästä? Vai pitääkö arpoa, minkä ratkaisun äärettömästä määrästä Antti on valinnut?

34. Jukkis30.1.2016 klo 12:36

Selvää on, että mikä ratkaisu Antilla on mielessä. Se, jossa funktion arvot on kokonaislukuja.

35. Antti30.1.2016 klo 16:04

Jaska, ei tarvitse arpoa, vaan kokeillen katsoa, mikä yksinkertainen kokonaislukuarvoinen funktio sopii annettuihin lukuihin. Minkä, Jukkis, arvelet minulla olevan mielessä?

36. Jukkis30.1.2016 klo 17:23

funktio(j) = (j+2)!

Ei-kokoaislukuratkaisuna esim. (j+2)!+0,001 ja äärettömän monta muuta.

37. Antti30.1.2016 klo 17:30

Jukkis, kokonaislukuratkaisuksi käy esimerkiksi funktio(j) =j! ja
ei-kokonaislukuratkaisuksi j!+0,00000000000001.

38. Jukkis30.1.2016 klo 21:49

Että mitä ihmettä nyt taas? Eikä ole funktio(j) =j! vaan (j+2)!.

39. Antti31.1.2016 klo 05:32

Mitä ihmettä söhläsin? Oikeassa olet, Jukkis.

40. Jukkis31.1.2016 klo 16:41

Sulla on Antti vastaamatta 18.1.2016 klo 16:40 esittämääni kysymykseen, joka liittyy 18.1.2016 klo 13:13 esittämääsi pähkinään, jolle on äärettömän monta ratkaisua.

41. Olavi Kivalo31.1.2016 klo 18:13

Onneksi en osallistunut tähän. Bénit soit le Seigneur! Mutta minulla on kysymys, joka koskee edellisessä säikeessä käsiteltyä geometrista probleemaa. Miksi Jukkiksen listasta puuttuu
65, 95, 110, 14400, 23625, 38025 ?

42. Jaska31.1.2016 klo 19:02

Sehän on ekan kerrannainen.

43. Olavi Kivalo31.1.2016 klo 19:49

No perskeles. Niinpä onkin. Kiitos.

44. Antti1.2.2016 klo 11:30

Jukkis, 18.1.2016 klo 16:40 esittämäsi kysynys on niin kaukaa, että vastauksen olen valitettavasti unohtanut. Muistiinpanojakaan ei ole tallella. Pyydän anteeksi, että en ajoissa tarttunut härkää sarvista.

45. Jukkis1.2.2016 klo 13:27

Etkö siis osaa enää ratkaista omaa tehtävääsi?

46. Antti1.2.2016 klo 15:38

Ensimmäisten tulon tekijöiden reaaliosat 1, 2, 4, ...

47. Jukkis1.2.2016 klo 16:01

En ollenkaan tajua, miten määrite "ensimmäisten tulon tekijöiden reaaliosat" liittyy tähän. Mutta ehkä on parasta ja armollista, että unohdamme tämän tehtävän tyystin.

48. Antti14.2.2016 klo 19:30

2004, 2012, 2018, 2028, 2030, ?

49. Antti16.2.2016 klo 08:46

Ratkaisun avainsana on yhdyssana, jossa on 8 kirjainta.

2004, 2012, 2018, 2028, 2030, ?

50. Matias-Myyrä16.2.2016 klo 09:29

Kaksi ensimmäistä sattuu Putinin uudelleenvalintavuosiin ja kolmas 2018 on todennäköisesti seuraava vuosi, kun Putin valitaan taas pressaksi. Sitten Medvedevillä voisi olla 4 vuoden kausi välissä 2024 alkaen ja Putin taas 2028 ohjaksissa. Mutta miksi se kausi olisi kaksivuotinen? Tuohon liittyvä yhdyssana lienee Ras-Putin. ;-D

51. Olavi Kivalo16.2.2016 klo 09:51

Nää on noita maailmanlopun ennusteita. Nehän muodostavat päättymätömän lukujonon, kun viimeisin pitää aina korvata uudella. Herra loppumattomassa armeliaisuudessaan päättää viime tingassa toisin.

52. Jaska16.2.2016 klo 12:31

Helppo arvaus on toukokuu ja helluntai. En jaksa tsekata.

53. Antti16.2.2016 klo 12:31

Avainsana on alkuluku.

54. Antti16.2.2016 klo 16:41

En näytä olevan kelvollinen tehtävien laatiija. Siksi katson parhaaksi antaa ratkaisun: a(j)=j:s kahtatuhatta suurempi alkuluku+1.

55. Matias-Myyrä16.2.2016 klo 17:04

1999 näyttää myös olevan alkuluku, joten tuo Antin kaava alkupäästä hiukan laajennettuna ennustaa hyvin Putinin valintavuosia: 2000, 2004, 2012, 2018. Ellei Putin mokaa nyt kahden viimeisen vuoden aikana totaalisesti, niin tuo 2018 on hyvin todennäköinen.

56. Jaska16.2.2016 klo 17:11

Huomasin kyllä ratkaisun ja mietin hetken mihin ideaan se perustuu. No, olihan se de facto ajankohtainen:)

57. Matti22.2.2016 klo 15:51

Tämä on helppo, mutta tarina jatkuu ratkaisun jälkeen.

On kaksi samankeskistä ympyrää, isompi ja pienmpi. Pienemmälle piirretään tangentti. Isompi leikkaa siitä segmentin, jonka pituus on a. Laske ympyröiden määrittämän renkaan pinta-ala.

58. Juhani Heino22.2.2016 klo 16:19

Jos ymmärsin kuvauksen oikein, tulos on kai πa²/4. Siis pii kertaa a toiseen jaettuna 4:llä, jos merkit eivät toimi.

59. Antti22.2.2016 klo 16:56

Onko segmentin pituus segmentin piirin kaariiosan pituus?

60. Jaska22.2.2016 klo 17:24

Antti, kaariosa saattaa olla pitempi kuin isomman ympyrän halkaisija. Siis?

61. O22.2.2016 klo 18:56

Jatkuuko se näin. Segmentin, jonka näin saatu segmentti leikkaa isommasta ympyrästä, pinta-ala on b. Laske jne.

62. Olavi Kivalo22.2.2016 klo 18:57

Karkasi

63. Jaska22.2.2016 klo 20:31

Ehkä Matti jatkaa itse tarinaa sitä karkuun päästämättä.

64. Matti22.2.2016 klo 22:46

Joo, Juhani Heino sen kertoi. Mielenkiintoista on se, että pinta-ala ei riipu ympyröiden säteistä. Vaikka isomman ympyrän säde olisi yksi valovuosi, ja a yksi metri, pinta-ala olisi pi/4 m2. Renkaan paksuuden (ohuuden) voi laskea jakamalla tämä 2*pi*valovuodella.

Jos tiedettäisiin etukäteen, että ratkaisu on riippumaton säteistä, pinta-alan laskeminen olisi päässälasku. Annetaan pienemmän ympyrän kutistua pisteeksi, ja simsalabim! Mutta voidaanko se päätellä suoraan?

65. Matti22.2.2016 klo 22:49

Huomasin juuri, että puhuin segmentistä, vaikka kyse oli jänteestä. Pahus!

66. Jukkis22.2.2016 klo 23:09

"Mutta voidaanko se päätellä suoraan?"

Mikä "se"? Vastaus eli pinta-alan suuruus? Se, että pinta-alan laskeminen on päässälasku? Se, että vastaus ei riipu säteistä?

No, ehkäpä tuo viimeinen.

67. Jaska23.2.2016 klo 00:40

Sama knoppi kuin maapallon ympärille pingotetun narun jatkaminen yhdellä metrillä.

68. Jaska23.2.2016 klo 00:45

P.S. Toki jänteen A pituus on sidoksissa säteisiin.

69. Matti23.2.2016 klo 11:05

No ei oikeastaan. Jänne on annettu a. Isompi säde saa olla mitä vaan. Pienempi säde määräytyy sitten näistä yksikäsitteisesti.

70. Jaska23.2.2016 klo 11:48

Huomautuksellani tarkointin selventää, että a:n pituus on sidoksissa pienemmän ympyrän säteeseen, josta määräytyy renkaan paksuus eli isomman ja pienemmän ympyrän säteiden erotus.

71. Jukkis23.2.2016 klo 14:41

Voisitko Matti ihan täsmällisesti ilmaisten kertoa, mikä on se tehtävä, joka pitäisi vielä ratkaista. Kun eilisiä uudelleen luettuani totesin, että asia jää sittenkin mulle hiukka epäselväksi.

72. Matti23.2.2016 klo 14:45

Muuten kaikki on ratkaistu, mutta heitin ilmaan kysymyksen, onko suoraan, siis laskematta, pääteltävissä että kysytty renkaan ala ei riipu säteistä. Itse en tiedä vastausta.

Jaska, samaa mieltä me tuossa sädeasiassa ollaan.

73. Matti23.2.2016 klo 14:52

Vähän samantyyppinen tehtävä kolmessa dimensiossa on: Pallon läpi porataan keskeisesti reikä. Siis reiän akseli kulkee pallon keskipisteen kautta. Sylinterireiän korkeus on h. Mikä on kuulasta jäljelle jääneen renkaan (sormuksen) tilavuus?

74. Jaska23.2.2016 klo 14:55

Olisiko se ollut vain se "voidaanko se päätellä suoraan?" Siis ilman nollapiste-simsalabimia. Omakohtainen vastaus: en olisi voinut päätellä suoraan.

75. Jaska23.2.2016 klo 15:05

Matti, kysyit samaa tilavuutta muutama vuosi sitten.

76. Jukkis23.2.2016 klo 16:15

Riippuu siitä, mitä tarkoittaa "suoraan, siis laskematta"? Kun piirtää kuvan ja siihen suorakulmaisen kolmion, jonka kateetit on r ja a/2 ja hypotenuusa R, niin siitähän ihan suoraan näkee, että R^2 - r^2 = A^2/4. Ei siinä mitään laskemista tarvita.

77. Olavi Kivalo23.2.2016 klo 20:00

Kuka keksisi paremman jatkotarinan?

How about (uskollisena lukujonoille): Millä säteiden R ja r kokonaislukuarvoilla a on kokonaisluku. Tai, esim, määritä lukujono a(n).

78. Matti23.2.2016 klo 20:08

Jukkis, tuota kutsuin laskemiseksi. Mutta taitaa mennä saivarteluksi.

Jos kerran tämä porattava pallo on jo käsitelty, mennään suoraan eteenpäin. Nimittäin jonniinmoisten integrointien jälkeen saadaan tilavuudelle ratkaisulauseke. Osoittautuu, että se ei riipu sen enempää pallon kuin reiänkään säteestä.

Jos tämä voitaisiin päätellä suoraan, laskematta, tilavuus saataisi taas päässälaskulla: Annetaan reiän kutistua pallon lävistäjäjanaksi. Nyt kysytty tilavuus kasvaa koko pallon tilavuudeksi. Sen halkaisija on h ja tilavuus siis V=(4/3)pi(h/2)^3.

Voiko nyt päätellä suoraan, että renkaan tilavuus ei riipu säteistä? Ei aavistustakaan. Mutta aika usein toistuva periaate tällaisissa laskuissa on, että jos konstikkaat laskut johtavat kovin yksinkertaiseen lopputulokseen, laskuille on löydettävissä oikotie.

79. Jukkis23.2.2016 klo 21:23

Ei tuota varmaan sillä tavalla suoraan pysty päättelemään, että ei mitään geometriaa tarvisi tarkastella eikä yhtäkään kaavaa kirjoittaa. Mutta ilman integrointia, pelkällä Pythagoraksella onnistuu. Täällä hyvä kuva:
_http://tinyurl.com/ha7mkav

Jos oletetaan, että pallojen keskipisteet on tasossa y = 0 (y-akseli ylöspäin), niin on helppo osoittaa, että tietyssä y=jotain -tasossa otettu leikkaus (rengas) on pinta-alaltaan sama kummassakin pallon jämässä. Joten jämien tilavuudet on pakosti samat.

80. Matti23.2.2016 klo 21:50

Juma, juuri noinhan se menee. Tällaista juuri hain. Ei tarvitse integroida kalotin tilavuutta, Pythagoras riittää.

81. Olavi Kivalo25.2.2016 klo 20:13

Tuon Matin alkuperäisen tehtävän R, r ja a/2 ovat tietenkin Pythagoraan triploja.

82. Juhani Heino5.3.2016 klo 21:39

Tuli mieleen Jukkiksen tehtävästä "ei kuulu joukkoon" -säikeestä. Tämä sopii paremmin jonoksi, eli mikä on seuraava jäsen? Tässä ei ole mitään matemaattista.

13,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,31,32,35,36 ,37,41,42,45,46,47...

83. Matti12.3.2016 klo 19:42

Tää ei oo paha. Onko mahdollista leikata mielivaltainen monikulmio paloiksi niin, että niistä voidaan koota samapinta-alainen neliö?

84. Jy12.3.2016 klo 19:56

Tarkoittaako säännöllistä monikulmiota (jossa mielivaltainen määrä sivuja/kulmia) vai täysin mielivaltaista?

85. Olavi Kivalo12.3.2016 klo 20:12

Otetaan neliö ja jaetaan se mielivaltaisiin monikulmioihin ja sen jälkeen pannaan näin saadut mielivaltaisiin monikulmiot yhteen mielivaltaisella tavalla niin, että syntyy mielivaltainen iso monikulmio, jonka pinta-ala pikkumonikulmioiden summa.

86. Matti13.3.2016 klo 16:40

Jy, ei mitään säännöllisyyttä. Janojen rajaama suljettu alue. Mutta ratkaisun ei tarvitse olla vain viivoittimella ja harpilla toteutettava.

87. Olavi Kivalo13.3.2016 klo 17:12

Ohititko ratkaisuehdotukseni? Lähdetään neliöstä. Jaetaan se suorilla viivoilla osiin mielivaltaisesti. Kootaan näin saaduista palasista uusi, niin mielikuvituksellinen monikulmio kuin halutaan, kuitenkin niin, ettei palasten väliin jää aukkoja. Tämän uuden monikulmion pinta-ala on tietysti sama kuin alkuperäisen suorakaiteen. Sitten irrotetaan tämän monikulmion palaset ja kootaan niistä alkuperäinen neliö (jos muistetaan kuinka se taas tapahtuukaan). Tämän perusteella vastaan kysymykseesi: On mahdollista.

88. Olavi Kivalo13.3.2016 klo 19:15

Tietysti tämä uusi monikulmio voidaan jakaa edelleen mielivaltaisiin osiin ja rakentaa uusia versioita loputtomiin ennenkuin palaset kootaan takaisin alkuperäiseksi neliöksi.

89. Jy13.3.2016 klo 19:37

Olavi, ei taida olla varmaa, voidaanko neliötä osiin leikkelemällä muodostaa mikä tahansa *ennalta määritelty* monikulmio. Toki voidaan muodostaa ääretön määrä mielivaltaisia monikulmioita, mutta ääretön ei ole sama kuin kaikki, eli ei ole takeita, onko se alkuperäinen monikulmio näiden neliöstä leikkelemällä muodostettavien joukossa. Tarkemmin sanoen: tuo oletuksesi voi toki päteä, eli en väitä etteikö tuo pätisi, mutta ratkaisuehdotuksessasi ei ollut sen todistamista.

Tähän lienee jokin helppo looginen todistus kuitenkin olemassa, päätellen kysymyksenasettelusta :).

Tietysti Matin kysymykseen olisi helppo vastata, että ei pysty, jos löytyisi yksikin monikulmio, jota leikkelemällä ei todistetusti voi muodostaa neliötä. Helpoin tapaus olisi vaikka tasasivuinen kolmio, mutta siitä pystyy kyllä leikkelemään neliön muodostavat palaset.

90. Jy13.3.2016 klo 20:31

Mikä tahansa monikulmio voidaan leikata kattavasti kolmioiksi. Jokainen näistä kolmiosta voidaan leikata kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi (jotkin alkuperäisistä kolmioista saattavat olla jo valmiiksi suorakulmaisia, jolloin ei tarvitse leikata). Mistä tahansa suorakulmaisesta kolmiosta pystyy muodostamaan suorakulmion leikkaamalla jommankumman kateetin puolivälistä kohtisuoraan niin, että muodostuu puolisuunnikas (pinta-ala 3/4 alkuperäisestä kolmiosta) ja pienempi suorakulmainen kolmio (pinta-ala 1/4 alkuperäisestä kolmiosta), ja kääntämällä sitten pienen kolmion puolisuunnikkaan päälle. Näin alkuperäisestä mielivaltaisesta monikulmiosta on saatu joukko eri muotoisia ja kokoisia suorakulmioita. Suorakulmioista pystyy aina muodostamaan pinoamisilla ja lisäleikkelyillä neliön.

Tämäkään ei ole matemaattinen todistus, mutta *uskoakseni* logiikka kuitenkin on oikea. Löytääkö joku siitä vian?

91. Matti13.3.2016 klo 21:00

Olavi Kivalo, tässä annetaan ensin monikulmio, ja siitä pitäisi leikellä palapeli, josta saadaa neliö. Miten? Siten, että leikataan neliö ensin paloiksi, joista saadaan annettu monikulmio, ja sen jälkeen tehdään sama takaperin? Mutta miten pitäisi neliö ensin leikata, jotta siitä saataisiin annettu monikulmio? Jos se on esim. säännöllinen 7-kulmio?

92. Matti13.3.2016 klo 21:16

Joo, Jyn kanssa samaa mieltä, lähes. Siis leikataan ensin monikulmio kolmioiksi. Jaetaan kukin kolmio kolmeen osaan siten että saadaan suorakaiteet, vähän niin kuin Jy esitti. (Suorakulmaisten kolmioiden kautta ei tarvitse edetä, mutta sama se.)

Mutta miten suorakaiteesta saadaan toinen, jonka sivun pituus on annettu? Jos uusi pituus on rationaaliluku m/n kertaa vanha pituus, se onnistuu helposti. Mutta jos ei ole, niin mitä sitten? En tiedä.

Mutta se on mahdollista, sen todisti William Wallace v. 1807.

Sanoin aluksi että "tää ei oo paha". Olin väärässä. Minulla oli mielessä oikotie joka veikin metsään.

93. Olavi Kivalo13.3.2016 klo 21:43

Eikös se ole haetun vastauksen saamiseksi aivan sama lähdetäänkö neliöstä vai mielivaltaisesta monikulmiosta. Jos lähdetään monikulmiosta tavoitteena neliö, ei ole mitään rajaa sille, minkälaisiin ja kuinka moniin atomeihin monikulmio jaetaan. Tällaisten ongelmien todistus, joissa lähdetään mielivaltaisesta eli äärettömästä määrästä alkuehtoja, on usein (tai aina) mahdoton tai ainakin vaikea. Vastauksen voi silti antaa: On mahdollista.

94. Jy13.3.2016 klo 22:11

Suorakulmaisten kolmioiden kautta menin, koska se on ainakin pitävä reitti siltä osin, koska tuo tapa pätee kaikkiin suorakulmaisiin kolmioihin. Tuo on helppo todistaa alkeismatematiikalla.

Todistus puuttui siltä, että monikulmion voi jakaa kolmioiksi, ja se on varmasti todistettavissa, mutta sinänsä intuitiivisesti nähtävissä, kun piirtelee jokusen monikulmion ja alkaa jakaa niitä kolmioiksi.

Toinen todistus puuttui siltä, että suorakulmioista saa yhdisteltyä neliön, tarvittaessa leikkelyin. Suorakulmiosta saa aina kahdella leikkauksella ja liimauksella neliön: ensin leikataan suorakulmion yhdestä kulmasta lähtien vinottain niin, että leikkauksen pituudeksi tulee tavoitellun neliön sivun pituus. Syntyy puolisuunnikas (jossa on jäljellä kaksi suoraa kulmaa) ja kolmio. Liimataan kolmio toiselle puolelle puolisuunnikkaan jatkoksi niin, että syntyy täysi suunnikas. Sitten leikataan edellisen leikkauksen loppupisteestä siihen edelliseen leikkaukseen nähden suorassa kulmassa, jolloin syntyy neliön toinen, edellisen viereinen sivu. Sitten siirretään irti leikattu pala toiselle puolelle, jolloin neliöstä tulee täysi. Samalla tavoin voidaan tehdä suorakulmiosta mikä tahansa toinen suorakulmio.

Tällä tavoin riittää, että alkuperäinen monikulmio saadaan jaettua kolmioiksi ja niistä muodostettua suorakulmioita. Siitä eteenpäin on vain enempi tai vähempi määrä tarkkaan mitoitettua leikkaamista ja liimaamista.

95. Matti13.3.2016 klo 22:16

Niin, tehtävänasettelu oli: onko mahdollista? Onko olemassa sellainen jako, että ...? Yksi tapa todistaa olemassaolo on konstruktiivinen: näytetään miten. On tietysti muitakin tapoja, mutta en nyt lähde asiaa tämän syvemmältä ruotimaan.

Sen sijaan siteeraan kirjaa Ian Stewart: From here to infinity. Tarski kysyi, voidaanko ympyrä leikellä äärelliseksi palapeliksi, josta saadaan neliö. (Ilmeisesti myös kaarevia leikkauksia tarvitaan.) Ja Laczkovich vastasi että voi. Paloja tarvitaan noin 10^50 kappaletta. Arvelen että L:n todistus ei ollut konstruktiivinen.

96. Jy13.3.2016 klo 22:18

Olavi, se onkin sama kummin päin vain. Mutta päättelysi heikkous on se, että se ei todistanut alkuperäistä kysymystä mitenkään, vaan herätti toisin päin saman kysymyksen: onko mahdollista leikata neliö paloiksi niin, että niistä voidaan koota samapinta-alainen ennalta määritellyn muotoinen mielivaltainen monikulmio? Alkuperäinen kysymys oli: onko mahdollista leikata mielivaltainen monikulmio paloiksi niin, että niistä voidaan koota samapinta-alainen neliö? Jompaankumpaan suuntaan se on pystyttävä todistamaan, ja se pätee silloin toki toiseenkin suuntaan kuvaamallasi tavalla.

97. Matti13.3.2016 klo 22:34

Jy siis näytti miten suorakaiteesta saa toisen, jonka pituus on annettu. Yksinkertaista, kun sen hoksaa.

Että jokainen monikulmio on leikattavissa kolmioiksi on mielestäni helppo todistaa induktiolla. n+1 -kulmio saadaan jaettua yhdellä leikkauksella kolmioksi ja n-kulmioksi.

98. Jy13.3.2016 klo 22:53

Olaville vielä se havaintoni, että näyttää olevan huomattavasti helpompi todistaa mielivaltaisesta alkumuodosta saatavan aina sama lopputulos eli neliö, kuin päinvastoin yhdestä alkumuodosta eli neliöstä kaikki mahdolliset lopputulokset eli mikä tahansa monikulmio. Eli nähdäkseni olit ajatuksessa aivan oikeilla jäljillä, mutta väärään suuntaan.

99. Matti13.3.2016 klo 22:58

Tarkemmin katsoen en saanutkaan Jyn konstruktiota suorakulmasta toiseksi halutun pituiseksi suorakulmioksi, enkä myöskään neliöksi, onnistumaan.

100. Matti13.3.2016 klo 23:05

... suorakaiteesta toisesi halutun pituiseksi suorakaiteeksi ...

101. Jy13.3.2016 klo 23:22

Matti, kyllä se onnistuu. Jos alkutilanteen suorakulmio on kovin pitkulainen eli pitkä sivu enemmän kuin kaksi kertaa lyhyt, niin täytyy ensin leikellä suorakulmiota poikki yhtä suuriin pätkiin ja pinota niistä "neliömäisempi" suorakulmio, johon sitten sovelletaan noita kolmioiden leikkauksia.

Tai jos alkutilanne on neliömäisempi ja haluttu lopputulos pitkulainen, niin lopussa leikellään suorakulmiota kaistoiksi, jotka kasataan jonoksi pitkulaiseksi suorakulmioksi.

Neliö on noista vain yksi erikoistapaus.

102. Matti14.3.2016 klo 00:12

Ok, pitää katsella lisää.

103. Matti14.3.2016 klo 22:34

Jy, ei toimi.

104. Matti15.3.2016 klo 01:35

No niin, nyt toimii. Ottipas koville.

105. Juhani Heino15.3.2016 klo 09:44

Laitanpa sitten omaani jatkoa jos joku vielä haluaisi kokeilla. Arvasin oikein mitä Jukkis tarkoitti, eli jono liittyy jotenkin Ekiin.

106. Jukkis15.3.2016 klo 15:27

Onkos tässä Matin leikkelypähkinässä kyse tästä:

_https://en.wikipedia.org/wiki/Wallace%E2%80%93Bol yai%E2%80%93Gerwien_theorem

107. Matti15.3.2016 klo 17:28

Jukkis, tästäpä juuri. Wikipedian todistushahmotelmassa oli hauska termi scissors-congruence.

108. Jy15.3.2016 klo 17:39

Jukkis, tuosta on kyse, tosin Matin kysymässä muodossa sellaisesta erityistapauksessta, että toinen monikulmioista on aina neliö.

Wikiartikkelin kuvituksena on neliö vs. tasasivuinen kolmio. Tuo kuvan esittämä ratkaisu ei kuitenkaan ole ainoa mahdollinen, vaan ratkaisuja on ääretön määrä, mutta niissä palasten määrä vaihtelee. Tuo kuvan ratkaisu lienee vähimmillä paloilla syntyvä.

109. Jukkis15.3.2016 klo 19:30

Tuo teoreema kuuluu että "Any two simple polygons of equal area can be dissected into a finite number of congruent polygonal pieces."

TIL että "simple polygon" tarkoittaa monikulmiota, joka ei leikkaa itseään.

110. Jukkis18.3.2016 klo 10:27

Lueskelin kirjaa Kiehtova matematiikka, siellä mainitaan mm. Gijswijtin jono (http://oeis.org/A090822), joka on aika huikea. Alkaa näin:
1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, ...

Sitten tulee lisää lukuja 1, 2, 3, kunnes eka 4 on termi no. 220. Sitten lisää lukuja 1, 2, 3, 4 kunnes eka 5 on noin 10^(10^23):s termi. Ja eka kutonen on suunnilleen 10^(10^(10^488)):s termi. Wolframilla laskin, että luku 10 tulee ekan kerran suunnilleen terminä no. 10^(10^(10^(10^(10^(10^(10^(10^8))))))).

111. Jukkis18.3.2016 klo 13:15

Löytyiskö tähän seuraavaa termiä:

11, 111, 11111, 1111111, 1111111111111, 11111111111111111, ....

112. Jaska18.3.2016 klo 14:52

Pitäisi ensin tietää, miksi 11 ykköstä ei kuulu joukkoon.

113. Jukkis18.3.2016 klo 16:11

No se ei kuulu joukkoon täsmälleen siksi kun se ei kuulu joukkoon.

114. Jukkis18.3.2016 klo 16:13

Jos se kuuluisi joukkoon, mikä olisi vastauksesi? Joka siis ei ole hakemani vastaus.

115. Jaska18.3.2016 klo 19:18

Minkä luulisit sen vastauksen olevan?

Ratkaisun löytämiseksi voisi esim. kokeilla olisiko binääri- tai ternäärijärjestelmissä tolkkua, mutta ei juuri nyt ole aikaa.

116. Jukkis18.3.2016 klo 20:14

Luulisin että varmaan jotain alkulukuihin liittyvää ajattelit.

117. Olavi Kivalo18.3.2016 klo 22:35

Binäärilukuja 10-järjestelmään muunnettuina
3, 7, 31, 127, 8191, 131071, ...

[Mersenne primes (of form 2^p - 1 where p is a prime)]

118. Jaska18.3.2016 klo 22:52

Se oli hyvä tehtävä. Mahdollisuus, että olisin itseki hoksannut, ei ollut olematon.

Mikä muuten oli sen päässälaskumonsterin nimi, joka kumosi jonon äärettömyyskonjektuurin? Oliko se Co... jotain sinne päin. Alkaa noi mun muistikatkokset huolestuttaa toden teolla.

119. Jaska18.3.2016 klo 23:35

Joo, aina vaan pahenee. Päässälaskujuttu liittyi tietysti Fermatin alkulukukonjektuuriin.

120. Jaska18.3.2016 klo 23:51

Virallisesti ensimmäinen kumoaja oli kuitenkin Euler, joka löysi tekijät luvulle 2^32+1. Jostain olen kuitenkin varmasti lukenut, että ko. kävelevä laskukone sai saman tuloksen, ja että siihen saakka lukua olisi pidetty alkulukuna. Olisikohan ollut Bellin opus Matematiikan miehiä.

121. Jukkis19.3.2016 klo 08:42

Juu, Mersennen alkulukuja binaarilukuina. Eli jono jatkuu
... 1111111111111111111, 1111111111111111111111111111111, ...

Seuraavissa 61 ykköstä, 89 ykköstä, 107 ykköstä jne.

Ajattelin että jos
a) ajattelee, että oliskohan nuo binaarilukuja
b) on hallussa se tosiasia, että luku 2^n-1 on binaarilukuna n kpl ykkösiä
c) muistaa Mersennen
niin keksii ratkaisun.

122. Jaska19.3.2016 klo 11:46

Haulla (ei nyt poliisikoiran hau) mental calculation löytyi kadottamani Zerah Colburn (1804-1839) tuossa tuoksahduksessa. Eulerin maallinen majailu oli päättynyt 21 vuotta ennen Colburnin syntymää, joten muistikuvani em. kirjoituksesta oli väärä tai siinä oli virhe. Todennäköisesti Colburn sai tehtäväksi laskea, onko luku 2^32 + 1 jaoton vai jaollinen. Colburn laski sitten vikkelästi sen tekijöiksi luvut 641 ja 6700417.

Vai tiesikö hän ne entuudestaan, olisi sen ajan Sherlock voinut kysyä.

123. Olavi Kivalo25.3.2016 klo 19:34

Pitkäperjantain edelleen pitkästyttämiseksi kysäisen, olisiko seuraava kukaties totta:

"The first differences of the roots of floor[tan(n)] = 1,
 where n = -oo ... +oo,
make up an infinite palindrome."

124. Jukkis25.3.2016 klo 21:40

Saattaa ollakin. Kun ottaa nämä juuret

... -200 -197 -178 -175 -172 -156 -153 -150 -134 -131 -128 -112 -109 -106 -90 -87 -84 -65 -62 -43 -40 -21 -18 1 4 23 26 45 48 67 70 89 92 111 114 133 136 155 158 177 180 183 199 202 205 221 224 227 243 246 249 265 268 271 290 293 ...

jolloin erotukset on

... 3 19 3 3 16 3 3 16 3 3 16 3 3 16 3 3 19 3 19 3 19 3 19 3 19 3 19 .3. 19 3 19 3 19 3 19 3 19 3 19 3 3 16 3 3 16 3 3 16 3 3 16 3 3 19 3 ...

niin saa palindromijonon. Sen keskimmäinen termi on 28:s termi (merkattu .3.), joka on juurten 48 ja 45 erotus.

Jos ottaa juuria 1000:een asti, niin tuloksena edelleen palindromijono, jonka keskimmäinen termi on tuo sama 3.

Aika hämmentävää. Miksi ihmeessä jonon keskimmäinen termi on juuri tuo tietty kolmonen? Mahtaako olla olemassa analyyttinen todistus?

125. Olavi Kivalo25.3.2016 klo 23:48

Kun antaa n:n kasvaa edelleen, alun ideaalisuus katoaa. Symmetriakeskus alkaa siirtyä pikkuhiljaa negatiivisten juurien suuntaan, mikä lisää mukavasti haastetta.

126. Jukkis26.3.2016 klo 16:52

Juu, aika haastavaksi tämä menee.

Välillä -11161 ... 11254 olevien juurien erotusjono on 2339 lukua sisältävä palindromi, jonka keskimmäinen termi on edelleen juurien 48 ja 45 erotus.

Tuosta kun hakualuetta vähänkin laajentaa, palindromijonon keskikohta siirtyy. Lievällä hakemisella sitten löytyy esimerkiksi, että välillä -19568 ... 11160 olevien juurien erotusjono on 3201 luvun palindromijono, jonka keskimmäinen termi on juurien -4212 ja -4215 erotus.

Varmaan tuosta voisi jatkaa ja löytää yhä pidempiä palindromijonoja. Mutta aika lailla tämä homma tuli tuon edellisen hakemisessa lypsettyä loppuun.

Onko tätä juttua käsitelty jollain nettisivulla?

127. Olavi Kivalo26.3.2016 klo 18:35

Tässä ollaan tekemisissä ihan itse aiheutetun ongelman kanssa eli sitä ole käsitelty tiettävästi missään. Siksi piti ruveta vähän kavereilta kyselemään.

Olen saanut nuo samat tulokset ja vähän lisää. Ohjelmani on aika robusti ja olen kapasiteetin ylärajalla mitä laskenta-aikaan tulee. Ajattelen, että jollain fiksummalla algoritmilla pääsisi pidemmälle tai sitten puhtaasti päättelemällä, että väite on välttämättä totta tai että se ei voi olla.

Laskin, että välillä n=-10^7…10^7 juuria on 2,048,311 ja palindromin pituus on 2,046,765 ja että symmetriakeskus on juurien -7410 ja -7407 välissä.

Näyttää, että palindromin pituus kasvaisi rajatta, mutta tuntuu että tarvitaan lisää näyttöä, että tohtisi edes esittää konjektuurin.

Symmetriakeskuksen käyttäytyminen on sinänsä ihan mielenkiintoinen ilmiö ja sen lainalaisuutta tekisi mieli tutkia lähemmin.

128. Jukkis26.3.2016 klo 20:39

Muuten, tuossa "roots of floor[tan(n)] = 1" taitaa olla pikku epätarkkuus. Ainakin Matlabissa (ja varmaan muuallakin) esim. floor(-1.5) = -2, kun tässä varmaankin halutaan, että -1.5 antaa arvoksi -1:n.

Matlabissa on fix-funktio, joka vain poistaa luvusta desimaaliosan. Siis esim. fix(-1.5) = -1 ja fix(1.5) = 1. Minä käytin sitä.

129. Olavi Kivalo26.3.2016 klo 21:03

Mistähän tulit tähän päätelmään? Floor on täsmällisesti määritelty. Lasken kaikki Mathematicalla eikä tuloksiin voi tulla mitään, mikä olisi peräisin minun haluistani.
In:= Floor[-1.5]
Out= -2

130. Jukkis26.3.2016 klo 21:52

Ai jaa, sitten me ollaan laskettu ihan eri jonoja. Miten on voitu saada samoja tuloksia?

Nuo 25.3.2016 klo 21:40 luetellut juuret on saatu käyttämällä fix-funktiota (näyttäis Mathematicassa olevan int, joka taas Matlabissa on varattu integroinnille). Jos laitan omaan koodiini fix:n paikalle floor, niin sieltä tulee ihan eri negatiiviset juuret kuin tuolla 25.3.2016 klo 21:40. Eikä mistään palindromijonosta tietoakaan.

Aika ihmeellistä.

131. Jukkis26.3.2016 klo 21:56

Äh, nyt keksin. Ei mitään ihmeellistä. Käytin koodissa hyväksi sitä että tan(-n) = tan(n) ja laskin vain positiivisilla n:llä, jolloin jos tuli välillä -2 ... -1 oleva tan(n), niin sehän tarkoittaa, että löytyi negatiivinen juuri -n. Ja kun sovelsin noihin negatiivisiin floor-funktiota, niin ei toiminut ja piti vaihtaa fix.

Sori sekoilusta.

132. Jukkis26.3.2016 klo 21:57

Eikun että siis tan(-n) = -tan(n).

133. Matti26.3.2016 klo 23:15

Jukkiksen esimerkkiä noudattaen rupesin kelaamaan yo-kirjoitusten pitkän matematiikan tehtäviä. Yhdessä kohtaa rupesi sutimaan tyhjää, ennen kuin hoksasin.

Osoita että 7^2502 + 2^1573 on jaollinen kolmella.

Käyttämäni nettisivu (Simo Kivelä, alias sigma-Simo) näytti vastaukset vain 2000-luvulla olleisiin tehtäviin, mutta ei aikaisempiin, joten en ole varma onko keksimäni "ratkaisu" hyväksyttävä. Taitaa olla, vaikka ei se mikään oikea todistus olekaan. Mutta ehkä osoitus.

134. Jaska26.3.2016 klo 23:44

Mielestäni aika simppeli. 6n+1 * 6n+1 on aina 6n+1, joten myös 7^2502 on muotoa 6n+1. 2 potenssiin parillinen on aina 6n-2.

135. Jaska27.3.2016 klo 00:20

Tapani mukaan sekoilin yösydännä. 1573han on pariton luku. 2 parittomaan potenssiin on aina 6n+2.

136. Olavi Kivalo27.3.2016 klo 10:09

7 mihin tahansa potenssiin + 2 parittomaan potenssiin = jaollinen kolmella.

137. Jaska27.3.2016 klo 11:16

Siis 1+2 on aina jaollinen kolmella:)

Aksiooma: Muotoa 6n+1 olevalla jaollisella luvulla on muotoa 6n-1 olevien alkutekijöiden lukumäärä parillinen tai nolla.

Aksiooma: Kaksi parilliseen potenssiin on muotoa 6n-2, kaksi parittomaan potenssiin on muotoa 6n+2.

138. Matti28.3.2016 klo 00:00

Kylläpä kyllä. Ellei tiedä ennestään, niin kokeilemalla selviää, että 7^n=3k+1,
2^(2n)=k+1 ja 2^(2n+1)=k+2. Epäilin että tämä ei olisi "oikea" todistus, koska yo väitteet pitäisi todistaa. Mutta todistushan käykin helposti induktiolla.

139. Jaska28.3.2016 klo 00:00

4, 9, 14, 21, 26, 33, 38, 46, 49, ?

140. Matti28.3.2016 klo 00:02

... 2^(2n)=3k+1 ja 2^(2n+1)=3k+2 ...

141. Jaska29.3.2016 klo 12:35

Jaaha, taas mahdoton tehtävä virheen johdosta. Ei noita pitäisi yöllä värkätä. Tosin joskus harvoin tulee päiväsaikaankin lapsahdus...

Jonosta puuttuu 25. Siis:

4, 9, 14, 21, 25, 26, 33, 38, 46, 49, 50, 57, 62, 69...

Kullakin jonon luvulla on yhtä monta alkutekijää kuin luvun alkutekijöiden summalla.

142. Jaska29.3.2016 klo 12:57

Tyystin vailla mielenkiintoisuutta eivät ole myöskään luvut, joiden alkutekijöiden summa on alkuluku.

6/5, 10/7, 12/7, 22/13, 28/11, 34/19, 40/11, 45/11, 48/11, 52/17...

143. Olavi Kivalo31.3.2016 klo 11:05

Palaan kysymykseeni päättymättömästä palindromista, koska olen jämähtänyt kapasiteettiongelmaan ja kysymys kutkuttaa.

Hakualgoritmini on hyvin yksinkertainen. Valitaan alue n=-i…+i ja etsitään juurien a(n) pisin differenssijono d, jolle pätee d=Reverse(d), kasvattaen jonoa joko alkupäästä tai loppupäästä.

Toisaalta kysymykseen voi löytyä vastaus myös päättelyteitse? Tangentti on säännöllisesti jaksollinen lukualueen molempiin suuntiin, mutta floorin määrittelytapa aiheuttaa epäsymmetriaa.

144. Juhani Heino8.4.2016 klo 20:52

Kuittaanpa omani pois, kun näköjään kuukausi on kulunut. Luvut olivat sellaisia joissa suomeksi on kirjaimet EKI, eli 47:n jälkeen tulee 50.

145. Jukkis10.4.2016 klo 23:03

Vaihteeksi fysiikkaa, Matti ainakin kiinnostuu. Ei mikään erityinen pähkinä, lähinnä laskutehtävä. Suomalainen Teraloop kertoo kehittelevänsä maan alla pyörivää 500 m -halkaisijaista rengasta (torusta), johon voi säilöä 19 GWh alunperin esim. tuulella ja auringolla generoitua sähköenergiaa kineettisenä energiana. Oletetaan että torus on terästä ja 5 m paksu. Mikä on sen massa (kg)? Mikä on sen pyörimisnopeus (rpm)? Mikä on sen kehänopeus (km/h)?

146. Matti10.4.2016 klo 23:15

Pitää huomenna katsoa. Joo, kiinnostaa. Aiemmin olen törmännyt kineettisen energian varastoihin, siis suunnitelmiin, jotka ovat fyysisiltä mitoiltaan olleet aika pieniä, halkaisija alle metri, mutta jotka ovat pyörineet todella vinhaa vauhtia, luokkaa 100 000 kierrosta minuutissa. Akselin laakerit ovat mageettisesti kellutettuja, siis akseli fyysisesti irti laakerirungosta. On hauska ajatella mitä tapahtuisi, jos mg-kellutus pettäisi ja akseli leikkaisi kiinni. Ja akselin kai pitäisi olla maan akselin suuntainen, jotta impulssimomentin suunta voisi vapaasti säilyä. Jänniä juttuja.

147. Matti11.4.2016 klo 01:16

Lisää muisteloja aiheesta. Kardaaninen ripustus taisi olla välttämätön. Ja vauhtipyörä ei voinut olla terästä, koska keskipakovoimat olisivat repineet sen kappaleiksi, vaan hiilikuitua. Vaikka pienemmän tiheyden vuoksi varastokapasiteettia olisi menetetty, paremman kierroskestävyyden takia sitä olisi saatu takaisin enemmän. Nämä kai olivat alkufundeerauksia ennen varsinaisia rakenneratkaisuja, jos niitä koskaan enää edes tehtiin.

148. Antti11.4.2016 klo 09:30

1 -5 -4 -3 12 13 28 29 44 73 ?

149. Matti11.4.2016 klo 22:06

Nonnii. Suoraviivainen laskenta antaa tulokseksi (toivottavasti ei ole tullut huolimattomuusvirheitä), että renkaan massa on 250 tuhatta tonnia, kierrosnopeus 30 kierrosta minuutissa, ja kehänopeus 2700 km/h.

Painoa on saman verran kuin tuhannella Loviisan ydinvoimalaitoksen reaktoripaineastialla. Rinkilässä on yli 30 000 m3 terästä. Kierrosnopeus on kohtuullinen, kierros kahdessa sekunnissa, sama kuin suuren tuulivoimalaitoksen roottorilla. Kehänopeus on 2,5 kertaa äänennopeus.

Siis aivan huuhaasuunnitelma, tosi syvältä. Paljonko maksaa materiaali, paljonko valmistus ja asennus, paljonko lataus/purkaustehoelektroniikka, paljonko käyttö? Tuuli- ja aurinkovoiman varastoinnillako nämä kulut on tarkoitus kattaa.

150. Jukkis11.4.2016 klo 22:46

Samoja lukemia sain. Mutta sen verran löysin lisäinfoa tästä suunnitellusta 19 GWh:n energiavarastosta, että ei se sentään pyörivä umpitorus olisi, vaan ontto torus, jonka sisällä jonkinlainen maglev-tyyppinen härveli kiertäisi. Tällainenhan on vähän helpompi laskettava, kun tarvii olettaa vain joku massa tuolle kiertävälle vehkeelle, niin voi liike-energiasta laskea tarvittavan nopeuden.

Otetaan massaksi vaikka kilometrin pituisen tavarajunan massa eli 5500 tonnia. Silloin liike-energia 19 GWh = 68.4 TJ vaatii nopeudeksi noin 5000 m/s eli 18000 km/h eli noin 15 Mach. Eli noin kolme kertaa sekunnissa kiertää ringin. Aikamoista menoa maan alla. Myydäänköhän sinne matkalippuja?

Kyllähän tuon käytännön toteutus aika haastavalta vaikuttaa. Mutta mistäpä sitä tietää.

Tässä yksi linkki:
_http://www.tekniikkatalous.fi/tekniikka/energia/s uomalaisyritys-kehittaa-16-gwh-n-energiavarastoa-5 00-metrinen-jarkale-kaivetaan-maan-alle-6246231

Tuolla energiaksi sanotaan 16 GWh, muualla on mainittu 19 GWh.

151. Matti12.4.2016 klo 00:58

Mulle tuli tuosta mieleen, että ei kannata tehdä valtavia giganttisia hitaasti pyöriviä megamassoja, vaan pieniä vinhasti pyöriviä vauhtipyöriä. Ei tehdä yhtä isoa, vaan tehdään monta pientä. Koot ja massat jäävät pieniksi, ja kierrosnopeus voi olla suuri.

152. Jaska19.4.2016 klo 11:59

Antin tehtävä on yli viikon vanha, joten vihjaus ei olisi pahitteeksi ainakaan minulle. Joka olen luultavasti ainoa, joka on edes yrittänyt sitä ratkoa.

Sitten perinteistä helpompaa. Jonon 11, 41, 71, 101 jne. kahden peräkkäisen termin erotus on 30. Mikä on ensimmäinen alkuluku termien summajonossa 52, 123, 224, 355, 516, 707 jne.?

153. Antti19.4.2016 klo 13:28

Jaska, n:n ja n:nnen alkuluvun lineaarikombinaatio.

154. Jaska19.4.2016 klo 18:06

Ei valaise yhtään. Mikä niistä kombinaatioista?

155. Jukkis19.4.2016 klo 18:39

No sehän tässä se pähkinä juuri on. Kun tekee kahden tuntemattoman kahden yhtälön yhtälöryhmän, niin vastaus löytyy. Seuraava luku on 74.

156. Jukkis19.4.2016 klo 18:40

Siis ihan tyystin mahdotonhan tuo oli ilman Antin antamaa lisävinkkiä.

157. Jaska19.4.2016 klo 19:11

Kertoimet -13 ja 7. Olisihan se myös järjestelmällisellä kokeilemisella aikanaan selvinnyt. Langetan itselleni rajut miinukset järjestelmällistyttämättömyydestäni.

158. Antti20.4.2016 klo 06:56

Jaskan 19.4.2016 klo 11:59 antamassa summajonossa ei näytä olevan alkulukuja.

159. Juhani Heino20.4.2016 klo 09:40

Samaa mieltä. Luvut voidaan purkaa osiksi 30n(n+1)/2+11(n+1). Kummassakin osassa on n+1, eli se tekijä löytyy aina.

160. Jaska20.4.2016 klo 11:00

Kyllä näin on. Yksinkertaisin todistus: kaikki yhteenlaskettavat ovat muotoa 6n-1, joten eka summa on jaollinen kahdella, toka kolmella, kolmas neljällä jne.

Sama pätee tietysti viiteen muuhun summajonoon, joiden yhteenlaskettavat ovat muotoa 6n+1 ja 6n-1 erotuksin 30. Kuuden jonon yhteenlaskettaviin sisältyvät siis kaikki alkuluvut, mutta summajonoihin ei ainuttakaan.

161. Antti24.4.2016 klo 09:03

Kahden kokonaisluvun harmooninen keskiarvo on 135.
Löydätkö, minkä kahden?

162. Jukkis24.4.2016 klo 09:56

Yksi lukupari on tietysti 135 ja 135. Sitten löytyy 10 muuta lukuparia.

163. Jukkis24.4.2016 klo 10:08

Jos toinen luku saa olla negatiivinen, niin taitaa löytyä kahdeksan paria lisää.

164. Antti24.4.2016 klo 10:11

Mitä muita pareja voit luetella kuin itsestään selvän 135 ja 135?

165. Olavi Kivalo24.4.2016 klo 10:35

10? Eikös näitä ole loputtomiin?

166. Jukkis24.4.2016 klo 10:59

Juu, eiköhän näitä äärettömästi ole. Olisi pitänyt sanoa, että rajatulla hakemisella löysin tuon verran.

167. Waari24.4.2016 klo 11:33

Löytyi saman verran, kuin Jukkiksella, kun lukuparit x,y
välillä 0<x,y<10000.
68,9180
69,3105
70,1890
72,1090
75 ,675
80 ,432
81, 405
90, 270
105,189
108,180
135,135

Onhan niitä varmaan enemmänkin.

168. Waari24.4.2016 klo 12:03

Eipä taida ollakaan muita ratkaisuja, kun x,y>0.

169. Olavi Kivalo24.4.2016 klo 12:48

Waari kuin myös Jukkis ovat oikeassa. Kun pienempi luvuista on alle 68, niin isomman on oltava negatiivinen.
Esim.
67,-9045
66,-2970

170. Jaska24.4.2016 klo 12:57

72, 1090?

171. Olavi Kivalo24.4.2016 klo 13:10

Parit ovat:

{108, 180}, {105, 189}, {90, 270}, {81, 405}, {80, 432}, {75, 675}, {72, 1080}, {70, 1890}, {69, 3105},
{68, 9180}

{27, -45}, {30, -54}, {45, -135}, {54, -270}, {55, -297},
{60, -540}, {63, -945}, {65, -1755}, {66, -2970},
{67, -9045}

172. Antti24.4.2016 klo 13:33

Kiitos, ratkaisijat kaikki! Pikasilmäys näytti yhden virheellisen parin,
(72; 1090).

173. Olavi Kivalo24.4.2016 klo 17:01

Kiitos vain itsellesi Antti. Tämä oli mukava tehtävä.

174. Juhani Heino24.4.2016 klo 17:45

Erään artikkelin kuvituksesta pisti silmään mielestäni myöskin mukava tehtävä:

x^2+x = 20 (mod 26)

Eli x toiseen plus x = 20+26k, ja k on kokonaisluku. Jos hakee järjestelmällisesti, riittää tutkia arvot 0-25.

175. Olavi Kivalo24.4.2016 klo 20:11

Tuossa pitänee olla kongruenssi- eikä yhtäsuuruusmerkki.

x = 8, 17, 21, 30, 34, …
tai
x = -9, -18, -22, -31, -35, …

??

176. Juhani Heino24.4.2016 klo 20:40

Kyllä, kongruenssi pitäisi olla mutta täällä on ollut vaikeuksia joidenkin erikoisempien merkkien kanssa. Laitan nyt testin vuoksi: ≡

Moduloaritmetiikassa on usein näppärää käyttää positiivisia ja negatiivisia lukuja ristiin ja siten pitää itseisarvo pienenä. Tuossakin 17 -> -9, 21 -> -5, -18 -> 8, (30 ja -22) -> 4.

177. Olavi Kivalo24.4.2016 klo 21:27

Sarjassamme mukavia tehtäviä: erään tennispaidan rintamuksessa on kaava
R[n] = (2*R[n - 1] + x[n])/3
Mikä on tämän differenssiyhtälön ratkaisu?

178. Olavi Kivalo24.4.2016 klo 21:34

Mainittakoon, että tätä tennispaitaa käyttää moni henkilö, mutta käyttö on rajattu.

179. Jukkis25.4.2016 klo 11:30

En minä ainakaan osaa tuota lähestyä mitenkään. Kahden tuntemattoman differenssiyhtälö? Jonkinlaista matematiikkahuumoria?

180. Olavi Kivalo25.4.2016 klo 13:37

Tämä on tavallinen, siis täysin huumoriton, lineaarinen ensimmäisen kertaluvun epähomogeeninen differenssiyhtälö.
R on muuttuja ja x on parametri.

181. Antti25.4.2016 klo 17:05

En tunne differenssiyhtälöitä laisinkaan. Kuten lapsi piirtelee ensimmäisiä ylimalkaisia kuvahahmotelmiaan niin minäkin töherrän jotakin. Antakaa anteeksi osaamattomuteni.

x(0) = 1, x(n)= 0, kun n>0
R(0) = 0
R(1) = 1/3
R(2) = 2/3
R(3) = 4/9
R(4) = 8/9 ...

182. Jukkis25.4.2016 klo 17:26

Minä sain R(n):lle lausekkeen, joka on sen verta mutkikas, ettei jaksa edes yrittää sitä tänne kirjoittaa.

183. Jukkis25.4.2016 klo 20:35

Olisko vastaus tämä:
_http://aijaa.com/py6ZSg

184. Olavi Kivalo25.4.2016 klo 21:39

Kyllä, se on analyttinen ratkaisu.

Tuossa tennispaidassa R tarkoittaa rankingia. R(n) on ranking pelikierroksella n, ja R(n-1) edellisellä kierroksella. x(n) on kierroksen n sijoituksesta saadut pisteet (desimaalilukuja välillä 1…4). Rankingin lähtötaso eli ranking kierroksella 0 on 2.5.

Ratkaisusta nähdään, että pelaajan nykyranking riippuu hänen koko aiemmasta pelihistoriastaan kuitenkin niin, että aiempien sijoitusten paino laskee geometrisesti.

185. Jukkis25.4.2016 klo 22:21

Tuohon minun kaavaan tuli painovirhe, x(n+1):n tilalla pitäis tietysti olla x(i+1). Täällä korjattuna:
_http://aijaa.com/zX1WnO

186. Olavi Kivalo25.4.2016 klo 22:30

Harmittelen hieman, etten muistanut kuinka alkukantaisia tämän foorumin fasiliteetit ovat matemaattisten lausekkeiden esittämiseen.

Antille sanoisin, että omasta mielestäni tässä on yksi hyvä esimerkki differenssiyhtälöiden merkityksestä arkipäivän ongelmien käsittelyyn. Ei muuta kuin opiskelemaan.

187. Jukkis26.4.2016 klo 12:59

Lauantain Hesarissa kolumnisti sanoo: "Olen alkanut itsekin hahmottaa matematiikkaa toisin: 1+1+1 saattaa olla neljä."

Milläs matematiikalla noin on? En minä ainakaan keksi.

Nämähän on ihan selviä:
1+1+1+1 = 0
1+1+1+1 = 1
1+1+1+1 = 4
1+1+1+1 = 10
1+1+1+1 = 11
1+1+1+1 = 100

188. Juhani Heino26.4.2016 klo 13:34

Nonogrammeissa eli siluettiristikoissa 1+1+1 on vähintään 5. Eli sekään ei täsmää. Vaatinee että +:lle määritellään ihan uusi laskutoimitus.

189. Jukkis26.4.2016 klo 16:17

Mitä tarkoittaa "siluettiristikoissa 1+1+1 on vähintään 5"? En minä muista nähneeni plussia noissa. Siellä on vaan että
1 1 1
jos riville tulee kolme mustaa ruutua. Viisi ruutuahan tuossa vähintään pitää olla.

190. Antti10.5.2016 klo 13:33

Siluettiristikoiden sijaan tavallinen lukujono:

1, 5, 9, 6, 3, 7, 4, 8, 5, 9, ?

191. Antti16.5.2016 klo 08:32

a(1) = 1
Olkoon nyt k > 1.

Jos a(k-1)<5, a(k)= a(k-1)+4.
Jos a(k-1)>=5, a(k)= a(k-1)-3

a(9):stä lähtien toistuu {5, 9, 6, 3, 7, 4, 8}
a(11) = 6

192. Matti16.5.2016 klo 17:52

Onko tuo sääntö ihmisen pääteltävissä annetun lukujonon perusteella? Ehkä onkin, kukapa tietää.

193. Antti16.5.2016 klo 21:10

On, Matti. On suoraa seurausta a(k):n kaavasta.

194. Jukkis16.5.2016 klo 21:35

No oli hiukka hömelö vastaus. Siis että lukujonotehtävän vastaus on pääteltävissä sen vastauksesta. Juu-u, varmaankin.

Mutta siis Matti, kyllä minä ainakin jonkin verran pähkäilin tuota 4:llä kasvamista ja 3:lla pienenemistä. Jos olisi huvittanut, niin ehkä tuon vastauksen olisi voinut kekatakin.

195. Matti16.5.2016 klo 21:59

Joo, myönnetään.

196. Antti17.5.2016 klo 07:01

Jukkis, alussa 1:ä seuraa 5, 5:ä seuraa aina 9, ..., 8:a seuraa aina 5 ja tämän jälkeen tulee taas 9 ja niin edespäin.

197. Jukkis17.5.2016 klo 14:49

Sinä vastailet nyt tässä väärään kysymykseen, ei tuo ole kenellekään epäselvää sen jälkeen kun kerroit tehtävän vastauksen. Matti 16.5.2016 klo 17:52 pohdiskeli sitä, oliko kenellekään mahdollista keksiä jonosi 10.5.2016 klo 13:33 säännöksi sitä, jonka kerroit 16.5.2016 klo 08:32. Ja minä 16.5.2016 klo 21:35 sitten jälkiviisaasti pohdiskelin, että ehkä olisi ollut mahdollista tuo sääntö keksiä.

198. Antti17.5.2016 klo 16:16

[Jukkis, sen selityksenä, että ajauduin vastaamaan väärään kysymykseen, annan tämän: En aavistanut, miten vaikeana tehtävää piditte.]

199. Jaska24.5.2016 klo 11:58

Aavistelen teidän pitävän seuraava(st)a sopivan vaikeana:

4, 16, 27, 30, 60, 70, 72, 84, 105, 150, ?

200. Jaska31.5.2016 klo 22:28

Ette tainneet pitää ollenkaan alku(luku)tekijöidensä summalla jaollisten lukujen jonosta. Seuraava 180.

201. Matti26.7.2016 klo 21:21

Kokeillaanpa tällaista:

Eetu heittää yhtä noppaa kerran. Hän haluaa maksimoida silmäluvun. Jos hän ei ole tulokseen tyytyväinen, hän voi uusia heittonsa, jolloin edellinen tulos mitätöityy.

Hän saa taas uusia, ja taas. Maksimissaan hän voi heittää yhteensä 6 kertaa, siis enintään 5 uusintaa.

Minkälaista strategiaa Eetun kannattaa noudattaa, ja mikä on tällöin tuloksen odotusarvo?

202. Jaska26.7.2016 klo 23:55

Kannattaa uusia heitto, jos ei tule kuutosta. Odotusarvon laskeminen jää huomiseen.

203. Matti27.7.2016 klo 00:17

Jos hän saa toiseksi viimeisellä heitolla 5, niin kannattaako hylätä se ja heittää vielä viimeinenkin heitto? Ei tietenkään, koska sen odotusarvo on vain 3,5.

204. Jaska27.7.2016 klo 11:19

Tarkoittanet, että paras taktiikka on odottaa kuutosta viidenteen heittoon saakka ja lopettaa siihen, jos silmäluku on 5. Siinä tilanteessa lopettaminen on tietysti järkevää. Sama tilanne on tietysti heti ekan tai jonkin seuraavan heiton antaessa silmäluvun 5. Matti itse asiassa kysyykin, onko silmäluvun tavoite 5 tai 6 parempi taktiikka kuin pelkän kuutosen kyttääminen.

Kyllä se on. Odotusarvoksi laskin 5,24, kun se mutulla arvelemallani pelkällä kuutosella on 5,03. Matti korjannee tai vahvistanee.

205. Juhani Heino27.7.2016 klo 11:23

Eikös tuossa kannata lähteä lopusta kuten taannoin kehittelemässäni pelissä. Tässä odotusarvot tapauksille 1-6, toivottavasti laskin oikein.

3,5
1/2*7/2 + 1/6*4 + 1/6*5+ 1/6*6 = 21/12 + 30/12 = 51/12 = 4,25
2/3*51/12 + 1/6*5 + 1/6*6 = 34/12 + 22/12 = 56/12 = 4,66...
2/3*56/12 + 1/6*5 + 1/6*6 = 112/36 + 66/36 = 178/36 = 4.944...
2/3*178/36 + 1/6*5 + 1/6*6 = 178/54 + 99/54 = 277/54 = 5.1296296...
5/6*277/54 + 1/6*6 = 1709/324 = noin 5.2747

Eli kun on 1 heitto jäljellä, uusitaan jos saatiin 1-3.
Jos on 2-4 heittoa jäljellä, uusitaan jos saatiin 1-4.
Jos on 5 heittoa jäljellä, uusitaan jos saatiin 1-5.

206. Matti27.7.2016 klo 14:45

Kylläpä kyllä, 5,2747 sain minäkin. Laskuja vähän helpottaa, jos käyttää rekursiota, esim. 1-4 uusittaessa f(n +1)=(2/3)f(n)+(1/3)5,5.

207. Juhani Heino27.7.2016 klo 15:04

Tuosta keksin toisenlaisen pelin. Sekä pelaaja että pankki heittävät noppaa. Pelaajan voitto on hänen oma tuloksensa jaettuna pankin tuloksella. Vähimmillään hän saa 1/6 ja enimmillään 6. Mikä on odotusarvo eli minkä verran vähintään panoksen pitää olla jotta pankin kannattaa järjestää peliä?

208. Jaska27.7.2016 klo 18:58

Sehän riippuu pankin tuottotavoitteesta. Jos se on esim. 20, panoksen pitää olla 1.2*1,43 = 1,716.

209. Jaska27.7.2016 klo 18:59

Siis 20 prosenttia.

210. Juhani Heino27.7.2016 klo 19:10

Jep. Tuo odotusarvo oli n. 1,429 laskujeni mukaan. Jos voitot pyöristetään ylöspäin 5-senttisiin, odotusarvo olisi pikaisen taulukkolaskentaviritykseni mukaan n. 1,4347 euroa. Ei siis muuttaisi sitä että samalla tavalla pyöristettynä pelipanoksen pitäisi olla vähintään 1,45. Ja haluttu tuottoprosentti päälle.

211. Matti27.7.2016 klo 23:35

Juhani Heino, "kuten taannoin kehittelemässäni pelissä", kerro lisää!

212. Juhani Heino28.7.2016 klo 00:41

Käsittelimme sitä yhdessä. Toivottavasti sain muokattua linkkiä niin että se toimii täällä.
sanaristikot.net/keskustelut/index.php?ryhma=1&p1= vast.php&p2=info_3.php&id=5207

213. Matti28.7.2016 klo 21:17

OK, kiitos!

214. Jasla8.8.2016 klo 23:58

Ei hajuakaan, onko kellään hajuakaan seuraavasta. Veikkaan ei, mutta olkoon nyt tovin ilman selitystä.

1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 2, 1, 2...

215. Jaska12.8.2016 klo 19:15

Valaistaan asiaa. Listataan 6n+1 ja 6n-1 muotoa olevia yhdistettyjä lukuja, siis jonon 24, 30, 36, 42 jne eli kuudella jaollisten lukujen viereisiä lukuja. Viidellä jaollisten kaksi jonoa ovat 25, 55, 85, 115, 145 jne, ja 35, 65, 95, 125 155 jne.

Annetaan näille luvuille lähinnä mukavuussyistä sama järjestysnumero niiden viereisen 6n-monikerran mukaan: Siis 4, 9, 14, 19, 24, 29 jne sekä 6, 11, 16, 21, 26, 31 jne. Yhdistetään jonot lukujen suuruusjärjestyksen mukaan:

4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 26, 29, 31 jne. Jonon lukujen väliin jäävät siten 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 18, jne. Lukujen 4 ja 6 väliin jää siis yksi luku, lukujen 6 ja 9 väliin kaksi. Huomataan, että jakso 1, 2 uusiutuu loputtomiin: 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2... Päättelemme, että välilukuja vastaavat 29, 31, 41, 43, 47, 49, 59, 61, 71, 73, 77, 79 jne eivät ole viidellä jaollisia.

Kuten huomataan, jonossa ovat 7:llä jaolliset 49 ja 77. Laaditaan uusi jono, johon otetaan mukaan edellisten lisäksi kaikki luvut, joiden pienin alkutekijä on 7. Sitten laaditaan uusi erotusjono, joka muodostuu niiden yhdistettyjen lukujen jonosta, jossa lukujen pienen alkutekijä on 5 tai 7. Sen jonon alku on edellä 8.8. 23:58 präntätty.

Usko, ettei tuo ollut liian vaiekatajuista. Voitte arvailla, mistä on kyse. Juttu jatkuu.

216. Jaska13.8.2016 klo 17:00

Edellä "erotusjono" oli epäonnistunut termi, vaikka se onkin riippuvainen kahden yhdistetyn luvun erotuksesta. Täsmällisempi on esim. kappalemääräjono. Palaan asiaan.

217. Jaska13.8.2016 klo 22:04

No niin, se oli odotettavissa. Että hosumalla syntyy virheitä. Alkuperäisestä jonosta 8.8. puuttuu yksi ykkönen, jonka paikka on viimeisen nollan jälkeen. Lisäksi eilinen tarina on vähän (?) sumea, joten yritetään selventää.

Jono 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 26, 29, 31, 34, 36, 39... symboloi siis jonoa 24, 36, 54, 66, 84, 96, 114, 126, 144, 156, 174, 186, 204, 216, 234 ja näiden lukujen viereisiä yhdistettyjä lukuja, joiden pienin alkutekijä on 5. Siis lukuja 25, 35, 55, 65, 85, 95, 115, 125, 145, 155, 175, 185, 205, 215, 235.

Lukujen 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217... pienin alkutekijä on 7. Lisätään niiden symboliluvut 8, 13, 15, 20, 22, 29, 34,
36 edelliseen jonoon. Saadaan jono 4, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 21, 22, 24, 26, 27, 29, 31, 34, 36, 39...

Symbolilukujen korjatuksi erotusjonoksi saadaan
1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 2

Kun kahden luvun erotus on 2, niiden välissä on yksi luku. Ensimmäinen 1 siis tarkoittaa, että lukujen 4 ja 6 välistä puuttuu yksi luku. Siis 5 eli 30, jonka kahdella viereisellä luvulla 29 ja 31 ei kummallakaan ole pienintä alkutekijää 5 tai 7.

Kun kahden luvun erotus on kolme, niiden välissä on kaksi lukua. Ensimmäinen 2 siis tarkoittaa, että lukujen 16 ja 19 välistä puuttuvat luvut 17 ja 18 eli 102 ia 108, joiden neljästä viereisestä luvusta 101, 103, 107 ja 109 ei yhdelläkään ole pienintä alkutekijää 5 tai 7.

0 siis tarkoittaa, että kahden peräkkäisen luvun erotuksen ollessa 1 niiden välissä ei voi olla yhtään lukua.

Jatkuu ajallaan.

218. Jaska15.8.2016 klo 00:06

Seuraava askel on rakentaa nollista, ykkösistä ja kakkosista jono, joka syntyy vastaavasti niistä yhdistetyistä luvuista, joiden pienin alkutekijä on joko 5, 7, tai 11. Se tapahtuu seuraavasti. Kirjoitetaan ylläoleva 20 merkin jono identtisesti 11 kertaa ja listataan vastaavat symbolit.

Toinen 11-kertaisen uuden jonon jakso alkaa siis 39, 41, 43, 44, 46 jne, siis ekan jonon luvut + 35. Näin jatkaen yhdennentoista jakson viimeinen luku on 386. Saatu jono täydennetään yhdistetyillä luvuilla, joiden pienin alkutekijä on 11. Listataan lukujen 121, 143, 187, 209, 253... vastaavt symboliluvut, lisätään ne ao. kohdille. Erotukset ja siis 0-1-2 -rytmi muuttuu. Osa ykkösistä muuttuu kahdeksi nollaksi, osa kakkosista nollaksi ja ykköseksi tai ykköseksi ja nollaksi. Alkuperäiset nollat pysyvät ennallaan. Näin syntyy pienimpien alkutekijöiden 5, 7, 11 jakso, jonka 0-1-2 kpl-määrät ovat 136*0, 93*1 ja 23*0.

Jatkuu sopivana aikana.

219. Jaska15.8.2016 klo 11:57

Edeltävien toteamusten perusteella päädytään lemmaan:

Muotoa 6n+1 ja 6n-1 olevat yhdistetyt luvut, joilla on sama pienin alkutekijä, muodostavat äärettömiin jatkuvan jaksojen ketjun, joten myös yhden jakson lukujen erotukset toistuvat identtisesti äärettomiin. Jakson pituus on jaksoon sisältyvien lukujen pienimpien alkutekijöiden tulo kerrottuna kuudella.

Jakso. joka sisältää vain em. yhdistettyjä lukuja, joiden pienin alkutekijä on 5, on pituudeltaan 6*5 =30.

Jakso, joka sisältää lukuja, joiden pienimmät alkutekijät ovat 5 tai 7, on pituudeltaan 6*5*7 = 210.

Jakso, joka sisältää lukuja, joiden pienimmät alkutekijät ovat 5, 7 tai 11, on pituudeltaan 6*5*7*11 = 2310.

Pituudet jatkuvat jaksoittain seuraavaksi suurimmalla alkuluvulla kerrottuna:

30030
510510
9699690
22309287
6469693230 jne.

Näissä jaksoissa nollien, ykkösten ja kakkosten lukumäärä on aina suurempi kuin edellis3essä jaksossa.

Jatkuu otollisen ajan koittaessa.

220. Jaska15.8.2016 klo 23:55

Mistä kolmonen tuonne putkahti. Vain nollista, ykkösistä ja kakkosista on kyse. Niiden absoluuttinen lukumäärä siis kasvaa jakso jaksolta, mutta lukumäärien keskinäiset taajuussuhteet muuttuvat. Nollien lukumäärät jaksoittain kasvavat nopeammin kuin ykkösten ja kakkosten lukumäärät, ykkösten lukumäärät kasvavat nopeammin kuin nollien lukuimäärät

Yhtenäistä, äärellisestä kohdasta alkavaa ja äärettömiin jatkuvaa jatkuvaa nollajonoa ei siis synny. Se tarkoittaa, että alkulukukaksospareja ja tuplapareja eli alulukunelosia on ääretön määrä. Jos tietokoneissa olisi riittävä kapasiteetti, voitaisiin tähän saakka suurimpia tunnettuja suurempia kaksosia myös paikantaa. Itse kukin voi testata esitetyn proseduurin tulosten paikkansa pitävyyttä niin pitkillä jaksoilla kuin kone sallii.

221. Antti17.8.2016 klo 11:29

1, 4, 17, 38, 105, 150, 265, 334, 497, ?

222. Jaska17.8.2016 klo 11:59

Antilla on nyt jokin jekku, jota en hoksaa. Jos toinen luku olisi -2, tehtävä olisi helppo. Lukua 497 seuraisi 590. Katsotaan paremmalla ajalla uudelleen.

223. Antti19.8.2016 klo 13:35

a(n) = (n:s alkuluku)^2 - (n:s alkuluku) - n
n=1, 2, 3, ...

224. Jaska19.8.2016 klo 19:11

Antti, tehtäväsi oli hyvä, ja sinä itse tapasi mukaan malttamaton:)

225. Jaska21.8.2016 klo 22:24

Kisat ovat ohi, ja on parempi aika keskittyä oleelliseen. Korjaan 15.8. 00:06 lopussa olevan 0-1-2 jakauman lukumäärävirheen. Pannaan se Rion piikkiin... Oikeat luvut ovat 136 nollaa, 93 ykköstä ja 21 kakkosta. Virhehän oli helppo huomata, mutta huomautusta ei ole näkynyt. Kukaan ei siis ole vielä tutustunut jatkoromaaniini.

Yritin lähettää mahdollisesti ymmärrettävämpää jatkoa romaaniini ko. 5*7*11 -jakson kera, mutta liian pitkänä se olisi pitänyt älytä säilöä ensin. Niinpä se häipyi kuin kaasupurkaus autiomaahan. Joskus toiste sitten.

226. Jaska22.8.2016 klo 15:18

Tässä 5*7*11 -jakso, josa nolli enimillään viisi peräkkäin.

1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1

jatko siis identtinen

227. Jaska22.8.2016 klo 15:41

Nollia siis enimmillään. Seuraava vaihe on kiirjoittaa jakso 12 kertaa uudelleen ja lisätä jonoon 4, 6, 8, 9... ne tähän saakka esiintymättömät luvut, jotka toteuttavat ehdon pienin alkutekijä 13. Täydennetyn jonon uusi 0-1-2 välilukujakauma tarkoittaa siis, että väliin on jäänyt 0, 1, tai 2 lukuparia, joiden kumpikaan luku ei ole jaollinen alkuluvuilla 5, 7, 11 ja 13. Siinäkään jaksossa peräkkäisten nollien lukumäärä ei jatku kahden peräkkäisen alkuluvun neliöstä neliöön. Niin kuin ei jatkossakaan.

228. Jaska27.8.2016 klo 01:02

Jatketaan pelkkiä nelosia, ei siis pelkästään alkulukusellaisia haravoimalla. Niin kuin kaikki ymmärtäneet lienevät, tarkoitan niillä numeroihin 1, 3 sekä 7, 9 päättyvää kahta lukuparia. Ne ovat kahden yhdistetyn luvun välissä etäisyydellä 16, 18 tai 20. Yllä olevan jonon 21 kakkosta vastaavat siis kahta lukupaia, joiden neljästä luvusta yksikään ei ole jaollinen alkuluvuilla 5, 7 tai 11.

Haetaan seuraavaksi nelosia, jotka eivät ole jaollisia alkuluvuilla 5, 7, 11 tai 13. Ensimmäiset neloset ovat jo tutut 101, 103, 107, 109. Viimeiset ovat 29921, 29923, 29927, 29829 Tiedämme neljä ensimmästä lukua entuudestaan myös alkulukunelosiksi. Jonon perusteella voimme päätellä asian siitä, että luvut ovat pienempiä kuin 11^2 = 121. Varma tieto kaksosista ja nelosista pelkästään jaksoista päättelemällä rajautuukin jakso jaksolta peräkkäisten alkulukujen neliöihin. Tämä ei kuitenkaan hievauta järkkymätöntä, säännöllisiin jaksoihin perustuvaa mekanismia, joka tietokonekapasiteettien ulottumattomissakin tuottaa äärettömästi uusia varmoja alkulukaksosia ja -nelosia.

Alustavan laskentani tulokseksi 13*21*4 taulukosta sain 82 13:lla jaollista lukua. Kakkoset vaihtuvat siis ykköseksi ja nollaksi. Jäljelle jää 191 nelosryhmää, jotka eivät ole jaollisia alkuluvuilla 5, 7, 11, 13. Sen voisi joku teistä pelien ja vehkeiden haltijoista ja ohjelmointitaitoisista joutessaan tsekata. Ei seuraava 510510-pituinenkaan jakso kovasti työläs liene.

229. Antti1.9.2016 klo 18:16

Matriisimenettelyjen mieleen palauttamiseksi helppo harjoitus.

A ja B ovat 3*3 matriiseja ja B = {1;2;3;1;3;4;4;3;9} ja
A+2*B^-1 = {15;-8;1;7;-1;2;-7;9;3}.
Laske A.

230. Antti11.9.2016 klo 23:34

B^-1 = {7,5 ;-4,5; -0,5; 3,5; -1,5; -0,5; -4,5; 2,5; 0,5 }
A+2*B^-1 = {15;-8;1;7;-1;2;-7;9;3}
Siis A = {0; 1; 2; 0 2; 3;2; 4; 2}

231. Jaska17.9.2016 klo 19:51

Edellisen viimeisessä kappaleessa "sain 82 13:lla jaollista lukua... jäljelle jää 191 nelosryhmää..." ynnäysvirhe. Pitää olla 81 ja 192. Oleellinen on siis ennallaan: seuraavassa jaksossa esiintyy neloslukuja, joiden pienin alkutekijä ei ole 4, 7, 11 tai 13.

232. Jaska17.9.2016 klo 23:15

Piti siis olla 5, 7, 11, tai 13.

Tehdään seuraavaksi vastaoletus alkulukukaksosten lukumäärän äärettömyydelle. Jos niiden lukumäärä on äärellinen, jokin kaksospari on viimeinen. Miten todistat, että viimeistä kaksosparia ei ole?

233. Jaska23.9.2016 klo 18:12

Todistus. Olkoon suuruusjärjestyksessä viimeiseksi oletettu kaksospari kahden peräkkäisen alkuluvun x ja y välissä. Olettamuksen mukaan on jatkossa luvun y^2 jälkeen jokaisen alkuluvun +2 tai - 2 parina yhdistetty luku, jonka pienin alkutekijä on y.

Se on aksiomaattisesti mahdotonta, koska edellä esitetyn kumoamattoman jaksojärjestelmänkin mukaan alkuluvun parina voi olla toinen alkuluku tai yhdistetty luku, jonka pienin alkutekijä voi olla mikä tahansa alkuluku.

234. Jaska23.9.2016 klo 18:57

Kömmähdys kämmähdys. Tietysti täydellisessä lukujonossa on y:llä äärettömiin jatkvien jaollisten niiden välissä isommilla alkuluvuilla jaollisia. Tarkoituksena oli todistaa, että myöskään sellaiset yhdistetyt luvut eivät riitä äärettömiin jatkuvan nollaputken syntyyn. Palaan vielä asiaan selvemmin päin.

235. Jaska23.9.2016 klo 22:45

Ehkä vähän selvemmin päin jo.

Luvun y^2 jälkeen suuruusjärjstyksessä on ääretöm määrä alkulukuja. Olettamuksen mukaan nillä kaikilla on siis parinaan yhdistetty luku.

Jos kahdella yhdistetyllä luvulla on sama pienin alkutekijä, ja molemmat ovat muotoa 6n+1 tai 6n-1, niiden keskinäinen etäisyys on 6p (p = ko. alkuluku) tai jaollinen luvulla 6p. Peräkkäisten eli kumpaakin muotoa olevien yhdistettyjen etäisyydet noudattavat ääettömiin jatkuvaa kobinaatiojonoa 4p + 2p.

Kaikkien lukua y^2 seuraavien alkulujen parina ei voi olla yhdistetty luku, jonka paina on y:llä jaollinen luku. Pdennetaan se pyyhkimällä lukujonosta Eratostenesta mukaillen (vain luvut muotoa 6n+1 ja 6n-1 huomioiden ) yli kaikki luvut, joissa y on pienin alkutekijä. Sitten pyyhitään yli kaikki yhdistety luvut, joiden pienin alkutekijä on pj+1, jne. Aina jää jälljelle lukuja seuraavaksi suurimmmalla alkuluvulla ylipyyhittäväksi.

Sääntö koskee luonnollisesti mitä tahansa yhdistettyjä lukuja. Olettakaamme (siis erheelisesti), että lukua 5^2 lähinnä seurava kaksospari 29-31 on suurin eli viimeinen. Pyyhitään yli jonosta 29-31, 35-37, 42-43, 47-49, 53-55... kaikki luvut jotka ovat jaollisia seitsemällä. Jäljelle jäävästä jonosta pyyhitään yli kaikki 11:llä jaolliset jne. loppumattomiin.

Ja asia siis voidaan todentaa esitettyä jaksojärjestelmää äärettömiin jatkamalla.

236. Antti15.10.2016 klo 04:23

1, 8, 11, 18, 29, 1, 7, 15, 25, ?

237. jaska15.10.2016 klo 10:34

Vaikuttaa ensi silmäyksellä vaikealta. Luodaan useampia, kunhan ehditään.

Edellä tokavikassa kappaleessa on vika, niin kuin kaikki ensi silmäyksellä ovat huomanneet. Vikaparin 42-43 kuuluu kuulua eli näkyä 41-43.

238. Jaska18.10.2016 klo 23:24

Antti, olisi kiva saada jonoosi kaksi termiä lisää, jos mahdollista.

239. Jaska27.10.2016 klo 13:31

Antti ei siis syystä tai kolmannesta ole käynyt säikeellä. Väkisinhän tuosta saa vaikutelman, että kyse on kahdesta eri jonosta. 1, 7, 15, 25 jatkuisi siis 37, 51 jne erotusjonon ollessa 6, 8, 10, 12, 14 jne. Siis esim. 6^2 - 5*7, 7^2 - 6*7, 8^2 - 7*7, 9^2 - 8*7, 10^2 - 9*7, 11^2 - 10*7 jne. Mutta tällä idealla yhtenäinen jono alkaisi ekasta ykkösestä 1, -3, -5, -5, -3.

Idea on siis jokin muu, mutta vaikea hiffata, kun mitään lineaarisuutta ei havaitse. Jakojäännökset voisivat tulla kyseeseen, mutta en niitä ainakaan ilman lisätermejä viitsi pohtia.

240. Antti2.11.2016 klo 18:01

Kaksi seuraavaa on 37 ja 51.

Kaksi seuraavaa on 37 ja 51.
Muutto on säikeellä käymättömyyden syy.

sä

241. Antti14.11.2016 klo 00:52

Kaksi seuraavaa on 37 ja 51.
Muuttotouhut eivät sallineet poiketa säikeelle.

Lisäohje: p(j)=JAKOJ(j^3;a*j^2+b*j+c),
j=1, 2, 3 ...
a, b ja c kokonaislukuja.

242. Jaska14.11.2016 klo 12:10

Joitakin simppelimpejä jakojäännöksiä tuli kokeiltuakin. Niiden tuloksena oikea arvelu, että tehtävä on käytännössä mahdoton ratkottava.

243. Jukkis14.11.2016 klo 14:10

Tuo Antin pulmahan oli taas ihan tolkuton.

244. Matti16.11.2016 klo 17:04

Tämä on vanha tehtävä: Jonglöörin on vietävä itsensä ja kaksi palloa samanaikaisesti sillan yli. Jonglööri painaa 80 kg ja pallot painavat 10 kg kumpikin, mutta sillan kantokyky on vain 95 kg. Onnistuuko tehtävä, ja jos onnistuu, niin miten?

245. Jaska16.11.2016 klo 17:27

Matti ei mainitse sillan pituutta, mutta oletetaan niin pitkäksi, että yli hyppääminen pallojen kera ei onnistu. Sillalla ollessaan jonglöörin pitää siis heitellä palloja niin, että toinen on jatkuvasti ilmassa. Onnistuu, jos on tarpeeksi ruista ranteessa ja pallon nousukulma askeleeseen sopiva. Helppo nakki Teräsmiehelle.

246. Jukkis16.11.2016 klo 18:34

Googlasin tuon. Kaikenlaisia vastauksia löytyy. Epäselväksi jäi, mikä on totuus.

247. Juhani Heino16.11.2016 klo 21:03

Kai se teoriassa on mahdollista, mutta mun maallikkoajatteluni mukaan ei. Jos oletetaan että toinen pallo on ilmassa, toisen pallon pitäminen kädellä tarkoittaisi 90 kg painoa. Ylöspäin heittäminen tietenkin lisää siltaan kohdistuvaa rasitusta, ja marginaalia on vain 5 kg.

Toki kyse voi olla siitä että painorajoituksessa on turvamarginaalia jo itsessään, mutta silloin kuka tahansa voisi kantaa pallot yli.

248. Matti16.11.2016 klo 21:05

Mieti itse!

249. Matti16.11.2016 klo 21:25

Ei ole edes teoriassa mahdollista - se on helppo laskea.

Lähdetään tilanteesta, jossa jonglööri ottaa vasemmalla alas putoavan pallon kiinni, kun sen nopeus on V. Hän ryhtyy jarruttamaan sitä hidastuvuudella g/2, jolloin siltaa rasittaa jonglöörin paino 80 kg, pallon paino 10 kg sekä inertiavoima 5 kg, siis maksimikuormitus. Hän jatkaa jarruttamista, antaa pallon pysähtyä, ja saattaa sen takaisin kopinottopisteeseen. Hetkellinen nopeus on taas V, mutta nyt ylöspäin. Aikaa manööveriin kului 4V/g.

Pallo nousee hidastueen ylöspäin, saavuttaa lakipisteensä ja tulee alas kopinottopisteeseen. Taas nopeus on V, mutta aikaa kului vain 2V/g, puolet edellisestä.

Mutta tänä aikana oikeanpuoleinen pallo pitäisi jarruttaa, pysäyttää ja kiihdyttää nopeuteen V, ja käytettävissä oli vain puolet tarpeellisesta ajasta. Ei onnistu.

250. Jukkis16.11.2016 klo 22:34

En voi sanoa tajunneeni. Muistuu taas mieleen, miten olen aina keskikoulusta lähtien jonkin verran inhonnut näitä mekaniikan juttuja, missä pitää miettiä, mitkä voimat vaikuttaa aina kunnekin ja jonnekin ja johonkin suuntaan. Fysiikassa aaltoliike on jännää ja sähkö ja magnetismi.

251. Jaska16.11.2016 klo 23:57

Miksi pallojen pitää välillä pysähtyä? Heitän pallon kohti lakipistettään, ja lasketulla hetkellä toisen. Otan ensin putoavan pallon vastaan varpaillani ksäsi ojossa, juuri pallon kosketushetkellä lasken kättä, kyykistyn ja siirrän pallon jo liikkeessä olevaan toiseen käteen, vauhditan nousemalla kyykystä ottaen samalla askeleen eteen, nousen hieman taas varpailleni ja sinkoan pallon kohti lakipistettään, samalla kun edeltävä pallo alkaa pudota omastaan. Pallon nopeus tietysti vähenee vastaaottovaiheessa, mutta äkkipysöhdystä ei tapahdu. Operaatio edellyttää tietysti pallojen ratojen ja omien liikkeiden tarkkaa kalkyylia.

252. Juhani Heino17.11.2016 klo 00:38

Luulen että Jaskan ehdotuksessa silta romahtaa jo jonglöörin itsensä painosta, kun hän nousee kyykystä.

Se teoreettinen mahdollisuus lienee lähinnä, että hyvin pitkä jonglööri vähitellen menee yhä enemmän kyykkyyn, ja samalla myös pallojen liikeratojen keskikorkeus laskee. Mutta tämä saadaan eliminoitua tekemällä silta mielivaltaisen pitkäksi, mikä ei kai vesitä alkuperäistä ajatusta.

253. Antti17.11.2016 klo 08:40

14.11 klo 00:52
p(j)=JAKOJ(j^3;j^2+7)

254. Jukkis17.11.2016 klo 08:56

Uudelleen miettien ymmärsin täysin Matin analyysin. Eli tippuvan pallon vastaanottaminen ja uudelleenheitto vie niin kauan, että saman tien on molemmat pallot käsissä.

Jaska kysyy "Miksi pallojen pitää välillä pysähtyä?". Oleellista tietysti on nopeuden vertikaalikomponentti, jonka pakostakin on hetkellisesti nolla. Se, että jotenkin aiheuttaa vastaanottotilanteessa pallolle myös vaakasuoran liikeen, jolloin kokonaisnopeus ei ole nolla, ei auta.

255. Antti17.11.2016 klo 10:14

1, 1, 1, 1, 3, 5, 9, 13, ?

256. Matti17.11.2016 klo 23:18

Juhani Heinolta jännä havainto. Käytetään potentiaalienergiaa pankkina, josta lainataan liike-energiaa. Tuota voisi vielä funtsia, että toimiiko.

257. Juhani Heino17.11.2016 klo 23:21

Toimii se, jos silta on tarpeeksi lyhyt. Mutta jos sillä ylitetään vaikka 50 m levyinen rotko, en usko että kenenkään pituus, ketteryys ja juoksunopeus riittää.

258. Matti17.11.2016 klo 23:33

No näinhän se tietysti onnistuu: Jonglööri lähtee liikkeelle molemmat pallot käsissään pään yläpuolella. Hän lähtee liikkeelle ja samalla laskee palloja alaspäin kiihtyvyydellä g/2. Nyt rasitus sillalle on 90 kg. Pian pallot uhkaavat osua sillan kanteen, mutta silloin jonglööri onkin jo vastarannalla, nopea kun on. Heh.

259. Matti17.11.2016 klo 23:36

Meni vastaukset ristiin Juhani Heinon kanssa. Onnistuu siis, noinkin, että kyykistyy ja heittelee lyheneviä kaaria.

260. Jaska18.11.2016 klo 11:27

Tarkoitin kaarevaa, ei vaakasuoraa liikettä. Tarkemmin ajatellen siinä piileekin ratkaisu. Varustetaan pallo varrella ja heittokahvalla. Jonglööri eli moukarinheittäjä pyörittää siis yhtäikaa kahta palloa heti sillalle tullessaan sellaisella nopeudella, että keskipakoisvoima neutraloi riittävän osan siltaan kohdistuvasta rasituksesta. Siis jos silta on niin pitkä, ettei pysty heittämään ensin moukareita yli ja tallustelemaan itse perässä.

261. Juhani Heino18.11.2016 klo 11:38

Ei onnistu. Tuossa on vielä selkeämmin suljettu systeemi, eli kokonaispaino on 100 kg. Eli jos pyöritetään täsmälleen vastakkaisessa vaiheessa, paino pysyy samana, mutta jos siitä poiketaan, välillä paino pienenee ja välillä jopa ylittää 100 kg.

262. Jukkis18.11.2016 klo 11:50

"Tarkoitin kaarevaa, ei vaakasuoraa liikettä."

Ettäkö liikkeellä on vertikaalisen ja horisontaalisen komponentin lisäksi myös kaareva komponentti?

263. Jaska18.11.2016 klo 17:50

Kuka muu ei ymmärtänyt sanomaani?

264. JUkkis18.11.2016 klo 18:31

Kuka ymmärsi?

265. Jaska18.11.2016 klo 19:23

Kaikki, luultavasti Jukkiskin. Esim. moukarilla on sitä pyöritettäessä rotaatioliikerata. Se on kaareva.

266. Juhani Heino20.11.2016 klo 14:09

Niin on, mutta jos moukaria pyöritetään täsmälleen vaakasuoraan, se ei käsittääkseni vaikuta systeemin kokonaispainoon (täsmällisemmin alaspäin kohdistuvaan voimaan) mitenkään. Jos taas kiertoliike on vähän vinossa tai peräti pystyssä, paino vaihtelee sitä enemmän mitä nopeammin pyöritetään. Keskiarvo kuitenkin on sama kuin alunperin.

Tuosta tuli mieleen toinen asia: alaspäin kohdistuvaa painoa voi hieman pienentää nojaamalla vaikka seinään, eli muuttamalla voimasta osan vaakasuuntaiseksi. Tässä tapauksessa auttaisi sillan viereen pingotettu köysi, johon voisi nojata. Mutta tehtävänantoon tämä ei kuulunut.

267. Matti20.11.2016 klo 23:42

Siis kitkavoima ottaisi osan painosta kantaakseen, jos nyt oikein ymmärsin.. Eli aika kireälle pitäisi vaijeri vetää. Mutta miksipä ei, kaikin mokomin.

268. Juhani Heino22.11.2016 klo 12:18

Ei kitkavoima, vaan osan painosta siirtäminen. Voit kokeilla seisomalla vaa'alla ensin suorassa ja nojaamalla sitten seinään. Lukeman pitäisi hieman pienetä, ei paljon - mulla lähti muutama kilo. Tietenkin sitä enemmän mitä raskaammin saa nojattua.

269. Matti23.11.2016 klo 00:16

Minun mienlestä se nimenomaan on kitkavoima, joka keventää rasitusta lattiaan. Lepokitka muuttaa vaakasuoran työntövoiman pystysuoraksi kitkavoimaksi. Ellei kitkavoima niin mikä sitten? Vai puhummeko nyt toistemme ohi.

270. Juhani Heino23.11.2016 klo 23:59

Ehkä olen ymmärtänyt väärin, mutta seinään nojaaminen kohdistaa siihen voimaa ja mistä se sitten olisi pois ellei alas kohdistuvasta voimasta.

Vaakakokeeni toki on voinut mennä pieleen siten, että voimavektorin suunta on muuttunut viistoksi ja siksi näkyy väärä lukema.

271. Jaska24.11.2016 klo 12:58

Alkuperäinen jonglööri sai neuvon Juhani Heinolta ylittää silta sen ulkopuoliseen vaijeriin nojaten. Hän on siis lliikkeessä, selkä on koko ajan kontaktissa vaijeriin. Kyllähän siinä myös liikekitka vaikuttaa. Ehkä olen väärässä, mutta eivätpä näy alan miehetkään pääsevän asiasta yksimielisyyteen.

272. Juhani Heino24.11.2016 klo 14:09

Vaijerin toki saisi viritettyä myös suunnilleen samaan tasoon sillan kanssa, jos sitä saisi käyttää. Silloin voisi surutta laittaa pallot vaikka taskuun (jos mahtuvat) ja liikkua sivuttain niin että noin puolet painosta on käsien kautta vaijerin varassa ja loput jalkojen kautta sillan varassa. Ei suositella huimauksesta kärsiville.

273. Jukkis24.11.2016 klo 17:24

Tein kokeen. Punnitsin laudan keittiövaa'alla, 1200 g. Sitten aloin kallistaa vaa'alla pystyssä olevaa lautaa. Ensin niin, että tuin laudan yläpäätä sen alapuolelta kädellä. Kun lauta kallistui, niin vaa'an lukema pieneni ja oli lopulta 600 g, kun lauta oli vaakasuorassa.

Sitten laitoin vaa'an lattialle seinän viereen, laudan yläpää nojasi seinään. Aloin siirtää vaakaa poispäin seinästä, jolloin tietysti lauta kallistui sen yläpään liukuessa alaspäin seinällä. Tulos: Vaa'n lukema pysyi koko ajan 1200 g:ssa. Paitsi kun lähestyttiin laudan vaakasuoraa asentoa, niin lukema pieneni jonkin verran. Mutta tämä varmaan johtui siitä, että olin teipannut vaa'alle pienen palikan, joka esti laudan alapäätä liukumasta pois vaa'an päältä laudan kallistuessa. Lauta työntyi tätä palikkaa vasten, jolloin siitä aiheutuva voima vaikutti vaa'n lukemaan.

Saa selittää. Tai siis tuo eka koe ei selitystä kaipaa, sen tulos on ihan ymmärrettävissä. Mutta mites tuo toinen?

274. Matti24.11.2016 klo 18:10

"mistä se sitten olisi pois ellei alas kohdistuvasta voimasta." Juuri näin, ei mistään. Eli kitka keventää sillan kuormaa. Ihan samoin me on ajateltu.

Jukkis, toista koe siten, että otat laudan välillä pois, siirrät vaakaa, ja asetat laudan uudelleen. Mielestäni sen teipatun korokkeen ei pitäisi häiritä lopputulosta. Sama kai se, estääkö laudan kaatumisen lepokitka vai koroke. Mäkin yritän kokeilla jahka vaimon ystävätär poistuu. Nyt en kehtaa.

275. Jukkis24.11.2016 klo 18:22

Toistin kokeen noin kun ehdotit. Ei vaikuta asiaan. Vaa'an lukema ei muutu.

Mutta en ymmärtänyt, mitä yrität tuossa ekassa kappaleessa sanoa. Sitäkö, että kyllä sen vaa'an lukeman pitäisi pienentyä?

276. Juhani Heino24.11.2016 klo 18:29

Ehkä mulla on tosiaan ollut ajatusvirhe energian säilymisestä. Seinään tosiaan kohdistuu voima, mutta seinä antaa samansuuruisen vastavoiman. Tavallaan voi kai ajatella, että seinä osaltaan painaa laudan toista päätä. Jos seinä antaisi periksi, silloinhan se alkaisi osaltaan kannattaa laudan yläpäätä ja vaakalukema pienenisi.

277. Matti24.11.2016 klo 22:48

Kyllä sen vaaan lukeman pitäisi minun järjen mukaan pienentyä. Jospa se pienenee Jukkiksen kokeessa niin vähän, että ei näy lukemassa. Juhani Heinolla pieneni muutaman kilon. Se voisi olla 3% painosta. Jukkiksen laudassa se olisi 36 g.

278. Jukkis25.11.2016 klo 08:35

Hatustako tuon 3 % vetäisit? Oletitko jonkin kitkakertoimen? Pitäiskö tuon muutoksen olla laudan kallistuskulman funktio?

Mutta eihän tuossa minun kokeessa tosiaan ihan pientä vaa'an lukeman pienenemistä kovin helposti huomaa. Kun vaakakin on hiukka epämääräinen. Kunnon digitaalisella näytöllä varustetulla kun testaisi, niin ehkä sitten.

279. Jaska25.11.2016 klo 12:06

Katsastin uudelleen Antin vaikealta vaikuttavaa 17.11. jonoa, johon ratkaisuja voi olla useitakin. Kokeillaan kepillä jäätä jatkolla 19, 29, 39, 53, 69...

Jos ei ole oikein, niin lisävinkkaus on tarpeen.

280. Matti25.11.2016 klo 18:07

Arvioin JH:n painoksi 60kg. Hän kertoi kevenneensä nojauksen ansiosta muutaman kilon. Siitä tuo 3%.

Muutos on ilman muuta kallistuskulman nouseva funktio.

281. Juhani Heino25.11.2016 klo 18:50

Pitänee kiittää kohteliaisuudesta. Vaaka ilmoitti tylymmin yli 80 kg.

282. Antti28.11.2016 klo 12:54

Jaska, hyväksyttäneen. Mikä on kaavasi?

283. Jaska28.11.2016 klo 18:50

Peräkkäisten alkulukujen summajonon ja kaikkien kok.lukujen neliöiden jonon termikohtaiset erotukset suuruusjärjestyksessä.

284. Matti29.11.2016 klo 00:39

Nyt kun tämän säikeen avoinna olevat pulmailut on pulmailtu, voidaan avata uusi säie Lukujono 18.

↶ Takaisin aiheisiin Siirry ylälaitaan ↑

KOMMENTOI

8709. Lukujono 17

Lähettäjä: *

Teksti: *