Lukujono-7 - Muut aiheet - Keskustelut

↶ Takaisin aiheisiin Siirry alalaitaan ↓

5698. Lukujono-7

Olavi Kivalo19.8.2010 klo 09:11

Mitähän siitäkin tulee, kun lasketaan yhteen kaikki Fibonacci-luvut varustettuna etumerkillä (-1)^n, n=0,1,2,3,...,ääretön?

2. Antti19.8.2010 klo 09:37

Hajaantuva sarja, koska yhteenlaskettavien raja-arvo ei ole nolla.

3. Juhani Heino19.8.2010 klo 09:52

Tai yhtä hyvin miinus ääretön, siis -∞? Ehkä jopa paremmin perusteltuna, koska lukupareina (ensin plus ja sitten miinus) vähennetään aina suurempi luku kuin lisätään. Paitsi aluksi, jos aloitetaan 1,1,2... eikä 0,1,1,2...

Pitänee vain todeta että sarja ei suppene eikä edes kasva eikä vähene monotonisesti.

4. Jukkis19.8.2010 klo 11:50

Mitä tuo n=0,1,2,3,... tarkoittaa? Mikä on nollas Fibonacci-luku?

5. Matti19.8.2010 klo 14:44

Entä tuleeko mitään, jos lasketaan yhteen kaikki
(-1)^n*1/(Fibonacciluvut). Tämä on alternoiva sarja (termit ovat vuoroin positiivisia ja negatiivisia) ja termin lim = 0, joten sarja suppenee. Onko summa lausuttavissa jollakin lailla suljetussa muodossa? En ole itse tätä vielä yhtään katsonut.

6. Olavi Kivalo20.8.2010 klo 10:41

Matin kompa painii eri sarjassa, koska sarja on suppeneva. Kuudella desimaalilla summa on -0.289145. Tähän tarvitaan vain 31 ensimmäistä termiä.

Akuperäinen kompa voidaan esittää myös muodossa: Osoita, että 0-1+1-2+3-5+8-13+21-34+55-... = -1.

7. Jaska20.8.2010 klo 13:13

Siinä se tuli. Kompahan on ihan ankan perseestä.

8. Matti20.8.2010 klo 22:30

Katselin hetken edellä esittämääni ääretöntä summaa
1/(Fibonacci-luku), mutta ei siitä mitään lohjennut.

Sen sijaan netistä löytyi ihan mielenkiintoinen Zeckendorfin lause:

Jokainen kokonaisluku voidaan esittää yksikäsitteisellä tavalla Fibonacci-lukujen summana siten, että lukujen indeksit eroavat toisistaan vähintään kahdella. (Siis yhtä F-lukua saa käyttää vain kerran, ja peräkkäisiä F-lukuja ei hyväksytä.) Esim. 100 = 89 + 8 + 3.

Esitys löytyy helposti siten, että otetaan ensin suurin mahdollinen F-luku, katsotaan erotus, otetaan erotukseen nähden taas suurin F-luku jne. Tätä kutsuttiin ahneusalgoritmiksi. Lukujen maailma on ihmeellinen.

9. Olavi Kivalo20.8.2010 klo 23:08

Johdatukseksi divergenttien sarjojen ihmeelliseen maailmaan seuraavatkin kultamunat ovat samaiselta ankalta:
1-1+1-1+1-1+1...=1/2 ja 1+2+3+4+5+... =-1/12

10. Matti21.8.2010 klo 21:41

OK, olen tällaisia numeroleikkejä nähnyt, joissa siis annetaan hetkeksi piupaut kaikille tylsille määritelmille ja todistuksille. Mutta nuo yllä esittämäsi eivät nyt aukea. Anna neljän pisteen vihje.

11. Olavi Kivalo22.8.2010 klo 01:21

Divergentit sarjat ovat vaivanneet matemaatikkoja jo vuosisatoja. Tosi matemaatikko (kuten Euler, Poisson, Fourier etc) ei nimitäin hyväksy intuitiivista kuittausta, että summaa vaikkapa kaikista Fibonacci-luvuista varustettuna etumerkillä (-1)^n ei olisi olemassa, yksinkertaisesti koska yhteenlaskettavat oskilloivat yhä kasvavalla amplitudilla. Mikä se sellainen perustelu on? Abel lausui tuskastuneena 1828: "divergent series are the invention of the devil"

Koska aihetta on puitu kauan, siitä on kirjallisuutta yllin kyllin. Googleen vain "sum of divergent series", jos ei ole tuttu.

Eräs tapa todistaa, että 1-1+1-1+1-1+1...=1/2 menee näin: Olkoon päättymätön summa S=1-1+1-1+1-1+1...
Vähennetään tämä ykkösestä:
1-S=1-(1-1+1-1+1-1+1...)=1-1+1-1+1-1+1...=S.
Siis 1-S=S, josta S=1/2.

Tulos voidaan johtaa muillakin tavoilla ja on nykyisin yleisesti hvväksytty tulos.

12. Jaska22.8.2010 klo 12:19

Näyttää yksinkertaiselta. Tulos on siis nollan ja yhden keskiarvo.

13. Olavi Kivalo22.8.2010 klo 14:05

Lähes yhtä yksinkertaisesti voidaan osoittaa, että
1+2+3+4+5+... =-1/12, mutta tulosta on jo paljon vaikeampi hyväksyä intuitiivisesti.

14. Matti22.8.2010 klo 16:33

Ihan todestahan tätä ei voi ottaa, sillä symboli S ei tarkoita mitään, koskapa sarja ei suppene. Missään nimessä se ei ole reaaliluku. Mutta ainahan numeroilla saa leikkiä.

Samaan tapaan "voidaan osoittaa" OK:n alkuperäinen kompa: sum((-1)^n)Fib(n) = -1.

Ylläolevaa päättelyä käytetään aika paljon suppenevien summien ja raja-arvon omaavien jonojen selvittämisessä, esim. äärellisen tai suppenevan äärettömän geometrisen sarjan summan laskemisessa. Toinen esimerkki on
sqr(2+sqr(2+sqr(2+ ... Tämän raja-arvo on 2.

Ylläoleva tuo mieleen taannoisten Kauppalehden viikonloppunumeroiden kesäristikot "saunan lämmetessä". Niissä oli rikottu suunnilleen kaikkia Ekin ja ++juhin latimia ristikosääntöjä. Mutta ei se mitään, välillä on hauska vähän irroitella.

15. Olavi Kivalo22.8.2010 klo 17:17

Enpä lähde tähän arvuutteluun, pitäisikö ottaa todesta vai ei. Matematiikassa on paljon vaikeasti ymmärrettäviä käsitteitä äärettömän lisäksi (Mikä itse asiassa on ääretön?) kuten nyt vaikka imaginaarisuus.

Matti, otatko todesta antamani summan alternoivasta päättymättömästä jonosta (-1)^n*1/Fib(n). Suljettua muotoa en löytänyt, mutta ei sellaista ole löydetty myöskään jonolle 1/Fib(n).

16. Matti22.8.2010 klo 18:15

OK, palaan tähän Fib(n)-aiheeseen paremmalla ajalla. Keksin kyllä sen formaalin laskelman, joka antaa
tulokseksi -1.

17. Jaska22.8.2010 klo 18:16

Ääretön = saavuttamaton, ulottumattomissa oleva. Kokemusperäisessä maailmassamme kaikki on äärellistä, koska aivosolujemme lukumäärä ja ikä ovat äärelliset, ja ne toimivat äärellisellä nopeudella. Niiden kapasiteetti on siis äärellinen. Tosin se riittää tuottamaan käsitteen ääretön, joka kuitenkin on em. syistä äärellinen eikä siten voi olla kokemamme maailman ulkopuolella olevan äärettömän eksakti kuvaus.

18. A24.8.2010 klo 14:00

Jaska, puhut oikein ulkopuolellame olevasta ääretttömästä. Hän on pannut iankaiikkisuuden, siis äärettömän sydämeemme. Niin aivosolumme eivät tuota äärettömän käsitettä, vaan ääretön on antanut edessään vastuulliselle ihmiselle kyvyn jonkin verran tajuta äärettömyyttä.

19. Matti24.8.2010 klo 21:49

Kommentteja OK:lle 22.8.2010 klo 17:17 (muutkin saa lukea)

Olkoon S = alternoiva Fibonacci-sarja. Jos muodostetaan sarja T=S+S siten että T(n)=S(n)+S(n+1) havaitaan että
T=S-1. Siis T on sama alternoiva Fibonacci-sarja, ja tähteeksi jää vielä -1. Siis S+S=S-1, eli hajaantuvan alternoivan Fibonacci-sarjan summa on S=-1, MOT.

Tarina jatkuu. Jos U=S-S siten että U(n)=S(n+2)-S(n), huomataan, että U=S-S=-S, eli S=0. Siis hajaantuvan alternoivan Fibonacci-sarjan summa on myös S=0. Summa ei siis ole yksikäsitteinen, vaan sillä on ainakin kaksi eri arvoa.

Tässä S tarkoittaa välillä koko sarjaa, välillä sarjan summaa, siis reaalilukua, aina tarpeen mukaan. On hyvä, että ajattelu ei kangistu kaavoihin, vaan on fleksiibeliä.

Osoitteessa -http://cornellmath.wordpress.com/2007/07/28/sum-d ivergent-series-i/
Cornellin yliopiston sarjassa "The Everything Seminar" aiheesta kerrotaan lisää.

Kuten tunnettua, 1+x+x^2+x^3+ ... = 1/(1-x)
Kun sijoitetaan x=-1, saadaan sarjan summaksi 1/2. Sarjahan on hajaantuva 1-1+1-1+1-1 ... Ylläolevan tuloksen OK johti toisin keinoin.

Arvo 1/2, vaikka ei hajaantuvan sarjan summa olekaan (summaa ei hajaantuvalla sarjalla, määritelmän mukaan, ole), on kuitenkin sarjan Cesaro-summa. Se saadaan ottamalla osasummien jonoista aritmeettinen keskiarvo. Se suppenee, koska osasummien jono 1,0,1,0,1,0, ... on rajoitettu. Ja tällä tavoin luku 1/2 liittyy ko. sarjaan.

Millä jekulla 1+2+3+4+ ... =-1/12, sitä en vielä keksinyt.

Summa summarum. Olen konservatiivi, ja pidän edelleen siitä kiinni, että sarja suppenee kohti summaa S, jos osasummien muodostaman jonon lim=S. Muulloin se hajaantuu, ja summaa ei ole olemassa. Jos osasummien jono ei lähene mitään raja-arvoa, mutta on rajoitettu, sarjalle löytyy Cesaro-summa. On siis väärin sanoa, että sarjan 1-1+1-1+ ... summa on 1/2. Ei ole, vaan sarja on Cesaro-summautuva, ja ko Cesaro-summa on 1/2.

Ymmärsin, että Cornellin yliopiston matematiikan laitoksen The Everything Seminar on kieli poskessa tehtyä iloittelua. Ainahan tällaiselle tilaa löytyy, varsinkin kun päivät pitkät puurretaan aksioomien ja teoreemien parissa.

Minulla ei ole mitään tarvetta väittää, että olen oikeassa ja muulla tavalla ajattelevat väärässä. "Antaa kaikkien kukkien kukkia!" (Mao Tse Dong)

20. Olavi Kivalo25.8.2010 klo 00:46

Sarjan nimenä ja sarjan summana ei sovi käyttää samaa symbolia, ellei tarkoituksena ole johtaa harhaan. Mao olisi samaa mieltä.

Siis osoita, että alternoiva summa luvuista Fib(n), n=0,1,2,3,...ääretön, on yhtä kuin -1.

Eräs tapa lähtee lausekkeesta
Fib(n)=[f^n-(-1/f)^n]/Sqrt(5), jossa f=[1+Sqrt(5)]/2.
Summattaessa oikealle puolelle saadaan kahden geometrisen sarjan summan erotus eli
S= [1/(1+f)-1/(1-1/f)]//Sqrt(5) = -1

21. Olavi Kivalo25.8.2010 klo 00:52

Odottelen edelleen kannanottoa kommentteihini Matin kompaan 19.8.2010 klo 14:44.

22. Matti25.8.2010 klo 13:06

OK, laskit 6-desimaalisen likiarvon sarjan +-1/Fib(n) summalle, hyvä näin. Muihin kommentteihisi arvelin, että yllä oleva pitkä puheenvuoroni riittäisi. (Jos nyt Sinut oikein ymmärsin.)

23. Matti25.8.2010 klo 21:20

OK 25.8.2010 klo 00:46

Paljonko on 1+2+4+8+16+ ... Hei, sijoitetaan päättymättömän geometrisen sarjan summan kaavaan
S=a/(1-q) arvot a=1 ja q=2. Saadaan S=-1. Helppoa kuin heinänteko. Suppenemissäteestä muistuttaisi vain ilonpilaaja.

OK:n kahden geometrisen sarjan summan erotuksessa ensimmäisen sarjan suhdeluku on (1+Sqr5)/2, noin 1,618 ja siis >1. Kieli poskella -asennetta siis tarvitaan.

24. Olavi Kivalo25.8.2010 klo 23:59

Mitä on äärettömän tuolla puolen?

Suuresti kunnioittamani Euler demonstroi tätä lukujonolla 1/(N-n), n1,2,3,... Kun n<N lähestyy N;ää, jono käyttäytyy siten, että termit lähestyvät ääretöntä ja äärettömän jälkeen muuuttuvat negatiivisiksi seuraavasti ..., 1/3, 1/2, 1/1, 1/0, 1/-1, 1/-2, 1/-3, ...

Alkaisiko 1+2+3+4+... = -1/12 jo tuntua siedettävämmältä?

25. Matti28.8.2010 klo 21:38

Tuoreimmasssa T&T:ssä kysytään, kuinka monta erilaista leikkikolikkoa tarvitaan, ja mitkä ovat niiden nimellisarvot, jos halutaan, että minkä tahansa summan yhdestä sentistä yhteen euroon voi maksaa korkeintaan kahdella lantilla.

Itse tarvitsen 18. Löytyykö pienempiä ratkaisuja?

26. nassakka29.8.2010 klo 11:09

Samat 18 tarvitsin. Tosin tuo minimimäärä löytyy useammalla eri tavalla.

27. Jaska29.8.2010 klo 11:30

Riittää yksi euron kolikko esitetyllä sanamuodolla. Jos maksettava summa on alle euron, ei ole pakko vaatia vaihtorahoja. Tehtänä kuvauksesta puuttuu siis siihen oleellisesti kuuluva sana "tasasumma."

28. Matti29.8.2010 klo 16:20

nassakka, sain viidellä eri tavalla 18. Löytyisikö näitä tapoja kombinoimalla vielä lisää tapoja, en tiedä.

29. Jukkis29.8.2010 klo 17:38

Minä yritin koodata ohjelman, joka etsisi vastauksen, mutta meni liian vaikeeksi keksiä algoritmi, joka olisi muuta kuin ihan älyttömän pitkään ohjelman suoritusaikaan johtava brute force -tyyppinen runnaus.

30. Jaska29.8.2010 klo 18:43

Helpoimmin löytyvä siis 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Vähän (?) vaikeampi lienee todistus, että 18 eri arvoa on minimi.

Lisätehtävä: kuinka monta säännön mukaista lanttikombinaatiota on yhteensä arvoille 1-100?

31. Jaska29.8.2010 klo 18:48

Siis 18 eri lantin nimellisarvoa.

32. Matti30.8.2010 klo 00:30

Jaskan esittämä on epäilemättä havainnollisin ratkaisu. Ensin ykköset, sitten kympit.

Mun oma proseduuri, joka antoi viisi erilaista 18-vaihtoehtoa, ei sisältänyt tuota Jaskan ratkaisua. Näin on kai toteen näytetty, että näitä viittä kombinoimalla löytyy lisääkin ratkaisuja, mm. tuo Jaskan esittämä.

33. nassakka30.8.2010 klo 10:12

Tarkastellaan erästä ratkaisua:
1,2,3,4,5,6,7,8,16,25,34,43,52,61,70,79,88,97.

Nyt suurin kolikko voi olla mikä tahansa väliltä 92-97 c. Jos suurimman kolikon nimellisarvoa pienennetään sallituissa rajoissa, myös edellistä voidaan pienentää ja sitä edellistä jne aina 16 centin kolikkoon asti. Kahden peräkkäisen kolikon erotus ei saa kasvaa suuremmaksi kuin 9 c. Näin ollen ratkaisukombinaatioita löytyy varmaankin satoja.
Kahdensantoista erilaisen kolikon tulos saadaan valitsemalla "pikkurahoiksi" alun peräkkäiset arvot 1...n, ainakin jos n=7...11.( En ole tsekannut kaikkia vaihtoehtoja tältäkään osin.)
Kahden kolikon nimellisarvon väli on maksimissaan n+1. Eri n:n arvoilla loppupäähän jää erilainen "liikkumavara" ja siis lanttikombinaatioita on eri määrä eri n:n arvoilla. Hiukan ratkaisujen määrään vaikuttaa tehtävän tulkinta siltä osin, että voiko maksaa kahdella yhtäsuurella kolikolla. Siis esim. yo. ratkaisussa 16 c=8c+8c, jolloin tarvittava seuraava kolikko olisikin maksimissaan 17 c eikä 16 c.
Em. logiikalla Jaskan ratkaisu (n=10), voidaan venyttää muotoon:
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,21,32,43,54,65,76,87,98. Nähdään, että suurin kolikko on välillä 90...98 ja toiseksi suurin välillä 79...87 jne...
Ratkaisukombinaatioita on siis melkoisesti jo tapauksessa n=10.

Jään odottamaan josko joku pääsisi alle 18 rahan. Silloin vastaus saattaisi olla yksikäsitteinen ja edellä oleva pohdiskelu tarpeeton.

34. Matti30.8.2010 klo 16:03

Laskin tuolla nassakan esittämällä tavalla läpi vaihtoehdot 3-20 (siis alku on 1,2,3,6 ... 1,2,3,4, ... ,19,20,40...) ja sain trvittavien kolikoiden määräksi 35,27,23,21,19,19,18,18,18,18,18,19,19,20,21,21,22 ja 23. Tulin aika vakuutuneeksi siitä, että 18 on minimi. Todistus on sitten eri juttu.

35. Antti3.9.2010 klo 13:54

Odotusarvoista lisää. Korissa on
12 valkoista sukkaa,
12 mustaa sukkaa ja
12 sinistä sukkaa.
Korista poimitaan sukkia satunnaisesti, kunnes on saatu kaksi samanväristä sukkaa.
Mikä on tarvittavien poimintojen lukumäärän odotusarvo?

36. Matti3.9.2010 klo 19:58

Mä sain 2,928. Tarkka tulos on tietysti rationaaliluku, mutta tässä kolme ensimmäistä desimaalia. Jos päädytte samaan, kuitatkaa laittamalla pari desimaalia lisää.

37. Jaska4.9.2010 klo 01:03

Päädyin viidellä desimaalilla tulokseen 2,85167. Saattoi tulla Matilla tai minulla jokin näppäilyvirhe?

38. Antti4.9.2010 klo 08:09

Sain 2,932. Tietäessäni oikean vastauksen olevan kahden desimaalin tarkkuudella 2,93 lähetin tehtävän luullen laskeneeni oikein. Vastauksenne kertovat muuta. Matti, ja Jaska, pyydän laskulausekettanne.

39. Jaska4.9.2010 klo 10:42

Arvelini yöllisesti pöpperöydestäni osui oikeaan. Nyt yritin olla tarkkana ja sain tulokseksi viidellä desimaalilla 2,92773:

2*11/35 + 3*(24/35*22/34) + 4*(24/35*12/34)

Mistä johtunee pieni ero Antin tulokseen.

40. Jaska4.9.2010 klo 10:45

Arveluni yöllisestä... Taisin olla vielä aamupöpperössäkin...

41. Matti4.9.2010 klo 11:24

Jatkan Jaskan tulosta: 2,9277311

42. Antti4.9.2010 klo 16:37

Jaska, eron aiheutti lausekkeeni epätarkkuus.

2, 4, 6, 8, 50, 232, 458, 648, 622, 572, 498, ?

43. Antti6.9.2010 klo 16:10

Koska viimeiseeni ei ole tullut ratkaisua, annan vihjeen.
Lukujono on {a(j)}, j=1,2,...
j:s luku on a(j) = 2 * mediaani[j, k(j), l(j)],
jossa k(j) ja l(j) ovat j:n alhaisen asteisia polynomeja.

44. Antti8.9.2010 klo 06:15

Seuraaja on 400.
a(j) = 2 * mediaani[j, 11*j^2-30*j-100, -6*j^2+89*j-4]

45. Jaska8.9.2010 klo 13:31

Hmmm... kas kun en noin simppeliä oivaltanut. Tässä vielä lälliksempi:

-2, 14, -9, 29, -30, 58, -56, 82, -80, ?

46. Jukkis8.9.2010 klo 13:41

Ai siis että jono
2, 4, 6, 8, 50, 232, 458, 648, 622, 572, 498, 400, ...
saadaan näin:
a(j) = 2 * mediaani[j, 11*j^2-30*j-100, -6*j^2+89*j-4]

Ei juma, näissä ei kyllä ole enää mitään tolkkua. Miten kukaan voisi tuollaista keksiä? Miksi kukaan edes yrittäisi?

47. Antti9.9.2010 klo 06:31

Olen pahoillani tolkuttoman vaikeasti ratkaistavan pulman lähettämisestä. Katsotaanpa Jaskan tehtävää.

48. Olavi Kivalo9.9.2010 klo 14:27

Pythagoraan teoreemasta nousee monia lukujonoja. Mitähän tämä esittää?
2, 4, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 14, 16, 18, 12, ....

49. Jaska9.9.2010 klo 23:01

Viimeinen 12 vaikeuttaa, ei säteile. Taitaa olla jokin yhdelmä.

Seuraava Pythagorakseen perustuva on mielestäni niin ikään kiinnostava ja lienee helpompi kuin OK:n.

1, 49, 161, 287, 391, 511, 721, 799, 1057, 1351, 1457, 1681, ?

50. Olavi Kivalo10.9.2010 klo 10:09

Tämä Jaskan jono on omani erikoistapaus, jossa kateeteille on asetettu rajoite.

51. Jaska10.9.2010 klo 22:51

Jatketaan teemaa. Mikä osamäärien jono?

1, 2, 3, 5, 6, 7 ad infinitum

52. Jaska10.9.2010 klo 22:55

[Äsken tuli neljään säikeeseen viesti samalla minuutilla 22:51. Ennätyskö?]

53. Olavi Kivalo11.9.2010 klo 14:06

Mitähän teemaa tuo osamääräjono edustaa?

54. Jaska12.9.2010 klo 00:00

Kyllä siinä Pythagoraasta on kyse. Yhteen-, kerto-, ja jakolaskut jonoon johtavat.

55. Olavi Kivalo12.9.2010 klo 11:53

Tuo nelosen puuttuminen vaikeuttaa. Ei säteile.

Mutta osamääräjono 1,2,3,4,5,6,7,... on (c-a)/(a+b-c), jossa c on hypotenuusa, ja a<b ovat kateetit.

56. Jaska12.9.2010 klo 12:16

OK:n ratkaisu tietenkin OK. Minun tarkoittamani on ab/a+b+c, kun a = parittomat konaisluvut 3, 5, 7, ...

57. Jaska12.9.2010 klo 12:18

Sulut puuttuivat.

58. Olavi Kivalo12.9.2010 klo 12:25

Tästähän ei ole pitkä matka ratkaista nuo 9.9. esitetyt.

59. Olavi Kivalo12.9.2010 klo 16:27

Huomattakoon, että käytetyillä rajoitteilla
(c-a)/(a+b-c) = b/(a+b+c).

60. Antti12.9.2010 klo 19:33

2, 2, 11, 101, 5, 7, 127, 2, 3, 3, 13, 19, ?

61. Jaska12.9.2010 klo 21:09

Katsoinpa uudelleen 8.9. 13:31 jonoani, kun ei ratkaisua näkynyt. Pahat aavistukseni osoittautuivat oikeiksi. Siis jono vääräksi. Sekoilin. Ei auta kuin hillittömästi sorista. Näin sen piti mennä:

-2, 14, -12, 32, -30, 58, -56, 92, -90, 134, -132, 184, -182 jne ja syntyy seuraavasti:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120...
3, 1, 10, 6, 21, 15, 45, 36, 66, 55, 91, 78, 120, 105...

ynnätään ja miinustetaan allekkaiset luvut vuorotellen:

4, 2, 16, 4, 36, 6, 64, 8, 100, 10, 144...

miinustetaan toisesta luvusta alkaen edellinen luku = ratkaisujono.

62. Jaska12.9.2010 klo 21:17

Sekoilu jatkui. Binomikertoimista 28 putosi pois. Siis:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36 ,45, 55, 66, 78...
3, 1, 10, 6, 21, 15, 36, 28, 55, 45, 78, 66....

63. Matti12.9.2010 klo 22:55

Iso S osui miettimään mielenkiintoista kysymystä HS:n 10 palkinnonsaajan arvontaprosessiin liittyen.

Olkoot vastauskirjeistä osuus p oikeita ja osuus (1-p) vääriä. Nostetaan vastauksia niin kauan, että saadaan 10 oikeaa vastausta. Nyt voisi ajatella, että nostetuissakin vastauksissa oikeiden osuus on p, ja väärien (1-p). Vaan onklo asia näin, vai eikö ole?

Oletetaan, että vastauksia on niin paljon, että nostoprosessi ei muuta nostamatta jääneiden vastausten osuuksia p ja (1-p).

64. Jaska13.9.2010 klo 00:06

Asia on niin, mutta tietenkin vain määrätyllä todennäköisyydellä. Eksaktiin lukemaan tarvitaan arvontaan osallistuvien kokonaismäärä sekä oikeiden ja väärien kokinaismäärä.

65. Olavi Kivalo13.9.2010 klo 10:41

Siivotaanpa seuraava alta pois.

Tarkastellaan primitiivisten suorakulmaisten kolmioiden joukkoa, siis niiden, joiden kateetit a<b ja hypotenuusa c ovat kokonaislukuja. Kun tripletin jäsenet a, b ja c sekä näistä johdetut termit kuten a+b-c, b-a, jne. järjestetään pienimmästä alkaen, saadaan erilaisia lukujonoja. Näistä moni on julkaistu OEIS:ssa.

Kun järjestetään pienemmän kateetin mukaan, muodostaa kateettien summan ja hypotenuusan erotus a+b-c lukujonon, jonka annoin ja jota ei ole julkaistu OEIS:ssa:
2, 4, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 14, 16, 18, 12, ....
Kateettien erotus b-a muodostaa tällöin lukujonon
1, 7, 17, 7, 31, 49, 23, 71, 23, 71, 97, 47, 127, 161, ...

Kun jälkimmäisestä jonosta siivotaan pois termit rajoitteilla
(1) c-b = 1 (josta seuraa b-a = (a^2-2a-1)/2, josta seuraa myös (c-a)/(a+b-c) = ab/(a+b+c))
(2) b-a ei ole alkuluku,
saadaan Jaskan antama jono, jota ei myöskään ole julkaistu OEIS:ssa:
1, 49, 161, 287, 391, 511, 721, 799, ...

[Viestissäni 12.9. oli painovirhe, b/(a+b+c) piti olla ab/(a+b+c)]

66. Jaska13.9.2010 klo 13:17

Pieni harjoitustehtävä Matin eiliseen 20:55 viestiin liittyen. Oletetaan, että Helsingin Sanomien ristikon arvontaan saapuu 550 ratkaisua, joista 50 on vääriä. Niistä arvotaan satunnaispoiminnalla yksi ratkaisu kerrallaan, kunnes arvottuja oikeita ratkaisuja on kymmenen (olettaen, että vääriä ei hyväksytä oikeiksi). Mikä on todennäköisyys kolmella desimaalilla, että arvonnassa valikoituneiden ja muiden ratkaisujen oikeitten/väärien suhde on sama?

67. Jaska13.9.2010 klo 13:18

Aargh. 22:55 viestiin liittyen.

68. Matti13.9.2010 klo 13:52

Esittämääni tehtävään on eksakti ratkaisu. Oletettiin, että vastauksia on ääretön määrä (mikä on sama asia kuin se, että oikeiden ja väärien vastausten osuudet eivät muutu nostojen vuoksi).

Voidaan osoittaa, että vastauksia joudutaan nostamaan 10/p kpl. Lopun pitäisi jo olla helppoa.

69. Antti13.9.2010 klo 18:02

2, 2, 11, 101, 5, 7, 127, 2, 3, 3, 13, 19, ?

Olen iloinen keksittyäni edellisestä pulmastani mielestäni edukseen poikkeavan tahtävän. Avain ei ole käsittääkseni löytämättömissä.

70. Matti13.9.2010 klo 18:07

... joudutaan nostamaan _keskimäärin_ 10/p kpl.

71. Jaska13.9.2010 klo 20:09

Matin äärettömyysteorian käsitän vaivalloisesti siten, että keskimäärin kymmeneen voittoon tarvittava nostomäärä ja nostettujen oikein/väärien suhde ovat samat, siis 10/(1-p).

Käytännössä pelataan äärellisillä luvuilla, jolloin keskimäärin tarvittavien nostojen määrä on käsittääkseni aina pienempi kuin 10/(1-p) oikeiden ja väärien suhteesta riippuen. Eri juttu on sitten onko nostettujen o/v suhde p/(1-p) vai eikö ole. Sille voidaan laskea todennäköisyydet. Mikä on siis ratkaisusi 13:17 tehtävääni?

Täytynee Antinkin tehtävää vilkaista, kun kerran ratkaisu on (kenen on, kenen ei) löydettävissä. Tuntitolokulla en sitä aio yrittää.

72. Matti13.9.2010 klo 22:59

Tiedetään siis, että nostoja tarvitaan keskimäärin 10/p ennenkö 10 oikeaa vastausta on nostettu.

Nostetuissa on 10 oikeaa ja keskimäärin 10/p - 10 väärää. Väärät per oikeat ovat siis (10/p - 10)/10 = 1/p - 1 = (1-p)/p. Siis sama suhdeluku kuin koko vastausläjässä, joten iso S:n hypoteesi osui oikeaan.

Laitoin vastausten kokonaismääräksi äärettömän, jotta nostot eivät olisi muuttaneet suhdetta p/(1-p) ja aiheuttaneet turhia teknisiä komplikaatioita. Kyseessä oli siis idealisointi, jotta ongelman pääasia ei sotkeutuisi lillukanvarsiin.

Oma messunsa on, miten lasketaan se, että nostoja tarvitaan keskimäärin 10/p kpl.

Jaska, fundeeraan huomenna sun 13:17 tehtävää.

73. Antti14.9.2010 klo 08:02

Että tehtäväni kohtuullisessa ajassa ratkeaisi, helpotan vielä vähän: Pane merkille, mitä lukuja kaikki jonon luvut ovat.

74. Jaska14.9.2010 klo 14:21

Heti toki pantiin, mutta tunnin pähkäily ei avannut ratkaisun saloja. Antaa nyt muidenkin yrittää.

75. Antti14.9.2010 klo 17:19

Lukujono muodostuu osajonoista, jotka kaikki ovat kasvavia. Mikä toimitus kunkin osajonon sisällä pitää tehdä, että muunnetut osajonot tuottaisivat kauniin jonon?

76. Matti14.9.2010 klo 18:36

Jatkan vielä viimeistä aihettani. Keskimäärin piti siis nostaa 10/p vastausta. Keksin tämän osoittamiseen lyhyen ja helpon tavan. (Alunperin laskin sen vaikeimman kautta.)

Olkoon f1 satunnaissuure, joka =1, jos ensimmäinen nosto osuu oikein ratkotulle ristikolle, ja =0, jos se osuu väärin ratkotulle. f2 on muuten sama, mutta se koskee toista nostoa. Samoin määritellään f3, f4, ...

f1:n odotusarvo Ef1 = 1*p + 0*(1-p) = p. Samoin Ef2 = p, Ef3 = p, ...

Summa sum(1 to n)fi on satunnaissuure, joka kertoo montako oikeaa vastausta sisältyy n:ään ensimmäiseen nostoon. Sen odotusarvo = n*p. Saadaan yhtälö n*p = 10, eli n = 10/p, mot.

77. Matti14.9.2010 klo 20:23

Jaska 13.9.2010 klo 13:17

Ainoa vaihtoehto sille, että nostetuissa ja nostamatta jääneissä oikeiden ja väärien suhde on sama on se, että joudutaan nostamaan 11 kuorta, joissa on siis 10 oikeata ja yksi väärä (joka ei voi olla 11. nosto, sillä peli olisi päättynyt jo edelliseen nostoon).

Tämän todennäköisyyden laskeminen ei ole vaikeaa. Sain 0,354.

Liittymä edelliseen tehtävään on se, että kun 550 ja 50 kasvavat rajatta, todennäköisyyden lim on 1.

78. Jaska14.9.2010 klo 22:49

0,354 oikein. Vielä yksi kysymys samaan aiheeseen liittyen: mikä jono suhteesta b/a muodostuu Pascalin keskipystyrivin (a) ja sen viereisen pystyrivin (b) lukujen suhteista:

3/2, 10/6, 35/20, 126/70, 462/252, 1716/924, 6435/3432 jne.

79. Antti15.9.2010 klo 09:50

Epäonnistuin taas ainakin tehtävän muotoilussa. Annan ratkaisun.

2, 2, 11, 101, 5, 7, 127, 2, 3, 3, 13, 19, ?

Alku, 2, 2, 11, 101, on 4444:n alkutekijät,
jatko, 5, 7, 127, on 4445:n alkutekijät,
jatko, 2, 3, 3, 13, 19, on 4446: alkutekijät,
seuraavana on 4447:n alkutekijät eli 4447.

80. Jaska15.9.2010 klo 11:47

Älä masennu Antti! Se oli ihan kelvollinen hoksaamistehtävä, jonka ratkaisu oli ihan ilmeinen eilisen 17:19 vihjeesi jälkeen. Itse luovutin turhan aikaisin, ja muut eivät kenties vaivautuneet yrittämäänkään?

81. Antti15.9.2010 klo 11:52

Kiitos, Jaska!

82. Antti16.9.2010 klo 10:00

5, 9, 14, 19, 26, 31, 38, 43, 50, ?

83. Jaska16.9.2010 klo 21:30

59, 64, 73, 80 jne.

84. Antti17.9.2010 klo 04:31

Hyvä, Jaska.
a(j) = j:s alkuluku + 3*j

85. Matti17.9.2010 klo 21:39

Jaska: "Vielä yksi kysymys samaan aiheeseen liittyen: mikä jono suhteesta b/a muodostuu Pascalin keskipystyrivin (a) ja sen viereisen pystyrivin (b) lukujen suhteista: 3/2, 10/6, 35/20, 126/70, 462/252, 1716/924, 6435/3432 jne."

Supistamalla saadaan (2n+1)/(n+1) = 2 - 1/(n+1), ja lim on siis 2. Tätäkö ajoit takaa? Vielä en ole hoksannut, miten tämä jono liittyy "samaan aiheeseen".

86. Jaska17.9.2010 klo 22:12

Nimenomaan lim 2:sta arvelin asian valkenevan. Jono koostuu siis tasan puolet oikeita&vääriä sisältävien ratkaisujen (parilliset kpl-määrät) arvonnassa keskimäärin tarvittavista nostokerroista, kun arvotaan yksi voittaja.

87. Antti21.9.2010 klo 06:54

Onkohan seuraava liian helppo?

9, 9, 25, 81, 225, 529, 1089, 2025, ...

Kuinka mones jonon luku ensimmäisenä ylittää 10000?
Kuinka mones jonon luku ensimmäisenä ylittää 100000?

88. Olavi Kivalo21.9.2010 klo 12:02

12.
20.

89. Jaska21.9.2010 klo 12:06

Jatkuu 59^2, 75^2, 93^2, 113^2. Helppo ja lukuteoreettisesti kai vähämerkityksinen. Kantaluvut päättyvät viiden sarjoissa 3-3-5-9-5, jos nyt siitä sitten jotain jujua pitäisi löytymän.

90. Olavi Kivalo21.9.2010 klo 12:38

Tällainen irtoaa edellisestä.
1, 2, 3, 6, 9, 12, 21, 24, 27, 36, 39, 57, 72, 81, ...
Löytyisikö jujua??

91. Antti21.9.2010 klo 12:52

Olavi Kivalo, hyvä, oikein.
Jaska, hyvä. On myös a(j) = (j^2-5*j +5)^2.

92. Olavi Kivalo21.9.2010 klo 14:28

Joo, differenssiyhtälön ratkaisu on a(n)=n^4-6n^3+19n^2-30n+25.
Antin lausekkeessa on kirjoitusvirhe.

Lauseke voidaan siis kirjoittaa myös muodossa (n^2-3n+5)^2, josta seuraa b(n)=Sqrt[a(n)]= n^2-3n+5, joka on siis tämä Jaskan kantasolujen jono.

Lukujonon b(n) termeistä osa on alkulukuja, joiden esiintymistiheys lähestyy nollaa, kun n kasvaa. Todista. Näyttää siltä, että b(n) on alkuluku vain jos n ei ole alkuluku lukuunottamatta lukujonon alusta löytyvää kahta poikkeusta: b(2)=2 ja b(3)=5. Todista!

93. Olavi Kivalo21.9.2010 klo 15:37

b(2)=3 piti sanomani.

94. Antti21.9.2010 klo 15:39

Olavi Kivalo, kiitos.
a(j) = (j^2-3*j +5)^2.

95. Juhani Heino21.9.2010 klo 17:54

"Näyttää siltä, että b(n) on alkuluku vain jos n ei ole alkuluku lukuunottamatta lukujonon alusta löytyvää kahta poikkeusta: b(2)=2 ja b(3)=5. Todista!"
Mulla on helppo todistus, mutta pitäisikö antaa muiden vielä miettiä? Sen verran vinkkiä että lause pitää paikkansa.

96. Jaska21.9.2010 klo 20:18

Olisiko sama kuin minun pähkäilemäni, jossa en erikseen todista, että p^2 + 1 on aina kolmella jaollinen, kun p on alkuluku.

Kun alkuvusta p (>3) vähennetään 3p, ei erotus r voi olla kolmella jaollinen, mutta r+1 on. Siten myös r+5 on kolmella jaollinen eikä siis voi olla alkuluku.

97. Jaska21.9.2010 klo 20:26

No heps, heti pieleen. Siis p^2 - 1 on aina kolmella jaollinen, ja siten siis myös r - 1. Kolmella jaollisia ovat siis myös r+2 ja r+5.

98. Juhani Heino21.9.2010 klo 22:23

Jos ymmärsin oikein, toisin sanoen:
n^2-3n+5 = n^2-1 -3n+6
Jälkimmäinen osa on 3:lla jaollinen. Myös eka on, kuten Jaska jo totesi. Sillä ehdolla että n on p>3, siis kolmea isompi alkuluku.

Sivuhuomio: mun kopioimassani tekstissä on näköjään virhe jonka OK oli korjannut myöhemmin. b(2)=3.

Laitan sitten oman todistukseni koska se lähtee toisesta suunnasta. Riittää kun katsotaan laskut 15-jakojäännöksillä:
n b(n)
0 5
1 3
2 3
3 5
4 9
5 15
6 23
7 33
8 45
9 59
10 75
11 93
12 113
13 135
14 159
Tästä eteenpäin 15-jakojäännöksen kannalta toistetaan jatkuvasti sama. b(n) on joko 3:lla tai 5:llä jaollinen kaikissa tapauksissa paitsi n=6,9,12. Eli silloin taas n on 3:lla jaollinen.

99. Antti22.9.2010 klo 07:03

0, 3, 13, 34, 70, 125, 203, 308, 444, ?

100. Jaska22.9.2010 klo 10:40

615

101. Antti22.9.2010 klo 11:06

Oikein, Jaska. Kuinka sait?

102. Jaska22.9.2010 klo 12:45

No vonkaamalla tietysti.

103. Olavi Kivalo22.9.2010 klo 16:34

Mamma!

104. Matti22.9.2010 klo 21:25

Antti, arvuuttamasi jono on erään 3. asteen polynomin arvot peräkkäisillä kokonaisluvuilla, kuten peräkkäisten erotusten metodilla heti nähdään.

Mutta olet kai löytänyt jonolle jonkin toisenkin lausekkeen, ja jos niin on, niin mikähän se mahtaa olla?

105. Antti23.9.2010 klo 04:30

Lähtökohtani oli:

a(j) = j^3 - (1^2 + 2^2 + ... + j^2) j = 1, 2, 3, ...

Otin vaihteeksi helposti selvitettävän.

Seuraavassa voi olla enemmän mietittävää:

1, 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, ?

106. Olavi Kivalo23.9.2010 klo 09:26

Kelpaisiko a(n)=n^2 - n + 1, n=1,2,3, ... ?

107. Antti23.9.2010 klo 10:44

Tottahan kelpaa. Tosin alkuperäinen lausekkeeni näytti vähän mutkikkaammalta kuin saamasi sievä muoto. Lähtökohta oli

jakojäännös, joka saadaan jaettavan ollessa n^3 ja jakajan ollessa (n^2+1).

108. Olavi Kivalo23.9.2010 klo 14:49

Yhtä sievähän tämäkin on a(n)=Mod[n^3, (n^2 + 1)], n=1,2,3, ...

109. Antti25.9.2010 klo 19:18

-7, -12, -30, -96, -360, -1440, -5040, 0, ?

110. Jaska26.9.2010 klo 00:06

362880

111. Antti26.9.2010 klo 07:54

Kysymyksiini on usein saatu vastaus muulla keinolla kuin käyttämälläni. Kuinka löysit, Jaska, oikean vastauksen?

112. Olavi Kivalo26.9.2010 klo 08:05

Kopeloimalla?

113. Antti26.9.2010 klo 08:42

a(j) = kertoma(j+1) - 9*kertoma(j)

114. Olavi Kivalo26.9.2010 klo 09:12

Tai a(n)=n*a(n-1)+n!, n=2,3,4,..., kun a(1)=-7

115. Olavi Kivalo26.9.2010 klo 12:30

Kuka osaisi näyttää kuinka ylläolevan epähomogeenisen ei-vakiokertoimisen lineaarin ensimmäisen kertaluvun differenssiyhtälön ratkaisuksi saadaan Antin antama?

116. Jaska26.9.2010 klo 13:10

Osaan 1-10 kertomat ulkoa. 5040 riitti siten osviitaksi. Helpoin Antin tehtävistä tähän saakka.

117. Olavi Kivalo26.9.2010 klo 14:18

Differenssiyhtälön ratkaisu on
a(n) = -8*Pochhammer(1, n) + n*Pochhammer(1, n)
toisin sanoen
a(n) = -8*n! + n*n!

118. Antti26.9.2010 klo 14:32

(j+1)! - 9 * j! = (j+1-9) * j! = (j-8) * j! = -8 * j! + j * j!

119. Olavi Kivalo26.9.2010 klo 15:14

Kyllä kyllä, tuo oli se triviaaliosuus. Tarkoitin tapaa kuinka kyseisen differenssiyhtälön analyyttinen ratkaisu
a(n) = -8*n! + n*n! saadaan.

120. Olavi Kivalo27.9.2010 klo 00:26

Tämän jonon jatko on helppo päätellä, mutta mitä se kuvaa?
1, 4, 16, 49, 166, 499, 1666, 4999, ...

121. Wexi27.9.2010 klo 00:51

Kävin teknillisen koulun 70-80-luvun taitteissa. Pärjäsin algebrassa miten kuten (kuivaa ulkolukua, puurtamista. Geometriasta pidin, siinä pärjää talonpoikaisjärjelläkin.

Huomaan tällä säikeellä viihtyvän matemaattisesti hyvin koulutettuja ihmisiä.

Kysyisinkin seuraavaa: Tekuaikana algebranopettajamme (ehkä elvistellääkseen) otti turhat luulot pois. Käsitellessämme imaginäärilukuja, (juuren alla miinusmerkkinen luku) mieleeni johtui ajatus, että se ei ole oikein mitään.
Opettajamme todisti, taululla liitu savuten ja sieni perässä kulkien, (mahtumisessa oli tiukkaa) että "i potenssiin i" lausekkelle saadaan lukuarvo (2,xxx).

Siis varsinainen kysymys: Pitääkö ylläoleva kutinsa, vai muistanko jotain aivan höpöjä?

122. Olavi Kivalo27.9.2010 klo 01:12

Varsinainen vastaus: Pitää. Et muista.

123. Jukkis27.9.2010 klo 08:48

Paitsi että i potenssiin i = 0.20787957635...
Tarkka arvo e potenssiin -pii/2.

124. Wexi27.9.2010 klo 20:55

Olavi Kivalo takaa & Jukkis:

Kiitos valaistuksesta.
Tuosta i:n arvosta vielä. Kuten eräs kaverini tehdessään kassalla pahan desimaalivirheen, puolustauti: No kun pilkku on niin pieni ja nolla ei ole mitään. =)

125. Antti28.9.2010 klo 08:06

0, 3, 1, 15, 7, 31, 28, 23, 16, 7, 117, 127, 137, ?

Seuraava on helppo arvata, mutta mikä on sääntö?

126. Antti29.9.2010 klo 10:32

Ohje.

11. luku on 10*11+7,
12. luku on 10*12+7, ja niin edelleen.
Kaavassa on kuitenkin muutakin, joka näin suurten lukujen kohdalla ei vaikuta samoin kuin pienten lukujen kohdalla.

Huomaa, että 10. luku ei ole 10*10+7=107, vaan on 107-100=7,
9. luku ei ole 10*9+7=97, vaan on 97-81=16.

127. Antti30.9.2010 klo 09:19

a(j) = Mod[(10*j + 7), j^2], j = 1, 2, 3, ...

128. Olavi Kivalo30.9.2010 klo 09:41

Tuota olisi kannattanut vielä vähän pantata. Olin juuri käymässä sen kimppuun.

Mielestäni tämän aiemmin antamani jaksollisen jonon lainalaisuus on vieläkin kiinnostavampi. Siinäkin operoidaan jakolaskulla, mutta sellaisella, joka menee tasan.
1, 4, 16, 49, 166, 499, 1666, 4999, ...

129. Jaska30.9.2010 klo 12:19

SiinäKIN operoidaan jakolaskulla, mutta sellaisella, joka menee tasan, toteaa Olavi Kivalo. Miten Antin jonossa operoidaan jakolaskulla, joka ei mene tasan? Mitä kaavan eka pilkku tarkoittaa? Antin esimerkeissä on kertolaskua, vähennyslaskua ja potenssiin korotusta. Sekä jaksollisuutta. Tajusin esimerkeistä jonon laskutavan kuudennesta kymmenenteen lukuun = (10*j + 7) - j^2, sekä siitä ylöspäin 10*j + 7. Kuinka pitkään? Tuleeko vielä uusia jaksoja, ja minkä säännön mukaan? Miten säännön mukaan jonon viisi ensimmäistä lukua muotoutuvat?

130. Jukkis30.9.2010 klo 13:35

Ymmärtääkseni mod(a,b) tarkoittaa jakolaskun a/b jakojäännöstä.

131. Jaska30.9.2010 klo 14:17

Ahaa, kiitos, a = 10*j + 7, b = j^2.

17/1, 27/4, 37/9....107/100. Sitten osamäärät ovat alle 1, joten jakojäännökset ovat 10*1 + 7. Olihan tuo minulle aivan mahdotonta paneutua, kun se pitkämatikkalaisillakin oli vasta suunnitteilla...

En sitten tohdi OK:n jononkaan lauseketta pohtia, tosin helppo arvata jatko 16666 ja 49999. Ainakin 49999 on alkuluku, kuin myös 499 ja 4999. Mutta 49 ei ole, epistä!

132. Jaska30.9.2010 klo 14:18

Siis jakojäännökset 10*j + 7 11:sta lähtien.

133. Jaska30.9.2010 klo 14:39

Seuraavaa jonoa on helppo jatkaa, mutta kysynkin, miten se muodostuu:

4, 17, 32, 68, 89, 112, 137, 164, 193, 224...

134. Olavi Kivalo30.9.2010 klo 19:10

Helpotan omaani.
Jono voidaan esittää kahdessa osassa seuraavasti:
a(2n+1) = (10^n*5-2)/3,
a(2n) = 5*10^(n-1)-1,
n=0,1,2,3,...

Mutta varsinainen kysymys on, mikä on näille kahdelle jonolle yhteinen lainalaisuus, joka antaa lukujonon
a(i) = 1, 4, 16, 49, 166, 499, 1666, 4999, ..., i=1,2,3,...?

135. Jaska1.10.2010 klo 11:30

Menee aiheen vierestä, mutta menköön. Osa AP:n välittämästä uutisesta kahdella eri yhtiön arvalla miljoonapotin voittaneesta miehestä tänään Helsingin Sanomissa:

Mahdollisuus voittaa mljoona dollaria Blockbuster-pelissä on yksi 2,28 miljoonasta, ja sama koskee Monopolya. Mahdollisuutta voittaa molemmissa peleissä on mahdotonta
laskea, koska ne ovat toisistaan riippumattomia pelejä.

Kommenttisi?

136. Juhani Heino1.10.2010 klo 11:40

Kommenttini on, että todennäköisyys voittaa molemmissa peleissä on mahdollista laskea juuri siksi, että ne ovat toisistaan riippumattomia pelejä. Jos se nyt pitää paikkansa, mutta uskottavalta tuntuu.

137. Jaska1.10.2010 klo 12:09

Näin on. Yksilötasolla on mahdollista laskea jopa eksakti (hyvin pieni) mahdollisuus, edellyttäen tämän Ernest Pullenin muistavan ostamiensa arpojen lukumäärän.

Sen sijaan olisi erittäin hankalaa laskea tuplapäävoiton eksakti mahdollisuus yksilöimättömällä tasolla, koska kaikkien kahden tai useamman eri puulaakin asiakkaiden ja heidän arpojensa lukumäärää on käytännössä mahdotonta laskea. Gallup-otanta olisi kuitenkin luotettava pohja noin-arviolle todennäköisyydestä. Se olisi luonnollisesti hyvin paljon suurempi kuin yksilöidyn ostajan tuplavoitto.

138. Jaska1.10.2010 klo 19:52

Muutaman tunnin paneutumisen jälkeenkään en yritä arvata saati päätellä OK:n tarkoittamaa jononsa lainalaisuutta. Toinen juttu on, jos tulkitaan lainalaisuudeksi esim. sääntö, miten jono voidaan muodostaa:

0+1 = 1, 3*1+1 = 4, (4-1)*5+1 = 16, 3*16+1 = 49, (49-16)*5+1 = 166, 3*166+1 = 499, (499-166)*5+1 = 1666 jne. Jonossa on nähtävissä myös kiinnostavahkoja lukusuhteita, kuten peräkkäisten lukujen rajaa 1/3 lähenevä ja peräkkäisten lukuparien summien rajaa 0,1 lähenevä.

139. Olavi Kivalo2.10.2010 klo 13:54

Lukujono generoituu seuraavasti.
Aloitetaan lukujonosta a(n) = n, n=1,2,3,..
Kahden peräkkäisen luvun n ja n+1 (esim 16 ja 17) numerot muodostavat yhdessä uuden luvun (1617)
Etsitään ne luvut n, joille pätee, että näin muodostettu uusi luku on jaollinen peräkkäisten lukujen summalla n+(n+1) (esim. 1617 on jaollinen 16:lla).

Jaskankin (ihan hieno) esitys on johdettavissa tästä.

140. Jaska2.10.2010 klo 20:42

Jaha, tuota en hoksannut, vaikka en ollut jäävi. Luvun 1617 tekijät ovat muuten 3*7*7*11.

Eikö edes Antti hoksaa, mistä on kyse toissapäiväisessä jonossa 14:39?

141. Antti3.10.2010 klo 07:22

Hoksaavaisemmat huomio!

142. Olavi Kivalo3.10.2010 klo 10:34

Kynäisen ainakin ensin tämän kanan.

Jos luvussa n+1 on k numeroa, saadaan uusi luku
10^k*n+(n+1). Tämän tulisi siis olla jaollinen summalla n+(n+1)=2n+1. Ehto on helpompi löytää, kun huomaa, että luvulla (10^k-1)*n on sama jakojäännös. Toisin sanoen
10^k*n+(n+1) mod 2n+1 = (10^k-1)*n mod 2n+1.
Koska n:n ja (2n+1):n syj on 1, riittää ehdoksi, että 10^k-1 on jaollinen (2n+1):llä.

Suhde (10^k-1)/(2n+1) ei voi olla mikä tahansa kokonaisluku, vaan joku luvuista 1,2,3,4 tai 5. Näistä 2,4 ja 5 eivät tule kysymykseen, koska (10^k-1) ei ole niillä jaollinen. Jäljelle jäävät 1 ja 3.

Kun (10^k-1)/(2n+1)=1 -> n=5*10^(k-1)-1=4,49,499,...
Kun (10^k-1)/(2n+1)=3 -> n=(10^k-4)/6=1,16,166,...

143. Jaska3.10.2010 klo 11:05

Hoksaustehtävän ratkaisu. Jonossa 4, 17, 32, 68, 89... ovat Antin 29.9. tehtävän "käänteismodulot" 11:sta lähtien. Siis jakolaskun 11^2/10*11+7 jakojäännös on 4 jne.

144. Jaska3.10.2010 klo 11:34

Olavi Kivalolta tiedustelen, syntyikö kana jossakin julkisessa lukuteoreettisessa kanalassa vai omassa yksityisessä hautomossasi.

145. Olavi Kivalo3.10.2010 klo 15:25

Tätä pyöriteltiin jonkin verran lukujonofanaatikkojen keskusteluryhmässä. Ideaa kuinka lukujono generoidaan en muninut, mutta haudoin sitä hieman. Itse kana oli sopiva kynittäväksi täällä, koska jono ei esiinny OEIS:ssa.

146. Olavi Kivalo10.10.2010 klo 10:04

Tänään on täydellinen binääripäivämäärä. Päivän lukujonoksi voisi sopia
0, 2, 10, 42, 170, 682, 2730, 10922, 43690,...
Miksi?

147. Antti10.10.2010 klo 10:23

Ovat lukuja, joitten kaksijärjestelmäesitys on
0 (10 toistuu 0 kertaa),
10 (10 toistuu 1 kerran),
1010 (10 toistuu 2 kertaa),
101010 (10 toistuu 3 kertaa),
...

148. Olavi Kivalo10.10.2010 klo 11:57

Kylläpä kyllä.
Jono on (2/3)*(4^n-1), joka binäärimuodossa on
0, 10, 1010, 101010, ...

149. Olavi Kivalo11.10.2010 klo 15:15

Runsaan vuoden kuluttua meillä on päivämäärä 11.11.11. Mikähän voisi olla tuon päivän lukujono? Vastausaikaa vuosi.

150. Antti11.10.2010 klo 20:12

Ei ole hoppu hyväksi eikä kiire kunniaksi. Havainnollistetaanpa tätä. Luen vuoden päiväksi, senkin minuutiksi muutan ja ehdotan
seuraavaa:
0, 3, 15, 63, 255, 1023, 4095, 16383, 65535, ...

151. Antti12.10.2010 klo 05:42

0, 7, 63, 511, 4095, 32767, 262143,

152. Olavi Kivalo13.10.2010 klo 12:29

0, 3, 15, 63, 255, 1023, 4095, ... on binäärimuodossa
0, 11, 1111, 111111, ...,
joten sopisi hyvin ehdokkaaksi.

0, 7, 63, 511, 4095, 32767, 262143, ... taas on binäärisenä
0, 111, 111111, 111111111, ... kun taas

(0, 7, 63, 511, 4095, 32767, 262143, ... )/7 on 8-järjestelmässä
0, 1, 11, 111, 1111, 11111, ....

153. Matti13.10.2010 klo 21:29

Koripalloilija hyppää tasajalkaa suoraan ylöspäin, paljasjaloin. Hänen ojennettu kätensä ulottuu 3,5 metrin korkeuteen, kun seistessä se ulottuu 2,5 metrin korkeuteen. Hän painaa 80 kiloa.

Sitten hän laittaa urheilutossut jalkaansa. Niiden paino on 300 grammaa, ja paksuus ponnistavan päkiän alla 5 milliä. Ulottuuko hän hypätessään nyt korkeammalle kuin paljasjaloin, vaiko ei? (Mielestäni tätä ei voi suoraan päätellä, vaan pitää sijoittaa kaavaan ja laskea.)

154. Jaska14.10.2010 klo 00:08

Tossujen joustokin kai vaikuttaa asiaan?

155. Matti14.10.2010 klo 00:47

Nää on joustamattomat tossut. Muuten kyllä vaikuttaisi.

156. Antti14.10.2010 klo 08:17

Ulottuu korkeamalle.
80*1/80,3+0,005=1,001>1.
mgH = Mgh

157. Olavi Kivalo14.10.2010 klo 12:16

Jos lähdetään siitä, että kaveri kehittää saman liikemäärän kummassakin tapauksessa, alkunopeudet ovat erit ja suhtautuvat kuten massat kääntäen. Tällöin korkeudet suhtautuvat kuten massojen neliöt kääntäen. Korkeudella tarkoitetaan matkaa, jonka kaverin painopiste heilahtaa ylöspäin, joka voitaneen olettaa samaksi kuin hänen sormenpäänsä tekemä matka, jos käsi sojottaisi koko ajan ylöspäin eli yksi metri ilman tossuja. Tästä näyttäisi seuraavan, että tossut jalassa ei ylletä ihan yhtä korkealle, asia joka korjaantuisi 2,5mm:n pohjallisilla?

158. Matti14.10.2010 klo 16:47

Antille: tässä energia ei säily.

159. Jukkis14.10.2010 klo 17:24

Kannatan Antin vastausta.

Laskin oletuksella että liike-energia muuttuu potentiaalienergiaksi, mutta pätee, vaikka näin ei kävisikään, kunhan molemmissa tapauksissa sama osa liike-energiasta muuttuu potentiaalienergiaksi. Ja tietysti pitää olettaa, että tyyppi generoi saman liike-energian molemmissa hypyissä.

Tämä lienee yksi niitä fysiikan oppinnoista ikäviä muistoja jättäneitä tilanteita, joissa ei oikein tiennyt, pitääkö ruveta miettimään liikemäärää vai -energiaa. Mielestäni nyt liikemäärän miettiminen vie harhaan.

(Pitäiskö näille tällaisille oikeasti kiinnostaville pähkinöille perustaa oma säie, ettei tarvisi ollenkaan noita ikävystyttäviä lukujonoprobleemoita käydä katselemassa?)

160. Olavi Kivalo14.10.2010 klo 18:00

Oli muuten rohkea veto Matilta: "tässä energia ei säily".

No, liike-energia muuttuu totaalisesti potentiaalienergiaksi ja takaisin, kun tehdään ne normalit idealisoinnit, jotka mekaniikassa on tapana tehdä.

Mutta sellaista koripalloilijaa ei olekaan, joka voisi päättää, että kehitänpä nyt tossujen kanssa itseeni saman liike-energian, kuin hetki sitten ilman tossuja. Sensijaan hän pystyy jalkojensa lihasvoimalla aiheuttamaan lattiaan kutakuinkin saman impulssin hypätessään tossuilla ja ilman. Sama impulssi -> sama liikemäärä.

161. Jukkis14.10.2010 klo 18:52

Öööö, doda, sama impulssi -> sama liikemäärä -> sama liike-energia.

162. Matti14.10.2010 klo 19:06

Siinä vaiheessa kun koripalloilija irtoaa kentän pinnasta, ja hänen jalkansa tempaavat tossut mukaan, tapahtuu ei-kimmoisa törmäys ja energiaa kuluu hitunen tossujen ja jalkaterien ihon lämmittämiseen.

163. Jaska14.10.2010 klo 20:20

Kuluuko sitä lämmitysenergiaa enemmän tai vähemmän hyppypaikan ilman lämpötilasta riippuen? Pitää ottaa huomioon myös ilmanvastus, joka ei voi olla sama paljain jaloin ja tossut jalassa. Ero riippuu sekä vastuspinnan pinta-alasta ja muodosta.

164. Olavi Kivalo14.10.2010 klo 20:27

Jos hyväksytään, että kummassakin tapauksessa kaverin ponnistusvaihe kestää yhtä pitkään (t) ja että lattiaan kohdistettu lihasvoima (F) on sama, aiheuttaa impulssi Ft häneen yhtäsuuuret liikemäärät m1v1 ja m2v2, jossa v1 ja v2 ovat lähtönopeudet. Koska m1v1=m2v2, eivät liike-energiat ole samat, koska lähtönopeudet ovat erit, joka taas johtuu siitä, että massat ovat erit.

Nousukorkeudet (s) ovat erit ja niiden suhde on s1/s2=v1^2/v2^2, josta seuraa, että s1/s2=m2^2/m1^2. Kun sijoitetaan numeroarvot, saadaan, s2=0,992542m, josta nähdään, että edes 5mm:n etumatka ei riitä. Tossut jalassa jäädään noin 2,5mm alle 3,5metrin.

Jos kundi hankkii 2,5mm:n pohjalliset, ne eivät saa painaa mitään. Voidaan tietysti laskea, paljonko sen ja sen paksuiset pohjalliset saavat enintään painaa, ettei tarvitsisi pelata paljain jaloin.

165. Jukkis14.10.2010 klo 20:44

Höh, teinpäs alkeellisen virheen klo 18:52. Juu, tämä tosiaankin on niitä juttuja, joiden kanssa joskus aikoinaan sai fyssan kurssilla ihmetellä, että mikäs se onkaan liikemäärän ja mikä liike-energian rooli. Eikä se näköjään mulle vieläkään ole selvinnyt.

Jaskakin voisi noiden saivartelujensa asemasta kertoa, että mikä on hänen käsityksensä vastauksesta. Totta kai jokaisessa tällaisessa pähkinässä aina voi kaivaa esille ilmanvastukset ja lämpötilat ja vaikka mitkä, mutta ei ne ole tässä jujuna, vaan se, mikä on se vastaus, joka saadaan olettamalla että tommoiset yksityiskohdat ei vaikuta.

166. [Matias-Myyrä]14.10.2010 klo 21:01

[Anteeksi, että sotken ketjuanne, mutta nenääni menee aina herne ja kielikorvani tärykalvo halkeaa, kun joku taivuttaa sanaa 'eri'. Olavi Kivalo on tänään käyttänyt ainakin kolme kertaa sanaa 'erit'. Pitäisi sanoa esimerkiksi erisuuruiset. Sana ERI on TAIPUMATON!]

167. [OK]14.10.2010 klo 22:05

[Erit oli tietoinen valinta. Sallin sen itselleni käypänä lyhenteenä usein toistuvalle sanalle erisuuret, koska voin olla varma, ettei se aiheuta väärinymmärrystä itse asian suhteen. Kieltäydyn uskomasta, että olisin aiheuttanut mainittuja vaurioita mainituissa elimissäsi.]

168. Matti14.10.2010 klo 22:37

Usein on tarve sanoa, että jokin suure on positiivinen tai nolla. Positiivinen tai nolla, turhan pitkä rimpsu. Englannissa tuli hetikohta käyttöön termi non-negative. Ja samantien se siirtyi suomeen: ei-negatiivinen. Tämähän on tietysti aika kauhea sana, mutta niin vain siihenkin on tottunut, kun parempaakaan ei ole esitetty.

169. Jaska14.10.2010 klo 22:39

Jukkis, mitä se Matin hitunen 19:06 oli? Korotin sen kolmanteen potenssiin, mutta kaipa sitten neliökin olisi riittänyt.

Fysiikan laskut ovat hepreaa, mutta luotan enemmistöön: hyppy jää hitusen matalammaksi.

170. Olavi Kivalo15.10.2010 klo 12:02

Käytin edellä sanasta erit nimitystä lyhenne. Lyhenteellä tarkoitetaan useimmiten sitä, mikä jää, kun sanasta/sanoista jätetään jäljelle vain yksi tai useampia kirjaimia sanan alusta, esim. esim. Lyhenne ei yleensä ole enää sana, vrt. m.o.t., jne, jne.

Sanasta erit ja muista sen kaltaisista voisi käyttää nimitystä oikosana tai oikotermi, koska se on saatu poistamalla alkuperäisen, turhan monimutkaisen ilmaisun keskeltä tarpeetonta kamaa toiveena saada aikaan parempi, niukkuuden ekonomiaa kunnioittava sana/termi.

Sana erit, joka siis tarkoittaa, että kaksi suuretta ovat erisuuret, saadaan poistamalla suure, mikä on perusteltua jo tautologiasyistä. Muita oikosanoja edustavat mm. (taas kerran monille herneitä nenään pukkaavat) kiuruvetiset ja virtolaiset. Kiuruvedellä on varmaan helpompaa elää ilman vetisenä kuin veteläisenä. Virrat on vaatinut enemmän leikkauksia. Oikosana syntyy eliminoimalla Virtojen kuntalaisten tarpeeton jenkunta. Logiikassa ja matematiikassa on joukko oikotermejä, kuten iff. Se tarkoittaa if and only if. And only I have been eliminated, unnecessary.

171. Matti15.10.2010 klo 17:05

Nyt vasta tulin ajatelleeksi, että kakkostapauksessa pelaajan painopiste on jo valmiiksi, ennen hyppyä, lähes tossun anturan verran korkeammalla kuin paljasjalkatapauksessa. Aikamoinen etumatka. Se muuttaa ainakin omaa aiempaa lopputulostani.

172. Jukkis15.10.2010 klo 17:19

No eikös hyvä tavaton se tässä juuri ole koko homman juju? Miksi siinä tehtävässä muuten olisi sanottu, että pohjan paksuus on 5 mm? Ja miten niin "lähes"?

173. Matti15.10.2010 klo 20:47

Jukkis, joo, sekoilin. "Lähes" siksi, että tossujen paino siirtää tossuttoman painopistettä himpun verran alas.

Siis unohtakaa armollisesti mitä kirjoitin 15.10.2010 klo 17:05

174. Jukkis15.10.2010 klo 21:42

Tulin taas hiukka miettineeksi tätä pomppivaa ukkoa.

Jos oletetaan, että voima, jolla pomppaaja aiheuttaa ponnistuksen aikaisen kiihtyvyytensä, on sama ilman kenkiä ja kenkien kanssa (jolloin kenkien kanssa kiihtyvyys on hiukka pienempi), niin päädytään siihen, että ponnistajan generoima liikemäärä on sama molemmissa tapauksissa. Oletetaan tietysti, että ponnistukset kestää saman ajan. Silloin päädytään Olavi Kivalon vastaukseen 14.10.2010 klo 20:27.

Mutta onko se voima sama molemmissa hypyissä? Millä perusteella? Jos massa ilman kenkiä on m ja kenkien kanssa M, niin eihän paikallaan seisojaan kohdistuva lattian nostovoimakaan ole sama, vaan kenkien kanssa se on M/m -kertainen. Jos oletetaan, että ponnistuksen aikainen ylöspäin työntävä voima myös kasvaa kertoimella M/m, niin päädytään siihen, että hyppääjä generoi itselleen saman liike-energian molemmilla kerroilla. Silloin päädytään Antin vastaukseen 14.10.2010 klo 08:17.

Vaikka OK toista väittää 14.10.2010 klo 18:00, niin minusta on ihan järkeenkäypää se, että hyppääjä muuttaa omaa sisäistä energiaansa (tms.) liike-energiakseen saman verran molemmissa hypyissä, olettaen että hän antaa kaikkensa kummassakin hypyssä.

Niinpä käännyn taas kannattamaan Antin vastausta, eli ulottuu kenkien kanssa millin korkeammalle.

175. Olavi Kivalo15.10.2010 klo 22:36

Ehkä tällä koripalloilijalla on sellainen ranneke.

176. Matti16.10.2010 klo 12:18

Jukkis, pelaaja generoi ponnistaessaan saman liike-energian molemmissa tapauksissa. Mutta pointti on siinä, että kakkostapauksessa liike-energia kokonaisuudessaan ei ole käytettävissä ylösnousuun, koska osa siitä hukkautuu tossujen lämmittämiseen, kun törmäys jalan ja kengän välillä ei ole kimmoisa. Energia ei säily.

Mutta impulssi säilyy. Impulssi on aikaintegraali ponnistuksen lattiaan kohdistuvasta nettovoimasta (kokonaisvoima miinus pelaajan paino) yli ponnistustapahtuman: I = SF(t)dt, missä S on integraalimerkki. Ja fysiikan oppikirjan mukaan I = m(v1-v0). (loppu- miinus alkunopeus). Tästä edetään OK:n kertomaa reittiä.

Mutta huomiotta on jäänyt se, että tossujen ansiosta painopiste siirtyy alaspäin, ja se syö tossujen korottavaa vaikutusta. Jos oletetaan, että aluksi painopiste on navan korkeudella, 1,2 metriä lattiasta ylöspäin, se siirtyy 4,5 mm alaspäin. Yhteensä siis tossut vievät pelaajan 5 mm ylöspäin, tossujen massa pienentää nousukorkeutta 7,5 mm, ja painopiste siirtyy alaspäin 4,5 mm. Lopputulos on, että hyppy tossujen kanssa jää 7 mm matalammaksi kuin ilman tossuja.

Jos tossut painaisivatkin 100 grammaa, vastaavat luvut olisivat 2,5 mm, 5 mm ja 1,5 mm. Nyt tossut lisäisivät nousukorkeutta 1 mm.

177. Jukkis16.10.2010 klo 13:32

Mulle ei nyt ihan hahmotu, että mikä se on tämä "törmäys jalan ja kengän välillä".

178. Matti16.10.2010 klo 16:08

Kun jakaterä irtoaa tossun pohjasta, se tempaisee tossun mukanaan. Tämä on se energiaa lämmöksi muuttava törmäys.

179. qwertsu16.10.2010 klo 16:12

Heippa taas te ihanat huru-ukot.
Tässä jälleen olisi linkissä tarjolla teoriaa ja vähän taskurahaakin voisi irrota.
On se tiedemies kerrassaan tämä Haapalainen.

-http://www.wakkanet.fi/~fields/finnish1.htm

180. Jukkis16.10.2010 klo 16:34

Jalkaterän irtoaminen tossun pohjasta on törmäys? Emmää kyllä ihan tajua. Jospa oletetaan, että kengät on sen verran tiukat, että niiden sisällä ei pahemmin jalkaterä pohjasta irtoile, eikä jalkapöytäkään varsinaisesti törmää kengän yläosan sisäpintaan. Vai päteekö laskelma ihan siitä riippumatta minkänumeroinen kenkä 43 numeron jalassa on?

Millä perusteella nettovoima F(t) on sama kummassakin hypyssä?

181. Olavi Kivalo16.10.2010 klo 16:52

Yleensä nämä efektit, joissa mekaanista energiaa dissipoituu lämmöksi, jätetään syrjään tämänkaltaisissa ongelmissa monista idealisoinneista vähäisimpinä.

Lähtöoletukseni, että liikemäärät ovat samat kummassakin tapauksessa, ei ole pelkästään intuitiivinen vaan johdettavissa tietyistä tapahtumaa kuvaavista idealisoiduista mekaanisista malleista. Myös oletus, että liike-energiat ovat samat, on johdettavissa tietyistä malleista. Eli sellainen tulos millainen malli. Haluaisinkin tietää, mistä täsmällisestä mekaanisesta mallista seuraa Matin ilmoitus, että "pelaaja generoi ponnistaessaan saman liike-energian molemmissa tapauksissa"

182. Matti16.10.2010 klo 21:34

Koska molemmat hypyt ovat identtiset, on kai selvää,
että F(t) on sama kummassakin hypyssä. Ja yhtälailla kai on silloin selvää, että "pelaaja generoi ponnistaessaan saman liike-energian molemmissa tapauksissa".

Idealisoinnit tietysti kuuluvat asiaan fysiikan tehtävissä. On vain tiedettävä mitkä idealisoinnit johtavat todelisuutta likimäärin kuvaaviin tuloksiin ja mitkä eivät.

(Esimerkki harhaan johtavasta idealisoinnista: Pallokuoren sisäpinta on niin hyvin hopeoitu, että voidaan idealisoida heijastavuudelle arvo 1, siis täydellinen heijastus. Pallokuoressa on pieni reikä, jota peittää ulkopuolella olevan lampun pinta. Se siis säteilee valoa pallon sisään. Miten pallon kirkkaus käyttäytyy ajan edetessä. No, sehän kasvaa huimaa vauhtia kohti ääretöntä, mikä selvästikään ei kuvaa todellisuutta. Idealisointi täydellisestä heijastavuudesta on pakko hylätä. Kun heijastavuus on alle yksi, saavutetaan hetikohta tasapaino, jossa säteilyä absorboituu seinään samaa vauhtia kuin lamppu sitä tuo lisää.)

Impulssin säilyminen ja kineettisen energian säilyminen ovat tässä tehtävässä keskenään ristiriidassa - ne johtavat eri lopputuloksiin. Ainakin toisen täytyy olla väärä. Ja nyt se on kineettisen energian energian säilyminen, koska energiaa dissipoituu tossuihin. Kokonaisenergia - pelaajan ja tossun liike-energia + tossuun hukattu lämpöenergia tietysti säilyy. (On ehkä vaikea hyväksyä jalan ja tossuun "törmäystä", jos tossu on solmittu kireästi jalkaan. Mutta näin se vaan menee.)

Tehdään ajatuskoe: Jalassa ei olekaan tossu, vaan 5 mm paksu ja 300 grammaa painava laudanpala, joka on keskipisteestään kiinnitetty vieterillä jalkapohjaan. Kun pelaaja ponnistaa, laudanpala ei heti nouse ilmaan, vaan sen inertia aiheuttaa ensin vieterin venymisen. Sen jälkeen laudanpala alkaa värähdellä jalan alla ylös alas. Se on vienyt hypystä vähän energiaa, joka vuorottelee laudan kineettisen energian ja jousen potentiaalienergian välillä. Värähtelevä laudan energia vastaa täsmälleen tossuun lämpönä siirtyvää hukkaenergiaa. Hypyt nousevat molemmissa tapauksissa yhtä korkealle.

183. Jukkis16.10.2010 klo 23:03

"Koska molemmat hypyt ovat identtiset..."

Ovatko? Toisessa hypyssä on 300 g painavat kengät jalassa. Miten ne hypyt silloin identtiset on?

184. Jaska16.10.2010 klo 23:23

Jos seisoisin valaistussa peilihuoneessa, jonka peilit olisivat täydellisen heijastavat, niin peilikuvani pienenisivät äärettömiin? Mutta Matin esimerkin valossa (!) se on mahdotonta. Kuinka lähelle täydellistä heijastavuutta on mahdollista päästä/on päästy?

185. Matti17.10.2010 klo 00:22

Jukkis, hypyllä tarkoitin ponnistusvaihetta, joka päättyy jalan irtoamiseen alustasta, eli ponnistusvoiman katoamiseen lattiasta. (Mutta mainitsemasi tilanne, jossa tossut on tiukkaan nyöritetty, mietityttää vielä. En ole vielä varma väitteestäni. Entä jos jalka tossu ovat metallia, ja tossu on kierreliitoksella jalassa.)

Jaska, intissä mietittiin aikoinaan mahdollisuutta torjua laserhyökkäys suuntaamalla säde peilin avulla takaisin kohti vihollista, tai ainakin poispäin. Ongelma oli, että jos peili absorboisi liikaa säteilyä, se kuumenisi ja sulaisi. Hataran muistini mukaan onnistuttiin tekemäänm peilejä, joiden heijastavuus oli 1-10*(-6). Siis tulevasta säteestä miljoonasosa absorboituisi peiliin, ja loput heijastuisivat pois. Tämä ei vielä ollut kovin rohkaisevaa.

186. Olavi Kivalo17.10.2010 klo 00:42

Kiintoisaa. Jotta nyt ymmärtäisin oikein tätä ajatuksenjuoksua, niin pyytäisin vielä tarkennusta.

Koripalloilija kyyristyy ensin lähettääkseen itsensä lentoon. Siten hän aloittaa kehonsa oikaisun. Tuosta hetkestä lähtien hän kohdistaa lattiaan painetta aina siihen hetkeen asti, kun jalat/tossut irtoavat lattiasta. Eli lattiaan kohdistuuu tuona aikana voima ja hänen kehoonsa saman suuruinen mutta vastakkainen vastavoima, joka antaa hänelle tietyn lähtönopeuden. Tuo voima F(t) on hänen aiheuttamansa paine kerrottuna sillä jalkapohjan/tossunpohjan pinta-alalla, joka kunakin hetkenä on kontaktissa lattian kanssa.

Me emme täsmälleen tiedä kuinka hän kyyristyy ja oikaisee itsensä, emmekä ihan sitäkään millainen on kulloinkin kontaktipinta lattiaan, joten voiman aikariippuvuuttakaan F(t) ei tunneta. Täten annettua impulssia ei saada suoraan integroimalla F(t)dt ponnistusvaiheen yli, mutta sijoittamalla F=m*dv/dt, saadaan impulssiksi/liikemääräksi mv(t), jolloin kuitenkin ponnistusajan pituus ja palloilijan lähtönopeus jäävät tuntemattomiksi.

Tässä vaiheessa on pakko tehdä oletuksia intuiitiiivisesti tai rakentaa yksinkertaisia mekaanisia malleja sille, kuinka palloilija toteuttaa ponnistuksensa. Yksi intuitiiivinen oletus on, että hän toteuttaa sen joka kerta samalla tavalla mikä se tapa sitten lieneekin. Tämä on minusta aika hyvä oletus. Se tarkoittaa siis, että ponnistusvoiman aikariippuvuus F(t) on joku meille tuntematon funktio, mutta aina sama ja siitä seuraa, että myös generoitu liikemäärä mv on aina sama. Tämä on minusta hyvä oletus nimenomaan tässä ongelmassa, koska on vaikea kuvitella, kuinka joustamattomat tossut voisivat muuttaa funktiota F(t) eli palloilijan tapaa toteuttaa ponnistuksensa. Toinen asia on, jos hän ponnistaa esim. farkut jalassa ja reppu selässä, jolloin tekniikka muuttuu.

Tästä oletuksesta siis seuraa että generoitu liikemäärä mv on sama oli tossut tai ei. Mutta kuinka siitä voisi samanaikaisesti seurata, että "pelaaja generoi ponnistaessaan saman liike-energian molemmissa tapauksissa". Kuinka samanaikaisesti voivat olla voimassa m1v1=m2v2 ja m1v1^2= m2v2^2 ?

187. Jukkis17.10.2010 klo 11:12

Intuitiollahan tässä pitää mennä. Oma intuitioni: Tuntuu järkevimmältä, että se, mikä on sama kummassakin hypyssä, on teho, jolla hyppääjä tekee työtä ponnistuksen aikana. Eli ponnistuksien aikainen työ on sama. Tästä sitten seuraa, että sillä hetkellä, kun ukko irtoaa maasta, liike-energia on sama kummassakin hypyssä.

Se Matin ajatus, että tuosta liike-energiasta sitten tossullisessa tapauksessa muuttuu lämmöksi juuri täsmälleen sen verran, että maastairtoamishetkellä liikemäärä on sama kummassakin hypyssä, kuulostaa kummalliselta. Kun tosiaan tuo syntyvä lämpöenergia ei sitten riipu yhtään siitä, mitä siellä jaloissa on. Entä jos se 300 gramman massanlisäys ei tulekaan kengistä, vaan vaikka siitä, että hyppääjä on hyppyjen välissä kasvattanut lihasmassaansa 300 g:n verran sellaisissa lihaksissa, jotka ei hyppäämisen aikaista tehoa kuitenkaan kasvata? Mikä silloin on se törmäys, jossa syntyy edelleen just se sama määrä lämpöenergiaa, joka saa aikaan liikemäärien yhtäsuuruuden?

Siitä, että teho pysyy vakiona, seuraa se, että voima ei pysykään vakiona. Intuitioni perusteella en yhtään ihmettele tätä. Eihän tyypin lattiaan kohdistama voima (ja lattian häneen kohdistama voima) ole sama silloinkaan, kun hän vaan seisoo paikallaan ensin paljain jaloin ja sitten kengät jalassa.

188. Jukkis17.10.2010 klo 11:47

... paitsi että onhan tietysti nettovoima (eli työntövoima, joka saa aikaan kiihtyyden ylöspäin) sama kummassakin paikallaanseisomistapauksessa, eli nolla. Eli ei ollut kovin hyvä perustelu intuitiolle.

Mutta vielä se, että miksi tässä nimenomaan liikemäärän edes pitäisi pysyä samana? Eihän liikemäärän säilymislaki tällaista tilannetta tarkoita.

189. Olavi Kivalo17.10.2010 klo 13:00

Toteamuksella, että näissä kahdessa erilaisessa tilanteessa kaveriin generoitu liikemäärä on sama, ei ole mitään suoraa tekemistä liikemäärän säilymislain kanssa. Voidaan puhua hänen ponnistustekniikkansa säilymisestä samana kerrasta toiseen, joka on ainakin huippu-urheilijalle ominaista. Jos siitä käytetään nimitystä liikemäärän säilyminen, ollaan jo hakoteillä.

Ja mitä ilmalentoon tulee, liikemäärän säilymislain voi myös tällöin unohtaa. 'Kaveriin generoitu liikemäärä' viittaa siihen liikemäärään, joka hänellä on kummassakin tapauksessa sillä hetkellä, kun hän irtoaa lattiasta. Mutta tämä liikemäärä ei säily nousun aikana. Se häipyy vähitellen 'taivaan tuuliin' gravitaation jarruttaessa hänen lentoaan.

190. Jukkis17.10.2010 klo 13:55

Ja minusta "ponnistustekniikan säilyminen" tarkoittaa sitä, että teho pysyy samana, jolloin syntyvä liike-energia pysyy samana.

191. Olavi Kivalo17.10.2010 klo 14:39

Noin se on. Jos 'ponnistuksien aikainen työ on sama', niin 'liike-energia on sama kummassakin hypyssä'.

Näkisin mieluusti, että ponnistuksen aikaiselle työlle annetaan fysikaalista selitystä, kuten yritin antaa ponnistuksen aikaiselle tuotetun voiman aikariippuvuudelle F(t) ja sitä kautta impulssille. Minkälaista työtä se kaveri yrittää tehdä tuon hypyn aikana ja onko se jotain sellaista, jonka hän toistaa samoin eri tilanteissa?

192. Jukkis17.10.2010 klo 14:56

Ponnistyötä tietenkin. Tässähän tietysti tuo voima F tekee työtä, jolloin tehdyn työn määrä on voiman integraali paikan suhteen. (Muistelen kuinka fyssan kurssilla piti laskea jonkun paikasta riippuvana vektorina annetun voiman tekemä työ, kun voima siirsi kappaleen tasossa (vai olisko ollut peräti avaruudessa) paikasta A paikkaan B. Ah noita aikoja.) Ja työn tuloksena on liike-energia.

Eli nyt sitten pitää päättää, onko hypyissä lopputuloksena sama impulssi, eli onko voiman integraali ajan suhteen sama, vai sama liike-energia, eli onko voiman integraali paikan suhteen sama. Kannatan intuitiivisesti jälkimmäistä.

193. Jukkis17.10.2010 klo 15:03

.. ja nyt sitten kun luen tuon edellä kirjoittamani, ihmettelen, että jos voiman itegraali ajan suhteen on eri kahdessa hypyssä, niin miten sen saman voiman integraali paikan suhteen voi olla sama niissä kahdessa hypyssä. Tai no, voihan noin olla, riippuu siitä millainen on voiman aikariippuvuus ja millainen on sen paikkariippuvuus.

194. Kellokosken prinsessa17.10.2010 klo 15:44

Painovoima näyttää olevan jotakin todella omituista, jotakin mitä mikään teoria ei voi koskaan selittää. Noin on joskus sanottu, ja sille on olemassa perusteensa. Kun kappale putoaa painovoimakentässä, se näyttää olevan kiihtyvässä liikkeessä. Ei se kuitenkaan ole, vaan kiihtyvyys on vain näennäistä? Me tarkkailijat olemme itse kiihtyvässä liikkeessä maan pinnalla seistessämme, ja tunnemme kiihtyvyyden siten että maan pinta työntää meitä ylöspäin. Jos voisimme nähdä tapahtumat "oikeasta" perspektiivistä, voisimme havaita että vapaasti putoavat kappaleet liikkuvat tasaisella nopeudella suoraan eteenpäin. Painovoima ei olekaan voima vaan jotain muuta. Mutta mikä on se oikea perspektiivi?

A2

195. Olavi Kivalo17.10.2010 klo 17:37

Viittaisin tuohon tekstiini 17.10.2010 klo 00:42: "Koripalloilija kyyristyy ensin ..."

Sen voisi lukea uuudelleen ja sijoittaa - juuri kuten Jukkis sanoit - F(t):n paikalle F(s) ja ’impulssin’ paikalle ’työ’. Sijoittamalla F=m*dv/ds*ds/dt saadaan integroimalla pystysuoran ponnistusmatkan suhteen työksi mv(s)^2/2, joka on tuttu kineettisen energian lauseke. Tässä s viittaa palloilijan painopisteen korkeuteen lattiatasosta.

Nyt pitäisi taas olla jotain evidenssiä sille, että koripalloilijalla on sellainen toistettava ponnistustekniikka, jolla hän siirtää painopisteensä ensin lähtökorkeudelle ja kohdistaa sitten lattiaan voiman, jonka suuruus muuttuu sen mukaan, millä korkeudella painopiste kulloinkin on kunnes jalat irtoavat lattiasta. Jos ponnistusvoiman paikkariippuvuus F(s), siitä huolimatta, että se on joku meille tuntematon funktio, on aina sama, niin siitä seuraa, että myös generoitu liike-energia mv^2/2 on aina sama.

Ymmärtäisin, että näitä funktioita F(t) ja F(s) on nykypäivänä mahdollisuus mitata suorituksen aikana. Niistä lienee hyötyä esim painonnostajille.

Jostakin syystä aloin pitää funktiota F(t) luontevampana kuin funktiota F(s), mutta tämä on niin mutua, että Haapalaissitaaattikin ajaa ohi.

196. Jukkis17.10.2010 klo 17:59

Jep. Eipä tässä taida enää ihmeemmin keksiä uutta. Huomaan, että asiaa voi ajatella kahdella tavalla, jotka molemmat tuntuu jonain hetkenä yhtä järkeenkäyviltä, mutta sitten taas hetken päästä toinen tuntuukin uskottavammalta, ja sitten taas hetken päästä toinen.

Oliskohan Matilla jotain lisättävää asiaan? Kellokosken prinsessalla ei ollut.

(Se, että kirjoitin klo 14:56 että "ponnistyötä" ei ollut tarkoituksellinen uudissana. Ponnistustyö piti olla.)

197. Jaska17.10.2010 klo 22:42

Kun teillä on fysiikan laskut noin hyvin hallussa, niin osaatteko muuntaa annetuilla tiedoilla ponnistusalustaan kohdistuvan voiman kilogrammoiksi? Oletetaan, että hyppääjä seisoo vaa´alla joka siis näyttää ennen paljain jaloin hyppyä 80 kg ja tossut jalassa 80,3 kg. Mihin lukemaan viisari heilahtaa ponnistuhetkellä kummassakin tapauksessa. Vaa´an näyttöasteikko on riittävä.

198. Olavi Kivalo17.10.2010 klo 23:45

Ei ole mitään ponnistushetkeä vaan ponnistusperiodi ponnistuksen alkamisesta siihen kun jalat irtoavat vaa'alta. Sen aikana viisari tekee tuon retken, jota F(t) kuvaa, joka on juuri se aikariippuvuus mitä ei voi ennustaa yksittäisen hypyn kohdalla. Se voidaan toki rekisteröidä hypyn aikana kun on siihen mittarit (niinkuin Jyväskylän liikuntatieteellisessä).

199. Jaska17.10.2010 klo 23:47

P.S. Vielä mikä on lukema, kun hyppääjä putoaa takaisin vaa´alle?

200. Jukkis17.10.2010 klo 23:53

Löysin tämmöisen, jossa on hypynaikaisen voiman kuvaajia ajan funktiona:
_http://people.brunel.ac.uk/~spstnpl/LearningResou rces/VerticalJumpLab.pdf

201. Antti18.10.2010 klo 11:33

Matin haastavan tehtävän käsittely voi vaatia vielä lisätarkasteluja. Ken haluaa, voi sopivalla hetkellä halutessaan vilkaista seuraavaa lukujono-ongelmaa:

1, 44, 189, 496, 1025, 1836, 2989, 4544, 6561, ?

202. Jaska18.10.2010 klo 13:46

Niin, en kyllä ajatellutkaan vilkaista vastentahtoisesti. Jatkuu 9100 = 91*10^2.

1*1^2, 11*2^2, 21*3^2 jne.

203. Olavi Kivalo18.10.2010 klo 14:01

Jos halutaan tehdä lisätarkasteluja ilman, että ongelman perusta lepää mutu-pohjalla, kehottaisin hankkiutuman eroon tuosta koripalloilijasta. Yksittäisen ihmisen mallinnus on aivan mahdoton tehtävä, jopa stereotyypin, puhumattakaan idiootista. Jos se vaikka tekee ristinmerkin ennen hyppyä, niin ei voi koskaan tietää, rientääkö koripalloilijoiden suojeluspyhimys Sainte-Extupérine manipuloimaan suoritusta vai onko sillä muuta puuhaa. Rautakanki olisi parempi.

204. Antti18.10.2010 klo 15:28

Erinomaista, Jaska!

205. Olavi Kivalo18.10.2010 klo 16:46

Oleta pystysuora putki niinkuin tykin piippu ja siihen kitkattomasti sopivat kaksi muuten samanlaista rautatankoa paitsi, että pituudet ovat 2500 mm ja 2505 mm ja massat vastaavasti 80 kg ja 80,3 kg. Putken alapäässä on kierrejousi. Tangot painetaan vuorollaan putkeen niin, että jousi menee kokonaan kasaan, ja päästetään sitten ponnahtamaan vapaasti. Lyhyempi ponnahtaa metrin. Noudeeko pidemmän pää tätä korkeammalle vai matalammalle ja millä perusteella?

206. Matti18.10.2010 klo 22:01

Matalammalle, h=(80/80,3)m, koska jouseen latautunut energia on = mgh.

Sen kummemmin tässä ei ihmistä mallinneta, kuin oletetaan, että hän tekee peräkkäin kaksi identtistä ponnistusta, siten että F(t) on joka hetki molemmissa ponnistuksissa sama.

Muuten tämä kai on selvää. SF(t)dt = I = impulssi (S on integraali-ässä) ja SF(s)ds = 0,5mv^2, kuten pitääkin. Näillä havainnoilla ei sinänsä ole tehtävän ratkaisussa roolia.

Impulssi säilyy - siis yli törmäyksen, se on hetki ennen törmäystä sama kuin heti törmäyksen jälkeen. Tämä on siis luonnonlaki, ja se on yksi laajimmin vaikuttavista säilymislaeista.

Energia ei säily. Törmäys ei ole kimmoinen, kuten on esim. kahden teräspallon törmätessä. Yksi tapa on sanoa, että energiaa muuttuu lämmöksi, kun tossut tempautuvat jalan mukana ilmaan. Toinen, tavallaan havainnollisempi tapa on sanoa, että energiaa hukkuu, kun tossut pakotetaan samaan lähtönopeuteen jalkaterien kanssa.

Jos törmäys olisi kimmoinen, ja tossut voisivat lähteä vapaasti, niiden lähtönopeuas olisi 8,826 m/s, kun se nyt on 4,396 m/s. Pelaajan painopisteen nopeus juuri ennen törmäystä on 4,429 m/s.

Hukkaantunut energiakin on helppo laskea. Se on
0,5m*v^2*(1-80/80,3) = 2,93 J.

Sen kummempaa en tästä oikeastaaan osaa enää sanoa.

207. Jukkis18.10.2010 klo 22:44

Siis mikä nyt onkaan se törmäys, jonka yli impulssi säilyy? 17.10.2010 klo 11:12 kirjoittamaaniko et halua kommentoida?

208. O18.10.2010 klo 23:03

Korkeammalle, Matti, koska pidempi tanko oli 5mm pidempi.
Palattiin lähtöruutuun. Tämän oli tarkoitus palvella esimerkkiä tilanteesta, jossa kummassakin tapauksessa kineettinen energia (vaan ei liikemäärä) irtoamishetkellä on sama.

Tähän hätään en ehdi kommentoida noita tossun lähtönopeuksia muuten kuin, että onneksi ne ei ole tuon suuremmat.

209. [Olavi Kivalo]18.10.2010 klo 23:04

[Tuossa piti lähettäjän olla siis Olavi Kivalo.]

210. Matti18.10.2010 klo 23:24

Olavi, niin lentääkin korkeammalle. Hosuin enkä huomioinut, että toinen tanko on 5 mm pitempi.

Jukkis, palaan asiaan huomenna. Jos minulta suoraan kysyt, pidän tärkeänä yrittää myös vastata.

211. Olavi Kivalo19.10.2010 klo 13:34

Tarkoitukseni oli palata lähtöruutuun eli alkuperäiseen tehtävänmäärittelyyn ja Antin vastaukseen 80/80,3+0,005 = 1,001 > 1.

Vastaustaanhan ei Antti ole perustellut, mutta sen on osoitettu perustuvan oletukseen, että molemmissa hypyissä liike-energia (ei liikemäärä) lähtöhetkellä on sama. On myös osoitettu, että tällainen tilanne syntyy, jos ponnistusperiodin aikana riippuvuus F(s) (vaan ei F(t)) pysyy samana hypystä toiseen. Puuttui yksinkertainen esimerkki tilanteesta, jossa näin käy. Ja näin käy tuossa tanko-esimerkissä, jossa kierrejouseen ladattu, jousivakion mukainen jousen potentiaalienergia kokonaisuuudessaan purkautuu ylöspäin tangon liike-energiaksi. Jousi oikenee kummassakin tapauksessa saman verran (mutta ei saman verran samalla nopeudella!) eli aiheuttaa tankoon voiman niin, että F(s) on molemmille sama.

Tuo tankoesimerkki on kaukana siitä, mitä tapahtuu hyppääjän generoidessa lähtönopeutensa, mutta se osoittaa, että on olemassa tapauksia (tässä siis kierrejousen käyttö), joissa on oikeutettua olettaa, että F(s) ponnistusperiodin aikana ja täten liike-energia lähtöhetkellä ovat eri tangoille samat.

Entä ilmalento? Nousukorkeuden laskeminen noudattaa samaa kaavaa, mikä pätee massapisteelle s=v^2/(2g). Kun kysymyksessä on muu kappale (ihminen, tanko), kaava pätee painopisteelle. Ihmisen painopisteen kanssa ollaan tietysti taas heikoilla jäillä, ei pelkästään siksi, että tarvitaan painojakautuma pituuden suhteen, vaan siksi, että hyppääjä ojentelee vartaloaan ilmalennonkin eri vaiheissa. Tästä syystä osa liike-energiasta hukkuu painopisteen sivullepäin suuntautuviiin nopeuskomponentteihin. Tankoesimerkissä nämä hankaluudet on eliminoitu.

Koska tankoesimerkki on fiktiivinen, voidaan tangon massajakautuma määritellä niinkuin halutaan. Jos kaikki massa on keskittynyt yläpäähän, edustavat tangot kahta massapistettä, joista painavampi on alkutilanteessa 5mm korkeammalla kuin kevyempi. Tällöin ollaan lähtöruudussa, joka on Antin kaava ja tulos. Luontevampaa kuitenkin olisi määritellä tangon painopiste keskelle, jolloin pidemmällä tangolla alkutilanteessa se olisi vain 2,5mm korkeammalla ja painopisteen nousu vain 80/80,3+0,0025 = 0,998764 < 1.

Tankoesimerkki toimii samalla tavoin, jos kierrejousi oletetaan osaksi tankoa, jolloin jousi singahtaa oienneena tangon mukana. Tämä muistuttaisi enemmän hyppääjää, joka kyyristyessään ikäänkuin lataa lihaksiinsa potentiaalienergiaa, joka vapautuu liike-energiaksi. Mutta lihakset eivät toimi tämän kierrejousianalogian mukaisesti, joten tankoesimerkistä ei saa tukea oletukselle, että ponnistusperiodin aikana F(s) (vaan ei F(t)) pysyisi samana.

Yhteenvetona: Kuvaa koripalloilija ilman tossuja ja tossujen kanssa kädet ylös ojennettuina kahtena homogeenisena tankona, joiden pituudet ovat 2500 mm ja 2505 mm ja massat vastaavasti 80 kg ja 80,3 kg. Valitse painopisteiden sijaintien ero alkuhetkellä mieltymyksesi mukaan, esimerkiksi keskelle, jolloin tossullisen painopiste on 2,5mm korkeammalla. Lähde siitä, että liikemäärät (vaan ei liike-energiat) ovat lähtöhetkellä samat, jolloin tossullisen hyppääjän painopisteen nousukorkeudeksi saadaan esimerkiksi (80/80,3)^2+0,0025 = 0,995042<1.

Nämä numeroarvot ovat pelkkää rekvisiittaa. Tärkeämpää on etsiä ilmiöiden mekanismeja eli mitä oikeastaan tapahtuu.

212. Olavi Kivalo19.10.2010 klo 16:29

Tässä on muuten aika kiinnostava lukujono
1,2,3,4,5,6,16,17,27,28,38,39,49,50,52,14,8,25, ...
Juju voi löytyä alta aikayksikön.

213. Olavi Kivalo19.10.2010 klo 18:15

Hehheh, löytyi virhe alta aikayksikön. Jatkuu 50:n jälkeen toisin. Pitää olla:
1,2,3,4,5,6,16,17,27,28,38,39,49,50,51,15,7,26,18, ...

214. Matti19.10.2010 klo 21:53

"Intuitiollahan tässä pitää mennä. Oma intuitioni: Tuntuu järkevimmältä, että se, mikä on sama kummassakin hypyssä, on teho, jolla hyppääjä tekee työtä ponnistuksen aikana. Eli ponnistuksien aikainen työ on sama. Tästä sitten seuraa, että sillä hetkellä, kun ukko irtoaa maasta, liike-energia on sama kummassakin hypyssä."

Törmäys on se hetki, jolloin tossut irtoavat lattiasta. Ennen sitä molemmat tapaukset ovat identtiset. Liike-energia on sama ja liikemäärä on sama. Ja F(t) on koko ajan sama, samoin F(s). Heti törmäyksen jälkeen tilanteet eroavat. Liikemäärä säilyy - se on fysiikan laki. Energia ei säily, ja voidaan laskea lämmöksi hukkuvan energian määrä: 2,93 J.

"Se Matin ajatus, että tuosta liike-energiasta sitten tossullisessa tapauksessa muuttuu lämmöksi juuri täsmälleen sen verran, että maastairtoamishetkellä liikemäärä on sama kummassakin hypyssä, kuulostaa kummalliselta. Kun tosiaan tuo syntyvä lämpöenergia ei sitten riipu yhtään siitä, mitä siellä jaloissa on. Entä jos se 300 gramman massanlisäys ei tulekaan kengistä, vaan vaikka siitä, että hyppääjä on hyppyjen välissä kasvattanut lihasmassaansa 300 g:n verran sellaisissa lihaksissa, jotka ei hyppäämisen aikaista tehoa kuitenkaan kasvata? Mikä silloin on se törmäys, jossa syntyy edelleen just se sama määrä lämpöenergiaa, joka saa aikaan liikemäärien yhtäsuuruuden?"

Että lämmöksi muuttuu juuri sen verran energia kun muuttuu, on seuraus impulssin säilymisestä. Se määrää liike-energian törmäyksen jälkeen, ja loppu muuttuu lämmöksi. Jos 300 gr ei tulekaan tossuista vaan lisääntyneestä lihasmassasta, mitään törmäystä ei ole. Kyse on silloin eri tehtävästä.

"Siitä, että teho pysyy vakiona, seuraa se, että voima ei pysykään vakiona. Intuitioni perusteella en yhtään ihmettele tätä. Eihän tyypin lattiaan kohdistama voima (ja lattian häneen kohdistama voima) ole sama silloinkaan, kun hän vaan seisoo paikallaan ensin paljain jaloin ja sitten kengät jalassa."

Miksi teho pysyisi vakiona. Sen ei tarvitse pysyä. Ponnistusvaiheesta riittää tietää vain lopputulos eli impulssi, SF(t)dt, mikä on = liikemäärä, mv.

"Mutta vielä se, että miksi tässä nimenomaan liikemäärän edes pitäisi pysyä samana? Eihän liikemäärän säilymislaki tällaista tilannetta tarkoita."

Tarvitsee tai ei, liikemäärä pysyy samana. Se on fysiikan laki, ja se on kaiken lähtökohta. Ja siis liikemäärä säilyy samana läpi törmäyksen, mutta sittemmin se kyllä muuttuu, kun gravitaatio hidastaa nousua.

Tiedä häntä sitten. miten tyydyttävästi pystyin vastaamaan Jukkiksen kommentteihin. Näin asian kuitenkin itse nään.

Yllä olevassa Olavin rautatankoesimerkissä ei ole lainkaan törmäystä, joten niin liikemäärä kuin energiatkin säilyvät. Mutta muuten en halua OK:n esitystä kiistää.

215. Jukkis20.10.2010 klo 09:01

"Törmäys on se hetki, jolloin tossut irtoavat lattiasta. Ennen sitä molemmat tapaukset ovat identtiset."

Mutta kun eivät ole identtiset. Identtisyys loppuu sillä hetkellä kun kantapäät irtoavat lattiasta. Ponnistus loppuu vasta sitten kun varpaat irtoavat lattiasta. Tällä välillä nopeus ylöspäin vielä kasvaa, eikä liikemäärän säilymislaki määrää, että tossuttomien jalkojen liikemäärän pitäisi varpaiden irtoamishetkellä olla sama kuin tossullisten jalkojen.

Se. että liikemäärä olisi ponnnistuksen päättymishetkellä sama kummassakin tapauksessa toteutuisi kai näissä kahdessa tapauksessa
1. Ukko hyppää niin, että koko jalkapohja irtoaa lattiasta samanaikaisesti.
2. Ukolla on niin isot kengät, että niiden sisällä ponnistuksen loppuvaiheen (kantapää irti lattiasta -> varpaat irti lattiasta) aikana paljas jalka kengän sisällä liikkuu vapaasti, eli kenkä tulee mukaan kuvioon vasta, kun koko jalka kengän sisällä on irronnut kengän pohjasta.

Väitän edelleen, että liike-energiat on ponnistuksen loppumishetkellä samat, ja että lämmöksi muuttuva energia on niin vähäinen, että sillä ei ole merkitystä.

216. Olavi Kivalo20.10.2010 klo 10:33

Se, mikä aiheuttaa hämmennystä Matin analyysissä, on tämä törmäys. Tässähän tarkastellaan aivan tavallista hyppyä ylöspäin, jonka vaiheisiin ei kuulu sellaista ilmiötä, joka ansaitsisi nimityksen törmäys, jollei sellaiseksi lueta hyppääjän palaamista takaisin lattialle. Mutta se kuuluu jo tarkastelun ulkopuolelle.

Tällaisia tavallisia hyppyjä, joissa hyppääjällä on kevyt urheiluvaatetus ja tossut jalassa (tai ei, samantekevää) on analysoitu koetilanteissa ja eräs analyysi löytyy Jukkiksen antamasta osoitteesta. Voimantuottokäyrästä F(t) on erotettavissa hypyn vaiheet: alkutilanne, kevennys (mikäli ollaan alkutilanteessa suorin jaloin), ponnistus, irtoamishetki, ilmalento, ...

217. Matti20.10.2010 klo 22:26

Uusi törmäystehtävä:

Pöydällä on 5 eurosentin kolikko (kolikko 1). Sitä kohti liukuu toinen samanlainen kolikko (kolikko 2). Ne törmäävät, mutta eivät keskeisesti, vaan siten, että toinen koikko lähtee etuvasemmalle, ja toinen etuoikealle. Törmäyshetkellä törmäävän kolikon (kolikko 2) keskipiste on kohdassa A. Törmäyksen jälkeen kolikot liukuvat hidastuen, ja pysähtyvät niin, että toisen kolikon keskipiste on kohdassa B ja toinen kohdassa C. Kysytään kulmaa BAC.

218. Olavi Kivalo20.10.2010 klo 23:53

Seuraava kommentti erittäin pikaisen lukemisen jälkeen. Törmäyskulmaa ei ole määritelty. Otetaan yksinkertaisin eli Pi/4, jolloin kolikot lähtevät kulmassa Pi/4 tulosuunnan suhteen. Sillä hidastuvatko vai ei, ei ole merkitystä. Kulma BAC siis Pi/2.

219. Olavi Kivalo21.10.2010 klo 08:47

Esittämäni lukujonon juju on niin ilmeinen, että koko kompa on tainnut jäädä jonnekin tossun alle. Kannattaa katsoa aluksi termejä 5:stä ylöspäin
1,2,3,4,5,6,16,17,27,28,38,39,49,50,51,15,7,26,18, ...

220. Olavi Kivalo22.10.2010 klo 14:32

No niin. Jono noudattaa lakia a(n)+a(n+1) = palindromi.
Rajoitteena on, ettei a(n+1) saa esiintyä aiemmin.

Mikä tässä on sitten mielenkiintoista? Se on kysymys, muodostavatko jonon termit kaikkien luonnollisten lukujen erään permutaation.

221. Jaska22.10.2010 klo 19:53

Tulkintani rajoitteelle ettei a(n+1) eli kaikki muut luvut kuin 1 ei saa esiintyä aiemmin: jonon luku saa esiintyä siinä vain yhden kerran. Onhan jokainen ensimmäistä seuraava luku sekä a(n) että a(n+1). Olenko oikeassa?

Sen sijaan palindromisumma saa esiintyä useammin kuin kerran. Toistoa alkaa esiintyä 101:n jälkeen. Palataan pienempiin palindromeihin. Kysymys kuuluukin:

Millä perusteella 50 + 51 = 101:n jälkeen seuraa 51 + 15 = 66? Miksei esim. 51 + 26 = 77? Ja miksei loogisimmalta tuntuva seuraava suurempi palindromi 51 + 60 = 111? Ymmärtäisin asian, jos sääntönä olisi pienimmän mahdollisen luvun ynnääminen, mikä näyttää pätevän myös jatkossa 7, 26, 18.

Unohditko OK mainita tämän toisen rajoitteen, vai olenko minä tässä(kin) totaalisesti hukassa?

222. Olavi Kivalo22.10.2010 klo 22:17

Kyllä olet Jaska lukujonon idean ilmeisen täysin ymmärtänyt.

Täsmällisempi tehtävän määrittely olisi ensinnäkin sisältänyt maininnan, että annettu lukujono on yksi monista, jotka toteuttavat palindromiehdon. Muut ovat tämän permutaatioita, kuten jo huomasit, mutta tässä on leksikografinen järjestys eli aiemmin esiintymättömistä luvuista valitaan alin.

Ja ihmettely koskee sitä, sisältääkö tämä lukujono (tai jokin sen permutaatio) lopulta kaikki luonnolliset luvut (kerran), kun n lähestyy ääretöntä.

223. Matti23.10.2010 klo 00:09

Kombinatoriasta kiinnostuneille T&T tarjosi omasta mielestäni ihan haastavan pulman. On arvattava, monesko kortti sekoitetussa pakassa on ensimmäinen musta ässä. Mikä on fiksuin arvaus? (Minkä arvauksen toteutumisen todennäköisyys on suurin?)

Sain esille ehdotuksen, mutta ei oikein täytä uskottavuuskriteeriä. Tai sitten kuitenkin täyttää. Pitää vähän kypsytellä.

224. Jaska23.10.2010 klo 00:35

Yritän olla fiksu ja vastaan ensimmäinen. Sen todennäköisys osua on 51/1326. Vähiten fiksu olisi viideskymmenesensimmäinen, tod. näk. 1/1326.

225. Olavi Kivalo23.10.2010 klo 13:20

Yritän ehtiä olla toiseksi fiksu ja yhdyn Jaskan näkemykseen. Todennäköisyys olla mikä tahansa 1....52. on sama pataässälle, mutta mustalle ässälle se pienenee sen toisen mustan ässän ansiosta ja huonoin arvaus olisi tietysti 52., koska sen todennäköisyys on nolla.

226. Antti23.10.2010 klo 13:33

51/1326 = 2/52 = 1/26

227. Olavi Kivalo23.10.2010 klo 13:42

Näyttää siltä, että todennäköisyys pienenee lineaarisesti.

228. Matti23.10.2010 klo 16:01

Totta pakisette. Laskin että todenn. että ensimmäinen musta ässä on pakassa ännäntenä on p(n)=(52-n)/(26*51). Sum (n=1,52) = 1, kuten pitääkin.

229. Matti25.10.2010 klo 21:17

Kolikkojen törmäystehtävässä kysyttiin törmäyksen jälkeisten nopeusvektoreiden V1 ja V2 välistä kulmaa (mikä on sama kuin kulma BAC).

Koska liikemäärä törmäyksessä säilyy, on voimassa vektoriyhtälö V=V1+V2, missä V on törmäävän lantin nopeus juuri ennen törmäystä. Nämä 3 nopeusvektoria muodostavat siis kolmion.

Ja koska myös liike-energia energia säilyy, on voimassa v^2 = v1^2 + v2^2 (törmäys voidaan idealisoida kimmoisaksi). Pythagoraan lauseesta seuraa, että kysytty kulma on aina suora. (Lanttien ympyränmuotoisuus takaa, että lantit eivät törmäyksen jälkeen ala pyöriä itsensä ympäri.)

Tätä on hauska testata esim lasipöydällä. Kulma todellakin on suora.

230. Olavi Kivalo25.10.2010 klo 22:15

Ongelma tuleekin todella haastavaksi, jos törmäävien kiekkojen välillä on kitkaa. Osa suoraviivaisesta liikkestä muuttuu pyörimisliikkeeksi. Jos tämän lisäksi kiekon ja alustan välillä on kitkaa, aiheuttaa pyörimisliike kaartumista. Se kaartuuko esim. vastapäivään pyörivä kiekko oikealle vai vasemmalle, riippuu monista asioista. Tätä on pohdittu mm. curlingin teoriassa.

231. Jaska25.10.2010 klo 22:46

Viiden sentin kolikon reuna on sileä, mutta kyllä kai törmäyksestä jonkin verran kitkaa syntyy. Muissa reuna taitaa olla uritettu, joten jos törmäyksessä kahden kolikon urat osuvat limittäin nopeuden ollessa riittävä, niin pyörimisliikehän siitä vääjäämättä syntyy. Matin esimerkissä urakolikko 1 pyörisi vastapäivään ja urakolikko 2 myötäpäivään. Näin ainakin talonpoika sen päättelisi.

232. Olavi Kivalo25.10.2010 klo 23:04

Kuppari voisi sanoa että molemmat pyörivät vastapäivään.

233. Matti25.10.2010 klo 23:15

Curlingin teorian tärkein operaattori on epäilemättä nablaristi eli curl.

234. Antti26.10.2010 klo 08:49

Vaativampi kuin + tai - on nablaristi.
Jos se on vaikea, millainenhan seuraava on?

1, 63, 484, 2042, 6226, 15432, 32894, 60496, ?

235. Olavi Kivalo26.10.2010 klo 12:03

Seuraava on 77778. Mutta sitä seuraava onkin -162880.

236. Antti26.10.2010 klo 12:48

OK, OK!

237. Jaska26.10.2010 klo 14:32

Onko Antin aamuinenkin jokin vektorijutska? Selitys kiinnostaisi.

238. Olavi Kivalo26.10.2010 klo 14:39

Tämä on ihan peruskauraa. Löysin seuraavan rekursiokaavan.
a(n+1) = n*a(n) + 2(n+1)^5 - 2n^6
Kuinka Antti tähän on päätynyt, sitä en tiedä. Ehkä Antti tietää.

239. Antti26.10.2010 klo 15:11

Rekursiokaavan alku jo viittaa kertomaan.
Luvut sain seuraavalla kaavalla:

a(j) = 2*j^5 - (j-1)!
j= 1,2, ...

240. Olavi Kivalo26.10.2010 klo 16:51

Löysin kaavan huomattuani, että erotus e(n) = 2n^5 - a(n) käyttäytyy hyvin: kun n kasvaa, seuraava erotus e(n+1) saadaan aina edellisestä kertomalla n:llä. Toisaalta n*e(n) osoittautuu samaksi kuin n!, josta seuraa a(n) = 2n^5 - (n-1)!.

241. Matti26.10.2010 klo 21:40

Vielä pari sanaa törmäävistä kolikoista. Jos kanttien välillä on kitkaa, lantit alkavat pyöriä itsensä ympäri, toinen myötä- ja toinen vastapäivään, yhtä suurin kulmanopeuksin. Näin tulee olla, koska kulmanpeusvektoreiden suunta on liiketasoa kohtisuorassa, ja niiden täytyy kumota toisensa, koska liikemäärä säilyy.

Energian säilymisestä seuraa, että v^2=v1^2+v2^2+(2*J*o^2)/m. J on lantin hitausmomentti ja o pyörimisnopeus eli spin.

Kun piirretään V, V1 ja V2 kolmioksi ja sovelletaan kosinilausetta, saadaan cos(a) = -(J*o^2)/(m*v1*v2). Tässä a on kysytty nopeusvektoreiden V1ja V2 välinen kulma, ja se on siis tylppä, koska cos(a)<0.

Tässä on oletettu, että kaartumista ei tapahdu. Oikein tai väärin, mene ja tiedä.

242. Olavi Kivalo27.10.2010 klo 19:25

Jos kanttien välissä on kitkaa, ei kolikoita voi enää käsitellä ympyröinä vaan jonkin sortin monikulmioina. Kosketuskohta ei ole enää piste ympyrän kehällä.

Jos oletetaan, että kolikon reuna on rosoinen kuin santapaperi, kolikoiden reunat hankaavat törmäyksessä lyhyen (hyvin lyhyen) hetken toisiaan. Mitä tapahtuu, kun kolikko törmää epäkeskeisesti paikallaan olevan kolikon oikeaan reunaan? Törmäävän kolikon reuna aiheuttaa vääntömomentin paikallaan olevaan saaden sen pyörimään vastapäivään. Alussa paikallaan olleen reuna taas aiheuttaa vastakkaissuuntaisen vääntömomentin törmäävään saaden sen pyörimään - vastapäivään!

Tässä siis lähdettiin siitä, ettei törmäävä ollut jo valmiiksi pyörimisliikkeessä kumpaankaan suuntaan. Jos se pyörisi myötäpäivään, se voisi pyöriä myötäpäivään vielä törmäyksen jälkeenkin, mutta hitaammin.

243. Matti27.10.2010 klo 21:37

Ne pörivät sittenkin. Eri suuntiin. Niinkuin mankelin telat.

244. Matti27.10.2010 klo 21:42

Taisinpa kuitenkin hätiköidä. Perun edellisen ja mietin vielä lisää.

245. ?27.10.2010 klo 21:45

Pörrät puheesi? :-D

246. Jaska27.10.2010 klo 21:59

Sötkö sanasi? Lötkö vetoa, että
eivät pöri? Turhaa tötä, ei mitään hötyä.

247. Olavi Kivalo29.10.2010 klo 11:57

Seuraava on helppo.
Kuinka kasvaa a(i) = 4, 9, 16, 24, ..., jossa a(i)=x*y*z?
Muuttujat x, y ja z ovat positiivisia kokonaislukuja ja x+y-z=1.

248. Olavi Kivalo29.10.2010 klo 12:19

Sitten se välttämätön virheen kojaus. Jonosta puuttuu luku 12. Ja tietysti jono voidaan aloittaa ykkösestä. Eli parempi versio menisi näin:
a(i) = 1, 4, 9, 12, 16, 24, ...

249. Olavi Kivalo29.10.2010 klo 12:21

Korjauksen korjaus: Kojaus -> korjaus.

250. Matti29.10.2010 klo 16:00

Kyllä ne kolikot pyörivät samaan suuntaan, niinkuin OK sanoi. Sotkin impulssin ja impulssimomentin keskenään, jos nyt ketä kiinnostaa.

251. Olavi Kivalo29.10.2010 klo 17:08

Pyörimissuunnan hahmottamista helpottaa, jos liioitellusti kuvittelee, että epäideaalit ympyrät ovat neliöitä ja törmäävän neliön kantti osuu epäkeskeisesti paikallaan olevan neliön kanttiin.

252. Jaska29.10.2010 klo 19:49

Vielä helpompaa on hahmotus käytännössäkin lukemattomia kertoja suoritetun "kokeen" kiistattomien tulosten perusteella. Kuka hoksaa, mitä "koetta" tarkoitan?

253. Antti30.10.2010 klo 08:51

1011, 200, 113, 54, 50, 44, 41, 38, ?

254. Olavi Kivalo31.10.2010 klo 09:37

Jaskan mukaan talonpojan mukaan kolikot pyörivät eri suuntiin. Mitähän mieltä on Jaska itse ja mikä on "koe", joka todistaa mitä?

255. Jaska31.10.2010 klo 11:42

Talonpoika oli siinä vaiheessa minä itse. Kuvittelin reunoistaan uratut kolikot törmäyksen jälkeen hammasrattaiksi, jotka pyörittävät toisiaan vastakkaisiin suuntiin.

Kupparin ja Olavi Kivalon oltua toista mieltä ja Matin ryhdyttyä kääntämään takkiaan aloin epäillä hammasratasteorian toimivuutta. Päädyin siihen, että hammasratasvaikutus edellyttäisi suoraa linjaa etenevän kolikon pyörivän jo törmäyshetkellä myötäpäivään, ja pyörimiliikkeen pitää olla osumakulmasta riippuen riittävän nopea kumotakseen törmäyshetkellä syntyvät hitaus- ja ties mitkä momentit, joista talonpoika muistelee joskus hämärästi kuulleensa.

Usein toistettu "koe" tapahtuu liikenteessä samanpainoisilla ajoneuvoilla. Kolarithan ovat valtaosin epäkeskisiä, joten nopeuden ollessa riittävä, molemmat törmäyksen osapuolet joutuvat samansuuntaiseen pyörimisliikkeeseen.

Oikeanpuoleisen liikenteen nokkakolarien osumakohta on useimmiten vasen etukulma. Kolariuutisten kaaviokuvissa olen joskus nähnyt auton pyörähtäneen 180 astetta vastapäivään. Kupparikin on mahdollisesti nähnyt joskus ajosuuntaansa nähden vasemmalla ojassa auton, nokka kupparin tulosuunnassa ja sen vasen kulma lytyssä. Se on todennäköisesti ajanut samaan suuntaa kuin kuppari.

Kolikkoesimerkki vastaa peräänajoa vasemmanpuoleisessa liikenteessä, kun väärälle kaistalle ajautunut tai ohitusta yrittävän vasen etukulma osuu tien laitaan pysähtyneen samanpainoisen oikeaan takakulmaan. Molemmat pyörähtävät vastapäivään.

256. Jaska31.10.2010 klo 12:23

Jäi mainitsematta peräänajo oikeanpuoleiseisessa liikenteessä esim. ohitustilanteessa, kun ohittajan oikea etukulma törmää edellä ajavan vasempaan takakulmaan. Molemmat (samanpainoiset) pyörähtävät myötäpäivään. Muistankin esimerkin toissa kesältä Vihdintieltä (moottoriliikennetieosuus). Landelle vievän kaistan puoleisessa ojassa oli henkilöauto nokka stadiin päin. Vauriot jäivät näkemättä, mutta veikkaan niiden olleen vasemmassa takakulmassa.

257. Matti31.10.2010 klo 16:34

Tämä kolariesimerkki havainnollistaa kolikoiden kitkallista törmäystä oikein hyvin.

258. Olavi Kivalo1.11.2010 klo 14:12

Yritin löytää lukujonolle a(n) = 1, 4, 9, 12, 16, 24, ... jotain kaavaa, josta olisi johdettavissa kaikki termit, mutta en onnistunut. Näyttää siltä, että jokainen termi on löydettävä kokeilemalla.

Esimerkiksi:
- Onko 1 jonon termi? Kyllä, koska on löydettävissä yksi tripletti x,y,z, joka toteuttaa ehdot eli (x=1,y=1,z=1).
- Ovatko 2 ja 3 jonon termejä? Eivät.
- Onko 4 jonon termi? Kyllä, koska kaksi triplettiä (x=1,y=2,z=2) ja (x=2,y=1,z=2) toteuttaa ehdot.

Papukaijamerkki sille, joka löytää rekursiokaavan.

259. Olavi Kivalo2.11.2010 klo 11:21

Huomasin juuri, että jono 1, 4, 9, 12, 16, 24, ... onkin OEIS:ssa, joten se siitä jonosta ja papukaijamerkistä.

Jonon jatko osoittaa kuitenkin, kuten jokainen voi todeta, että se sisältää kaikki neliöt n^2, n=1,2,3,... Termien n^2 ratkaisut voidaan aina kirjoittaa tripletteinä (x=1,y=n,z=n) ja (x=n,y=1,z=n), koska n^2 = 1*n*n = n*1*n ja n+1-n = 1. Näitä voi pitää triviaaliratkaisuina.

Alkuperäistä kiinnostavampi jono saadaankin, kun muutetaan rajoitetta niin, että x, y ja z ovat positiivisia kokonaislukuja >1. Jos lisäksi eliminoidaan triviaalit rinnakkaisratkaisut, jossa x ja y vaihtavat paikkaa, vaatimalla x<=y, saadaan jono
a(n) = 12, 24, 40, 45, 60, 72, 84, 105, ...,
joka ei esiinny OEIS:ssa.

Yritin työstää tämän jonon yleiselle termille kaavaa. Näyttää, että sellainen on olemassa. Uusi papukaijamerkki olisi jaossa.

260. Jaska2.11.2010 klo 12:37

Ilman sen kummempia kokeiluja selviää parilla perussäännöllä:

Summan x+y+z tulee olla pariton = a. z = tällöin (a-1)/2 = b. Summa x+y saadaan tällöin (b+1)/2 kombinaatiolla, kun b = 3, 7, 11, 15... ja b/2 kombinaatiolla, kun b = 5, 9, 13, 17...

Seuraavassa pötkössä x+y+z/x*y*z:n kombinaatiot:
5/4
7/9, 12
9/16, 24
11/25, 40, 45
13/36, 60, 72
15/49, 84, 105, 112
17/64, 112, 144, 160
jne.

261. Jaska2.11.2010 klo 14:12

Vaihdan säikeen.

↶ Takaisin aiheisiin Siirry ylälaitaan ↑

KOMMENTOI

5698. Lukujono-7

Lähettäjä: *

Teksti: *