KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > LUKUJONO 6
5407. Lukujono 6
Matti12.3.2010 klo 20:14
Lähettäjä: Olavi Kivalo 12.3.2010 klo 17:07Mikä on lyhin jana, jolla suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat samanpituiset, voidaan jakaa kahteen yhtäsuureen osaan? (T&T)
Ivanin 4h:n matka A:sta B:hen, siis 273km, ja 40min hitaampi paluu samaa reittiä toteutuu lukuisilla profiiileilla (A->B: alamäki, tasainen, ylämäki) kuten
168+105+0km ja 208+25+40km.
Ja kun tuli kysytyksi, niin kerrottakoon, että 14 km lyhyemmät oikotiet olisivat vastaavasti
56+203+0km ja 96+123+40km
Näissä paluu kestäisi vain 4h 13min 20s.
2. Matti12.3.2010 klo 20:14
Tämä kai on sopivas kohta siirtyä seuraavaan lukujonosäikeeseen.
3. Matti12.3.2010 klo 21:18
Sain minimijanan pituudeksi sqr(sqr(2)-1), noin 0,6436. Tämä on vähän lyhyempi kuin suorasta kulmasta hypotenuusalle piirretty kohtisuora, joka on (sqr(2))/2,noin 0,7071
4. Olavi Kivalo12.3.2010 klo 22:48
Merkitään q=Sqrt[Sqrt[2]]. Jos pannaan kolmio seisomaan kateetilleen, niin jana lähtee toiselta kateetilta korkeudelta (q-1)/q = 0.159104 ja päättyy hypotenuusalle kohtaan, joka on etäisyydellä (q^3 -1)/q = 0.573317 hypotenuusan alakärjestä, ja on siis pituudeltaan noin 0.643594 kuten Matti totesi.
5. Matti12.3.2010 klo 22:53
Tässä ei tarvitse derivoida kun huomaa, että minimijana jakaa neliön puolikkaan kolmikulmioon ja nelikulmioon. Kolmikulmio on tasakylkinen, ja sen kärkikulma on 45 astetta. Kanta on kysytty minimijana, ja sen asema määräytyy siten, että alkuperäinen neliön puolikas tulee jaetuksi kahteen yhtä suureen osaan.
6. Olavi Kivalo12.3.2010 klo 22:57
Nerokasta. Minä kyllä derivoin.
7. Olavi Kivalo18.3.2010 klo 18:22
Mikä on lyhin lukujono a(k), k = 1,2,3,..., jossa esintyvät luvut 1,2,3,...n siten, että a(1)=1 ja peräkkäisten lukujen erotuksen itseisarvo Abs[a(k+1)-a(k)] = k ja yksikään luku ei toistu? Esim. n=4
a(k)=1,2,4,7,11,6,12,5,13,22,32,21,9 ei jatku
a(k)=1,2,4,7,11,16,10,3 ok
a(k)=1,2,4,7,3 ok ja lyhin.
Entä jos n=5 tai 10?
8. Juhani Heino19.3.2010 klo 13:46
En valitettavasti ole vielä muilta hommilta paljon ehtinyt, mutta vaikuttaa kivalta jutulta. Tässä pieni pohdiskelu taukojumppana ennen kuin taas alan pakertaa oikolukua.Jos tehdään moduuli jossa ensin siirrytään n askelta isommaksi ja sitten n askelta pienemmäksi, k-arvot kumoavat toisensa ja lopputulos on aina sama, n² pienempi kuin lähtökohta. Tai sitten toisinpäin, mutta se on yleensä vaikeampi toteuttaa. Periaatteessa voitaisiin siis toimia myös neliöitä vähentäen jos on sopiva tilaisuus.
Tällä tavalla siis päästiin 4:stä 7:n kautta 3:en. Siitä täytyy siirtyä 8:an. Siitä ei toimi siirtymä 4-1, koska 9:ään ei enää pääse (2:n kautta) eikä myöskään 4:än. Niinpä pitää vielä mennä ylöspäin: 14. Nyt matkaa on 9. Sattuipa sopivasti. Koko jonoksi n=5 tulee:
1,2,4,7,3,8,14,21,29,38,28,17,5
Seuraavaksi esimerkki menetelmän rajoituksista:
Kun n on vielä isompi, kannattaa ottaa ensin 6, siitä pääsee nopeasti taakse.
1,2,4,7,3,8,14,10,6,5
eli koko jonona
1,2,4,7,3,8,14,21,29,20,10... hups, jäätiin jumiin koska 21 on jo käytetty.
Haetaan vauhtia pidemmältä:
1,2,4,7,3,8,14,21,22,6,5
eli koko jonona n=8
1,2,4,7,3,8,14,21,13,22,32,43,55,68,54,39,23,6,24, 5
Mutta tässä jäädään jumiin eli pidemmälle ei päästä. n=10 pitäisi ottaa jossain muussa järjestyksessä.
Mitään takeita ei ole siitä, että nämä jonot olisivat lyhyimpiä. Mutta saa niillä kohtalaisen helposti laitettua pohjat muille menetelmille, eli missä vaiheessa kannattaa katkaista hakeminen.
9. Olavi Kivalo19.3.2010 klo 20:37
En tiedä, voidaanko todistaa, että on olemassa ehdot täyttävä jono jokaiselle n:n arvolle. Kun jono pitenee eli n kasvaa, tulee hankalammaksi todistaa että se on lyhin. Minimijononpituus L(n), jossa n=2,3,4,... on lukujono:
L(n) = 2,5,5,13,17,17,20,29,36,...
Juhani Heinolla on ihan käypä heuristiikka ja löydetyt jonot ovat lyhimmät jonot: L(5)=13, L(8)=20.
Voidaan kysyä, mitkä ovat L(11)...L(14)?
10. Olavi Kivalo19.3.2010 klo 21:51
T&T:n uusin on variantti edellisestä. Jos lyhimmän reitin ei tarvitse olla jana, löytyy lyhyempiäkin vaihtoehtoja.Tehtävä on hankalasti muotoiltu. Kysytään paljonko puuseppää harmitti, kun kilpailevan puusepän sahausjälki, joka jakoi vanikanpalan kahteen yhtäsuureen osaan, oli vieläkin lyhyempi kuin hänen omansa, joka oli tuo noin 0.626657m.
Ehdotan, että harmitus on suoraan verrannollinen erotukseen, joksi taas ehdotan 0.0169372m.
11. Matti19.3.2010 klo 23:28
Yritin tavata tuota T&T:n uusinta tehtävänantoa, mutta ote vaan lipsui. Jokainen kahden pisteen yhdysviiva on pitempi tai yhtäpitkä kuin niiden pisteiden välinen jana. Mutta odotan mielenkiinnolla lehden ratkaisua. Se voi olla ihan fiksukin.
12. Olavi Kivalo20.3.2010 klo 08:25
Nyt verrataan alkuperäisen tehtävän määrittelemien pisteiden yhdysjanan ja joidenkin toisten pisteiden yhdysviivan pituutta.
13. Olavi Kivalo23.3.2010 klo 18:41
Siis janan minimi oli 0.643594 (eikä 0.626657 kuten vahingossa sanoin yllä).Tätä lyhyempi on sen ympyrän kaaren pätkä, jonka keskipiste on tasasivuisen kolmion kärjessä ja säde se, jolla sektorin ala tulee samaksi kuin tasasivuisen kolmion. Tällöin kaaren pituus on tuo 0.626657.
14. Matti23.3.2010 klo 22:22
Nyt vasta tajusin tämän jutun. (Hiljaa hyvä tulee - hämäläisten lohtu.) Lyhyin neliön diagonaalipuolikkaan pinta-alan puolittava viiva ei olekaan suora. Esim OK:n esittämä ympyränkaari on lyhyempi. Sen pituus on sqr(pi/8). OK antoi jo desimaalit.Häiritsi vähän, mutta vain vähän, että OK puhui tasasivuisesta kolmiosta, vaikka tarkoitti tasakylkistä.
Mutta vielä pitäisi todistaa, että saatu ympyränkaari on lyhyin mahdollinen käyrä. Kuka vielä muistaa variaatiolaskentaa? Etsi käyrä, jolla on minimipituus, ja joka erottaa neliön diagonaalipuolikkaasta pinta-alan 1/4, kun sen päätepisteet sijaitsevat annetuilla suorilla.
15. Jaska23.3.2010 klo 23:23
Matti, eikö se peräänkuuluttamasi todistus saada välillisesti Didon probleeman todistuksesta?
16. Matti24.3.2010 klo 01:44
Jaska, häh?
17. Jaska24.3.2010 klo 10:53
Yritän vääntää asian rautalangasta. Se on pujotettu tasakylkisen kolmion alle siten, että se muodostaa kolmion sisällä ympyränkaaren, joka jakaa kolmion kahteen yhtä suureen osaan. Sitten taivutellaan ympyränkaarta niin, että siitä muodostuu jokin muu käyrä. Jos sitä taivutetaan ulospäin kolmion kärjestä, se onnistuu vain "antamalla siimaa" kolmion ulkopuolelta. Näin ollen kolmion sisällä oleva langan osa on pitempi kuin alkuperäinen ympyränkaari. Jos taivutetaan sisään päin kohti kolmion kärkeä, langan ja kärjen rajaama pinta-ala pienenee. Sen kompensoimiseksi lankaa pitää taas vetää kolmion ulkopuolelta sisään jolloin sisäpuolella oleva langan osa on taas pitempi kuin alkuperäinen ympyränkaari.
18. Matti24.3.2010 klo 11:35
Ymmärtäkseni tuo sama "päättely" pätee sellaisenaan myös kolmiota jakavaan janaan, vaikka se ei olekaan lyhin käyrä. Käyrän alku- ja loppupisteet voivat liikkua, kunhan ovat kolmion kyljillä.
19. Jaska24.3.2010 klo 12:35
Joo, kyllä voivat, ja samalla pinta-alat muuttuvat. Ts. siimaa tarvitaan sama-alaisuuden saavuttamiseksi. Jos siis se ympyränkaari on lyhin mahdollinen viiva, mikä tässä on olettamuksena. Ja on siis todistettukin.
20. Matti24.3.2010 klo 17:37
Asiaa voisi tarkastella näinkin. Jos pöydällä on narusilmukka, ja sen sisäpuolelle aiheuttaa "paineen", silmukka päätyy ympyräksi, koska silloin kiinteäreunaisen alueen pinta-ala on maksimi.Samoin jos kulman sivuille kiinnitetyn kiinteäpituisen narun ja kulman sisään aiheuttaa "paineen", naru asettuu ympyränkaaren muotoon. Narun täytyy lähteä kolmion sivuista kohtisuoraan, koska muuten narun jännityksellä on sivunsuuntainen komponentti, joka liikuttaa narun päätä kohti kohtisuoruutta.
21. Jaska24.3.2010 klo 22:03
Viime kuussa kysyin, miten 9 ja 243 poikkeavat kaikista muista kolmen potensseista.Vastaus: vain ne toteuttavat yhtälön 3^x = 2*y^2 + 1, kun x ja y ovat kokonaislukuja. 3^2 = 2*2^2 + 1, 3^5 = 2*11^2 + 1.
22. Matti25.3.2010 klo 20:15
Jaska, mistä tiedät että nämä ovat ainoat kokonaislukuratkaisut? Esim x=37 ja y=474491257 liippaa aika läheltä.
23. Jaska25.3.2010 klo 21:10
Professori Aimo Tietäväinen (Turun Yliopisto) on todistanut, että 729 koodisanaa käsittävä 11-pituinen ns. Golayn koodi on ainoa lineaarinen ternäärikoodi, jonka jokainen koodisana peittää maksimimäärän 2*11^2 samanpituisia ternäärikombinaatioita + 1 (= itsensä), etäisyydellä 1 ja 2. Koodisanojen lukumäärä on siis 177147/243 = 729.Eka tapaus on oma lisäykseni, koska yhtä kombinaatiota ei kaiketi voi pitää (korjaus)koodina (9/9 = 1).
Golay julkaisi koodinsa v. 1949. Jo v. 1947 vakuutusmatemaatikko Juhani Virtakallio laati periaatteessa saman koodin vakioveikkauksen hajarivijärjestelmänä (= harava). Sen minimitakuu on siis 9 oikein 11 täysinvaihdellusta kohteesta. Ja minun "haravani" takaa siis varmojen pitäessä niin ikään vähintään maksimi-2 oikein tuloksen!
24. Matti25.3.2010 klo 21:51
No jopas! Täytyy vähän paremmalla ajalla tavailla, että mistä on kysymys.
25. Olavi Kivalo26.3.2010 klo 21:23
Kun ympyrän keskipistettä siirtää pois tasakylkisen kolmion kärjestä, voidaan saada karevuussäteeltään erilaisia ympyränkaaria, jotka ovat lyhyempiä kuin suora, mutta kaikki pidempiä kuin se ympyränkaari, mikä on saatu edellä.
26. Matti26.3.2010 klo 22:04
Tänään ilmestyi T&T:ssä ongelman ratkaisu, ja aivan mainio todistus sille, että ympyränkaari on todella lyhyin kolmion puolittava reitti. Löytyy T&T:n sivuilta.
27. Jaska26.3.2010 klo 23:10
Katsoin sen, mutta en ymmärrä sitä kuviteltua kahdeksan kertaa hypotenuusan ympäri kääntämistä. Vielä vähemmän ymmärrän lehden tasasivuista suorakulmaista kolmiota. Tarkoittaako se, että tasasivuinen kolmio jaetaan ensin kahteen suorakulmaiseen kolmioon, ja operoidaan sitten sillä puolikkaalla?Uusi tehtävä - mistä reportteri tiesi, ettei ole alkuluku - on minulle sitä vastoin selvä kuin pläkki. Paitsi ratkaisun osalta!
28. Jaska26.3.2010 klo 23:23
No ymmärsinhän heti kun halusin ymmärtää. 8*45 astetta = 360 astetta. Lehti tarkoittaakin tasakylkistä suorakulmaista kolmiota, jonka hypotenuusan viereiset kulmat ovat siis 45 astetta. En äsken muistanut, että Matti jo mainitsi asiasta. Mutta sopii ihmetellä, miksi töppäys toistuu ratkaisussa. Onhan tuosta jonkun täytynyt lehdelle huomauttaa.
29. Olavi Kivalo27.3.2010 klo 10:16
Tämä juttu menee näin. Palstanpitäjä luki, mitä täällä asiasta sanotaan ja huomasi, että olin kutsunut kolmiota tasasivuiseksi, ja korjasi asian sitten seuraavassa lehdessä.
30. Jaska27.3.2010 klo 13:45
Eilisessä lehdessä ratkaisun yhteydessä oli kuitenkin tasasivuinen.
31. Jaska27.3.2010 klo 13:46
Siis netissä.
32. Matti27.3.2010 klo 16:20
T&T:n pulmia pitää lukea mielikuvituksella ja anteeksiannolla, jos haluaa ymmärtää, mistä on kyse.Minua vähän harmittavat ne naivit ja typerät kehyskertomukset, joihin T&T istuttaa pulmat. Sitäpaitsi usein siinä prosessissa mennään railakkaasti metsään. Vika on siinä, että palstanpitäjä ei välillä ymmärrä sen enempää pulmaa kuin ratkaisuakaan.
33. Olavi Kivalo27.3.2010 klo 20:40
Näkeekö sen jotenkin suoraan, ettei 2438100000001 ole alkuluku? Pähkinässä sanottiin, että reportteri mietti hetkisen. Siis käyttikö lainkaan kynää ja paperia?Jos käytti ja koska aikaa oli rutkasti, niin jakoi luvun n:llä (n=2,3,4,...) kunnes jako meni tasan. Ja se menee tasan jo kun n=73. Ja aikaa kului hetkinen.
34. Olavi Kivalo27.3.2010 klo 20:58
Tuo edellinen viesti pääsi liikkeellle vahingossa. Piti sanomani, että jakoi alkuluvuilla (n=2,3,4,...), jolloin jakolaskuja ei tarvita kuin 21.
35. Juhani Heino27.3.2010 klo 21:04
Ehkä reportteri oli tällainen sankari: ensin hän huomasi että 2438100000001 on muotoa 300^5+300^4+1.Sitten hän huomasi että x^5+x^4+1 = (x^3-x+1)(x^2+x+1).
Miten tuon jälkimmäisen pystyy hahmottamaan? Tein näin:
110001 eli luku joka tulee kun x=10.
Se on 111111 - 1110 eli 111*(1001-10). Näistä eka on x^2+x+1 ja toka x^3-x+1.
36. Matti28.3.2010 klo 15:49
On tuo Juhani aika fakiiri. Ei voi kuin ihmetellä.
37. Jaska28.3.2010 klo 20:08
Sankarireportteri oli luonnollisesti perehtynyt hyvin myös jaollisuussääntöihin. Etenkin vain yhtä numeromerkkiä sisältävien pötköjen jaollisuus kiehtoi häntä. Niistä eniten ysit, koska hänellä oli niitä spettarissakin paljon.Niinpä hän muisti suoralta kädeltä, että luku 99999999 oli jaollinen 73:lla: 3*3*11*73*101*137. Jos näistä alkutekijöistä löytyy pyj luvulle 2438000000002, sitä 99999999 suurempi alkuperäinen luku on myös sillä jaollinen.
Hän näki luonnollisesti suoralta kädeltä, että 3 ja 11 eivät tule kyseeseen. Piti siis tsekata ensimmäiseksi 73. Nopea päässälasku antoi osamääräksi 33397260274. Alkuperäinen luku on siis myös 73:lla jaollinen.
Ilmiömäinen sankaripäässälaskurireportteri todisti siis vain yhdellä jakolaskulla, että luku 2438100000001 ei ole alkuluku. Minä varmuuden vuoksi tuon ysipötkön kyllä katsoin parhaaksi tsekata.
38. Matti4.4.2010 klo 22:47
T&T:n tuoreimmassa pulmassa oli puolisuunnikas, jolle oli piirretty molemmat diagonaalit, jolloin puolisuunnikas tuli jaetuksi neljään kolmioon. Toinen kahdesta puolisuunnikkaan yhdensuuntaisesta sivusta kuului kolmioon, jonka pinta-ala oli A, ja toinen kolmioon, jonka pinta-ala oli B. Kysyttiin puolisuunnikkaan pinta-alaa.Ajattelion ensin, että tämä on ihan palikka, jotain 2A+2B, tai jotain vastaavaa. Vaan eipäs ollutkaan. Tehtävä oli ei-triviaali ja lopputulos yllättävä, ja perin elegantti. Se oli erään binomin neliö. Mielestäni hieno geometriantehtävä.
39. nassakka5.4.2010 klo 12:59
Jep. Aikansa kun pyöritteli, niin tuntemattomat häipyivät. Sain (sqr(A)+sqr(B))^2 .
Toisin ilmaistuna A+2*sqr(AB) +B .
Hieno oli tehtävä.
40. nassakka5.4.2010 klo 13:16
Kevään 1974 pitkän matematiikan ylioppilastehtävänä oli edellisen "sukulaistehtävä":Suora L kulkee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta ja on yhdensuuntaisten sivujen a j b suuntainen. Laske L:stä puolisuunnikkaan sisälle jäävän janan pituus.
41. Jaska5.4.2010 klo 22:08
Siis sqr(a) + sqr(b)
42. Jaska5.4.2010 klo 22:43
Voi ei. Siis po. sqr(a) * (sqr(b)
43. Matti5.4.2010 klo 22:57
Mäkin arvasin heti, osin edellisen pulman johdattamana, että kysytty janan pituus l=sqr(ab), siis keskiverto. Siinä dimensiot stemmaavat, ja myös reuna-arvot: kun b=0 on l=0. ja kun b=a, on l=a.Mutta väärin arvattu, osoittautui, että l=2ab/(a+b). Taas dimensiot stemmaavat, samoin kuin reuna-arvotkin. Buu.
44. Jaska5.4.2010 klo 23:13
Pieleen siis meni lyhytmatikkalaisen yritys. Se olisikin ollut liian helppo keskiverrolla.
45. Antti28.4.2010 klo 07:29
Ehkä jatketaan nassakan 5.4.2010 klo 13:16 antamasta asetelmasta:Suora L kulkee puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspisteen kautta ja on yhdensuuntaisten sivujen a j b suuntainen. Laske L:stä puolisuunnikkaan sisälle jäävän janan pituus.
Kysyn: Mihin suhteeseen L jakaa puolisuunnikkaan alan?
46. Matti28.4.2010 klo 22:36
Jonkinlaisella väännöllä sain suhteeksiS = (a^3+3a^2b)/(3ab^2+b^3)
Ainakin se täyttää uskottavuusehdot: kun a=b on S=1, ja kun a=0 on S=0. Se on myös sopivan symmetrinen a:n ja B:n suhteen. Mutta liekö myös oikein? Ja mitenkähän sen fiksusti laskisi, niin ettei menisi montaa A4-vihkon sivua.
47. Jaska28.4.2010 klo 22:58
Parin minsan syynäilyllä en tajua mitään Matin kaavasta. En siis voi olla mitään mieltä sen oikeellisuudesta. Eikö sitä voi laskea olettaen myös L:n tunnetuksi?
48. Juhani Heino28.4.2010 klo 23:50
Mä sain pienellä pyörittelyllä tällaiset. En jaksa nyt tarkistaa. Perustuu siihen että kun leikkauspiste jakaa korkeuden osiin c ja d:a/(a+b) = c/(c+d)
Näissä a:n puoleinen osa on eka kaava ja b:n puoleinen osa toka:
(a+a+a/(a+b)*(b-a))a/(a+b)*h/2
(a+a/(a+b)*(b-a)+b)b/(a+b)*h/2
Kun haetaan vain keskinäistä suhdetta, supistuu:
(a+a+a/(a+b)*(b-a))a
(a+a/(a+b)*(b-a)+b)b
2a²+(a²b-a³)/(a+b)
ab+b²+(ab²-a²b)/(a+b)
49. Matti29.4.2010 klo 00:06
Jaska, a kolmanteen plus kolme a toiseen b per kolme a b toiseen plus b kolmanteen. (Miten Juhani Heino vääntää noi pienifonttiset potenssit?)
50. Matti29.4.2010 klo 00:12
Näkyy Juhani Heino päätyneen samaan tulokseen.
51. Juhani Heino29.4.2010 klo 00:23
Käytän Linuxin gedit-ohjelmaa, siinä potenssi tulee kun otetaan ensin sirkumfleksi eli shift ja å:n oikealla puolella oleva nappi, sitten heti 2 tai 3. Isommille potensseille ei löydy ko. merkkiä vaan ne täytyy laittaa perinteisesti sirkumfleksin kanssa.
52. Jaska29.4.2010 klo 00:28
Matti, kyllä minä merkintäsi ymmärsin, mutta en sitä, miksi niin on. Juhanin selitys upposi jotenkuten. Ratkaisunne ovat siis oikeat, kuten kai seuraavakin, vaiko eikö.½c(L+a) / ½d(L+b)
53. Matti29.4.2010 klo 01:06
Onhan tuo oikein. Mutta siinä ei ole vielä mitään laskettu, on vain kirjoitettu ylemmän ja alemman puolisuunnikkaan pinta-alojen suhde. L:lle voidaan sijoittaa ylempänä saatu tulos L=2ab/(a+b), mutta korkeudet c ja d kyllä pitää ilmaista a:n ja b:n avulla.Juhani Heino, taidanpa pitäytyä vanhassa kömpelömmässä notaatiossa.
54. nassakka29.4.2010 klo 07:03
Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde = mittakaavan neliö.Mittakaava= vastinosien suhde. Esim. a/[2ab/(a+b)].
Alojen suhde= {a/[2ab/(a+b)]}^2 =(a+b)/4b^2.
Oisko tuossa mitään järkeä ?
55. Antti29.4.2010 klo 07:55
Täydentämmällä puolisuunnikas kolmioksi sain kolmen yhdenmuotoisen kolmion alan tarkastelulla seuraavan tuloksen, joka antaa saman kuin Juhani Heinon kahden luvun suhde. 1. Jos a=b, suhde on 1:1
2. Muutoin suhde on
(a/b)^2 * (a^2+2ab-3b^2)/(3a^2-2ab-b^2)
56. nassakka29.4.2010 klo 08:05
Piti olla (a+b)^2/4b^2.
57. Antti29.4.2010 klo 09:03
Nassakan mainitsemaa tietoa käytin. Viimeksi mainitsemansa suhde on kolmesta yhdenmuotoisesta kolmiosta suurimman ja pienimmän tai pienimmän ja suurimman alan suhde.
58. Jukkis29.4.2010 klo 09:25
Tällainen lukujonoprobleemi:Täällä
_http://drzf55.hostei.com/probl1.gif
olevassa kuvassa asiat on siltä miltä ne näyttääkin.
Eli: Toiseksi isoimman ympyrän halkaisija ja kolmion (joka on tasakylkinen) kanta yhtyvät ison ympyrän halkaisijaan. Kolmion vasen alanurkka on toiseksi isoimmman ympyrän kehällä, oikea alanurkka ison ympyrän kehällä. Iso ympyrä ja toiseksi isoin ympyrä sivuaa toisiaan. Pienin ympyrä sivuaa kaikkia kolmea muuta kuviota.
Osoita että pienen ympyrän keskipisteestä kolmion vasempaan alanurkkaan piirretty viiva on kohtisuorassa ison ympyrän halkaisijaa vastaan.
(Vaikea on, en osannut. Mutta ihan kiintoisa, jos tällainen geometrian pähkäily kiinnostaa.)
59. Matti29.4.2010 klo 13:28
nassakka, puolisuunnikkaan osapuolisuunnikkaat eivät ole yhdenmuotoiset. Kanta per kanta ei ole sama kuin korkeus per korkeus. Jos tuossa sijoitetaan a=0, saadaan suhteeksi 1/4, vaikka pitäisi saada 0.Vaikka Antti käyttikin nassakan mainitsemaa tietoa, hänen tuloksensa voidaan sieventää (jos kohta se vaatii tempun) muotoon (a^3+3(a^2)b)/(3a(b^2)+b^3). Juhani Heinon lauseke sievenee samaksi, ja se oli myös oma vastaukseni.
60. Matti29.4.2010 klo 14:02
Ratkaisu on hauskan näköinen, se on lausekkeen (a+b)^3 kaksi ensimmäistä termiä per kaksi viimeistä termiä.
61. nassakka29.4.2010 klo 14:13
Matille kiitokset ! Noinhan se tietysti on. Epäilinkin jotain virhettä päätelmässäni, koska eri tavalla muodostetut suhteet johtivat ristiriitaan.
62. Matti29.4.2010 klo 20:46
Varttuneemmilta kansalaisilta voi kysyä: mitä tuo mieleen luku 10800?
63. Jaska29.4.2010 klo 21:26
Tuli mieleen ensimmäinen Finlandia-ajo jonka voitti ranskalaisori Ejaqval. Siitä on 10800 päivää.
64. Matti30.4.2010 klo 01:17
Älä peijakas! Mutta en tarkoittanut sitä. Neljän pisteen vihje: tämä luku oli aktuelli ennen taskulaskinten aikaa.
65. Matti30.4.2010 klo 01:36
Jukkiksen geometriaongelmaa kävin tuijottamaan. Geometrinen tarkastelu ja päättely ja funtsaaminen ei johtanut puusta pitkään, joten aloin mättää kuvaan koordinaatteja ja säteitä ja etäisyyksiä.Kolme tuntematonta: pienimmän ympyrän x- ja y-koordinaatit sekä sen säde. Kolme yhtälöä: pienimmän ympyrän keskipisteen etäisyys isoimman ympyrän kehästä on pikkuympyrän säde, keskipisteen etäisyys keskisuuren ympyrän kehästä on pikkuympyrän säde, ja keskipisteen etäisyys tasakylkisen kolmion kyljestä on pikkuympyrän säde.
Kolme yhtälöä, joista pikkuympyrän säteen sai eliminoitua. Jäljelle jäi kaksi yhtälöä, joissa tuntemattomina olivat pikkuympyrän keskipisteen koordinaatit. Yhtälöt olivat kokolailla kammottavia, eikä niiden ratkaisusta voinut olla puhettakaan. Mutta kun yhtälöihin sijoitti koordinaatit sillä oletuksella, että kohtisuoruusehto toteutuu, niin eikös, piruvie, ne molemmat toteutuneet. Viisi sivua A4-vihkosta.
Tämä ei siis ollut hengen voitto aineesta, vaan aineen voitto hengestä.
66. Matti30.4.2010 klo 13:51
Logaritmitaulujen viimeinen numero oli 10 800. Idea oli tehdä taulut luvuille 1 - 10 000, mutta kun haluttiin saada viimeinen sivu täyteen, niin jatkettiin tuohon 10 800 saakka.Logaritmitaulut ovat varmaan tuiki tuntemattomia nykypolvelle. Ja näin vaan kävi, että samalla hetkellä kun funktiolaskimet ilmestyivät, sekä logaritmitaulut että laskutikut kävivät tarpeettomiksi. Työpaikallani kirjahylly keikkui, kun lattia oli epätasainen. Tungin viimeisen laskutikkuni keikkuvan jalan alle ja vot, homma toimi taas.
Mutta pieni nostalgia jäi laskutikkuihin. Ne olivat komeita ja sympaattisia kapistuksia.
67. nassakka30.4.2010 klo 18:26
Vapun kunniaksi päässälaskutehtävä, joka ratkennee vaikka selvin päin.Asetetaan pöydälle kolme noppaa päällekkäin. Näkyvissä olevien sivujen silmälukujen summa on 45. Mikä on päällimmäisen nopan piilossa olevan sivun silmäluku ?
Tehtävä oli peruskoulun valtakunnallisessa kokeessa 2009.
68. Matias-Myyrä30.4.2010 klo 18:31
Nelonen on piilossa.
69. Jaska30.4.2010 klo 19:47
Onko siis peruskoulun matikan kirjoissa opetettu noppien silmälukusääntö? Vai katsotaanko, että oppilaan pitää se ilman muuta tietää?
70. nassakka30.4.2010 klo 20:28
Jaskalle: Kyllä ko. silmälukusääntö oli ko. kokeessa annettu. Luontaisesta laiskuudestani johtuen en viitsinyt sitä edellä kirjoittaa.Kovin tarkkaan en peruskoulun vaatimuksista tiedä,mutta ainakin sen olen kuullut, että summan ja erotuksen tuloa kuten myöskään binomin neliötä ei peruskoulussa käsitellä. Niin, Matias-Myyrän vastaus on tietysti oikein.
Sypäkkää Vappua !
71. Matti1.5.2010 klo 03:03
Juma, hei, tuohan on vaikea. Vastakkaisten sivujen silmälukujen summa on 7. Yritänpä huomenna (taikka siis myöhemmin tänään) todentaa Matias-Myyrän nelosen. Nyt ei ihan reuhaa.
72. Jaska1.5.2010 klo 11:05
Reuhaa Nykäsessä = riehua, elämöidä, mellastaa, räyhätä. Mutta se oli siis Matilla vain sillä hilkulla. Tosimeininki alkaa vasta, kun Matti keksii ratkaisun:)
73. Matti1.5.2010 klo 13:01
No eipä se nyt, kirkkaassa päivänvalossa, niin vaikea ollutkaan.
74. Matti4.5.2010 klo 19:22
T&T:ssä oli taas kiva pikkutehtävä. Kellon minuuttiviisari on kaksi kertaa niin pitkä kuin tuntiviisari. Paljonko kello on, kun viisarien kärjet loittonevat toisistaan maksiminopeudella?
75. Matti4.5.2010 klo 19:24
Vastaus ei ole yksikäsitteinen, vaan tilanne toistuu runsaan tunnin välein.
76. Matti4.5.2010 klo 22:42
Myös tuon maksiminopeuden voi laskea. Sain tulokseksi 6,0214 m/h, kun minuuttiviisarin pituus on 1m.
77. Jaska4.5.2010 klo 23:33
Matin tulos on siis minuttiviisarin ja tuntiviisarin tuntinopeuksien erotus.Ei oikein hyvä kysymys, jos minun pähkäilyni sattuisi osumaan oikeaan. Sekä loittonemis- että etenemisnopeus on mielestäni suurimillaan just ennen ja jälkeen sen pisteen, jossa kärjet ovat lähimpänä toisiaan eli 00:00, 1:05 jne. Nämä kellonajat olisivat kuitenkin väärä vastaus, koska juuri sillä siunaamalla hetkellä sekä loittonemisen että lähenemisen nopeus on 0. Olettaen tietysti että viisarit etenevät tasaisella nopeudellaan ilman pysähdyksiä ja nykäyksiä.
78. Matti5.5.2010 klo 00:19
Sorry, mokasin. Vastaukseni onkin 2,8798 m/h.
79. Jaska5.5.2010 klo 00:22
Korjaus: NOIN 1:05, ja sitten vielä enemmän noin 2:10 jne., koska lähimmillään ei 24, vaan 22 kertaa vuorokaudessa.
80. Matti5.5.2010 klo 00:22
Mielestäni maksimiloittonemisnopeus saavutetaan, kun viisarien kärkien yhdysjana on kohtisuorassa tuntiviisarin kanssa, siis kun kello on esim. 22:00. Annoin lukuarvon siksi, että siitä on hyvä tsekata, löytyykö suurempikin nopeus.
81. Jaska5.5.2010 klo 01:05
Noinhan se taitaakin olla. Siinä tapauksessa kysymyksen muotoilussa ei ole mitään vikaa. Olisi ollut muuten ihan lälläri Newtonille, kun planeettojenkaan lähentymiset ja loitontumiset eivät tuottaneet ongelmia. Tai ehkä ensteks, mutta ratkaisut kuitenkin löytyivät.
82. Jaska5.5.2010 klo 13:09
Nyt päivänvalossa tuli mieleen, että kysymyksen muotoilu ei stemmaa myöskään Matin esimerkin kanssa. Siinähän viisarien pituudet on annettu, TT:n tehtävässä ei. Kysytty kellonaikahan riippuu Matilla tuntiviisarin pituudesta.
83. Matti5.5.2010 klo 18:06
Tuntiviisarin pituus on edelleen puolet minuuttiviisarin vastaavasta.
84. Jaska6.5.2010 klo 13:08
Joopa joo, olihan se puolet mainittu TT:n tehtävässä. Erityistapaus siis kyseessä. Aatos hämärtyi päivänvalossa, ja se on osin Matin nopeuslaskelman syy. Nopeushan riippuu viisarien pituudesta. Takaraivossa kangastihe yleinen ratkaisu, jonka haastankin Matin tai muun minua tottuneemman laskijan esittämään täällä:Kellon tuntiosoittimen pituus on t ja minuuttiosoittimen m. Mikä on osoittimien välisen kulman asteluku, kun osoittimien kärkien etääntymisnopeus on maksimissaan?
85. Matti6.5.2010 klo 15:01
arccos(t/m)
86. Jaska6.5.2010 klo 21:26
Hyvin on Matilla trigonometrian laskut hallussa!
87. Jukkis6.5.2010 klo 21:38
Entä jos tuntiviisari on minuuttiviisaria pidempi?
88. Matti7.5.2010 klo 00:31
Silloin kulma on arccos(m/t). Jos ovat yhtäpitkät, kulma on nolla ja viisarit päällekkäin. Näinhän kuuluukin olla maksimiloittoamisnopeuden kyseesssä ollen.Tässä ei ole mitään laskemista. Maksiminopeuden tilanteessa viisarit ja niiden kärkien yhdysjana muodostavat suorakulmaisen kolmion, jonka hypotenuusa on minuuttiviisari. Tulos voidaan lukea suoraan.
89. Antti13.5.2010 klo 12:32
Vaihtelevien ja vaikeitten kysymysten lomassa voi ratkaista helpon, vain vähän aikaa vievän lukujonokysymyksen:0, 2, 18, 4, 100, 6, 294, 8, 648, 10, ?
90. nassakka13.5.2010 klo 13:41
10* 11^2 = 1210
91. Antti13.5.2010 klo 14:42
Nassakan selvittämänä pitänemme asiaa.
92. Antti20.5.2010 klo 05:52
343, 27, 1, 1, 27, 343, 2197, 9261, 29791, ?
93. Matti20.5.2010 klo 13:41
79507
94. Antti20.5.2010 klo 15:23
Oikein, Matti. Jos ei ole liikaa pyydetty, pyydän kertomaan, kuinka ratkaisun llöysit.
95. APUA !20.5.2010 klo 16:05
UU loppuisia sanoja, mutta ei teonsanoja. Onko olemassa kyseistä ketjua ?
96. Matti20.5.2010 klo 16:35
Antti, peräkkäiset erotukset pajastivat, että kyseessä on eräs kuudennen asteen polynomi. Erotuskaaviota jatkamalla sain seuraavan luvun. Itse polynomia, siis sen kertoimia, en ole laskenut. Voit siis hyvin paljastaa.
97. Jaska20.5.2010 klo 18:59
7, 3, 1, 1, 3, 7, 13, 21, 31, 43 ovat Antin jonon kuutiojuuret, joiden erotusjono +2 on helpommin havaittavissa. Ykkösestä oikealle eritukset siis 2, 4, 6, 8, 10 jne. Voisi luulla, että jono jatkuu myös ykkösistä vasemmalle samalla periaatteella. Onko kyseessä siinä tapauksessa vain ratkaisun hokaamisen vaikeuttaminen? Vai määrääkö se eräs kuudennen asteen polynomi, että jonon eka numero on nimenomaan 343, siis luvut pienenevät ennen kuin alkavat suureta? Pienenevätkö ne vielä uudelleenkin?
98. Jukkis20.5.2010 klo 19:13
APUA:lle: UU-loppuisia sanoja löytyy Ristikkorengillä_http://www.ristikkorenki.net/
laittamalla hakusanaksi *UU.
99. Jukkis20.5.2010 klo 20:13
KIITOS
100. Matti20.5.2010 klo 20:46
Tuosta Jaskan havainnosta voidaan edetä ja todeta, että Antin jono onA(n) = (n^2 - n + 1)^3,
kun A(0)=1 ja A(1)=1
Sulkujen sisältö on symmetrinen pisteen n=½ suhteen, ja samoin on sen kolmas potenssi. Jono on sama eteen- ja taaksepäin.
101. Matti20.5.2010 klo 21:11
Antti, miten päädyit antamaasi jonoon?
102. Antti21.5.2010 klo 07:06
Pohjana oli peräkkäisten positiivisten kokonaislukujen kuutioitten jono. Siitä poimin lukuja siten, että i:s (i=1, 2, 3, ...) poimittava on kuutioitten jonossa se, jonka järjestysluku on i^2-7*i+13.Näin kuutioitten jonosta poimittavaksi tuli 7., 3., 1,. 1., 3., 7., 13., 21. 31. 43. 57., ... luku.
Arvasinkin, että löydätte muita samaan tulokseen johtavia tapoja. Siksi Matin tapaa kysyinkin. Matin A(n)-jonossa (n=1, 2, 3, ...) pitää olla
A(n)=((n-3)^2-n+4)^3
103. Matti23.5.2010 klo 12:01
Uusimmassa T&T:ssä oli aika mukava geometriantehtävä: neliön sisään on piirrettävä mahdollisimman suuri puoliympyrä. Mikä on sen säde suhteessa neliön sivuun?Edellinenkin tehtävä koski geometriaa. Pisteet A, B ja C ovat tasasivuisen kolmion kärkipisteet. Pisteen D etäisyys A:sta on 3 ja B:stä 4. Kuinka pitkä voi maksimissaan olla D:n etäisyys C:stä. Pari iltaa asiaa pohdin, mutta ratkaisematta se jäi. Vastaus löytyy T&T:n sivuilta tekniikkatalous.fi. (Vastaus on 3 + 4 = 7.)
104. Jaska23.5.2010 klo 13:35
Arvaus: ½sqr1,25/1. Ei ainakaan vähemmän...
105. Matti23.5.2010 klo 15:15
Mun isoin on 2/(2+sqr2), noin 0,5858. Puoliympyrä on siinä symmetrisesti neliön diagonaalin suhteen.
106. Jukkis23.5.2010 klo 19:18
Oonko minä ainoa, joka ei ymmärrä, mikä tuon ykkösellä jakamisen tarkoitus on tuossa Jaskan kaavassa?
107. Jaska23.5.2010 klo 19:30
Jukkis, en minä vaan tiedä.
108. Matti23.5.2010 klo 20:00
Muotoilin kysymyksen niin, että mikä on puoliympyrän säde suhteessa neliön sivuun. Se ykkönen on suhteen toinen osapuoli (ja ½sqr1,25 toinen), näin sen ainakin tulkitsin aikani ensin ihmeteltyäni.
109. Jaska23.5.2010 klo 20:22
Just niin. Suhteeseen tarvitaan kaksi. Jos olisin jättänyt neliön sivun suhteen ulkopuolelle, se olisi oikeutetusti voinut syyttää minua syrjinnästä.
110. Olavi Kivalo24.5.2010 klo 11:17
Mikähän sen toisen juuren eli r=2+Sqrt[2] geometrinen selitys mahtaisi olla?
111. Jaska24.5.2010 klo 14:30
Tsekkasin Matin ratkaisun ja oikeaksi totesin. Mittasin neliön lävistäjän ja merkkasin mahdollisimman tarkasti pisteen, joka jakaa sen kahteen osaan Matin suhteessa 0,5858/0,4142. Pisteestä ristikkäisen lävistäjän kanssa yhdensuuntainen suora neliön sivua vasten on haetun maksimaalisen puoliympyrän säde. Pisteitä on siis neljä symmetriassa neliön lävistäjien keskipisteen suhteen.Matti selittänee varsinaisen geometrisen ratkaisun, jonka käsittääkseni täytyy onnistua pelkästään harpin ja viivoittimen avulla.
112. Olavi Kivalo24.5.2010 klo 14:44
Säde on yhtälön 2(x-r)^2 = r^2 ratkaisu. Ratkaisu on r1 = (2+Sqrt[2])x, r2= (2-Sqrt[2])x, jossa x on neliön sivu.
113. Jaska24.5.2010 klo 16:59
Vielä se geometrinen ratkaisu: Neliön lävistäjä on AB. Piirretään A:sta ympyränkaari säteenä neliön sivu, joka leikkaa AB:n pisteessä C. Piirretään C:stä ympyränkaari säteenä CB. Se leikkaa lävistäjän pisteessä D. AD = vaaditun puoliympyrän säde ja D sen keskipiste.
114. Matti24.5.2010 klo 22:09
Oma vastaukseni on puoliympyrä, joka kanta on neliön diagonaalin suuntainen, ja säde niin suuri, että puoliympyrän halkaisijan päätepisteet ovat neliön sivuilla, ja se sivuaa kahta neliön vierekkäistä sivua. Katselemalla kantaa vastaan kohtisuoraa diagonaalia voidaan suoraan kirjoittaa yhtälö Rsqr2 + R = sqr2, kun puoliympyrän säde on R ja neliön sivu 1.En tiedä, onko tämä suurin, minulla ei ole todistusta. Kokeilin myös toista lupaavaa asetelmaa, mutta se antoi pienemmän puoliympyrän. (Siinä yhtälöä ei voinut kirjoittaa suoraan. vaan lopuksi paperilla oli neljännen asteen yhtälö, jolle Excelillä sai helposti relevantin juuren likiarvon.)
En myöskään tiedä, miten oma kandidaattini piirrettäisiin viivottimella ja harpilla, tai onko se edes mahdollista. Ymmärsin T&T:n tehtävänannosta, että sitä ei kysytty.
115. Jaska24.5.2010 klo 22:40
Matti, eikö tuo minun konstruktioni kaavasta sqr2 - 2(sqr2 - 1) kelpaa. Sama asia, sama tulos.
116. Jaska24.5.2010 klo 22:44
P.S. Katso myös 14:30. Kyllä tämä sinun (ja OK:n) puoliympyrä on suurin mahdollinen.
117. Matti25.5.2010 klo 00:16
Jaska, aivan samaan päädyit näköjään sinäkin, R=0,5858, nyt sen vasta hoksasin. Kovinkin erilaiset neliöjuurilausekkeet saattavatkin olla samoja. Pitää huomenna miettiä sinun konstruktiotasi lisää.
118. Matti25.5.2010 klo 21:27
Säteen lauseke yksinkertaistuu vielä: R = 2 - sqr2. Näin ollen puoliympyrä on helppo konstruoida viivotinta ja harppia käyttäen. Piirretään ensin kaksi kertaa neliön sivun pituinen jana, ja vähennetään siitä neliön diagonaali. Niin meillä on säde käytettävissä. Jatkokin on helppo.Mutta mistä Jaska tempaisit konstruktiosi? Se täysin rabbit-from-a-hat -juttu.
119. Jaska25.5.2010 klo 23:25
Olin kylläkin paljain päin. Helppohan tuo oli päätellä, kun kerran itse sanoit, että kanta pitää olla diagonaalin suuntainen jne. eli puoliympyrä on symmetrinen diagonaalin suhteen. Kannan keskipisteen pitää olla siis diagonaalilla. Vierelläisten sivujen sivuaminen riittää muuten todistukseksi maksimikoosta. Jos pohja olisi pitempi, puoliympyrä ei voisi olla kokonaan neliön sisällä.
120. Jaska25.5.2010 klo 23:27
(vierelläiset k ja l menevät minulla usein sekaisin)
121. Matti25.5.2010 klo 23:45
OK. Mutta löysin aika lupaavan kandidaatin, jossa kanta ei ollutkaan diagonaalin suuntainen. Se ei kuitenkaan pärjännyt. Mutta kukaties vielä on jokin uusi vaihtoehto. Tai sitten ei.
122. Olavi Kivalo26.5.2010 klo 09:52
Tämä Jaskan puhtaasti geometrinen ratkaisutapa ihmetyttää vielä. Siinä lähdetään liikkeelle kahdesta apuympyrästä. Ensin piiretään iso ympyrä neliön sivu säteenä ja kulma A keskipisteeenä. Se leikkaa diagonaalin AB pisteessä C. Sitten piiretään pieni apuympyrä C keskipisteenä ja säteenä CB. Tämä leikkaa diagonaalin pisteessä D. Mistä idea näistä apuympyröistä tulee? Onko ratkaisu arvaus, intuitio vai jotain nerokasta?Jaskan CB on Sqrt[2]-1 (neliön lävistäjä miinus sen sivu), josta seuraa, että AD on 2-Sqrt[2] (lävistäjä miinus pienen apuympyrän halkaisija DB). Tästä ei mielestäni ilmiselvästi seuraa, että D olisi etsityn puoliympyrän keskipiste vaikka se sitä onkin.
Laskennallisesti D:n sijainti ja puoliympyrän säde r saadaan yksinkertaisesti vaatimalla, että D:n etäisyys A:sta (eli r) on sen neliön halkaisija, jonka sivu on 1-r. Tällöin saadaan r = 2-Sqrt[2] (ja laskutavasta riippuen myös r = 2+Sqrt[2]).
123. Jaska26.5.2010 klo 13:45
En nyt oikein tajua OK:n ihmettelyä konstruktiosta, jonka selitin toissapäivänä 22:40. Minullahan oli sitä ennen jo Matin kaava ja tulos tiedossa. Se oli siis toisen laskeman tuloksen hyväksikäyttöä.
124. Olavi Kivalo26.5.2010 klo 15:50
No luinpa pinnallisesti. Ei siis ollut nerokas, ei intuitiivinen eikä arvauskaan. Oli hyväksikäyttö. (Ei kai Matti ole alaikäinen?)
125. Matti26.5.2010 klo 19:53
OK, olen eläkkeellä, ja hyvää vauhtia muuttumassa lapseksi jällleen.
126. Olavi Kivalo27.5.2010 klo 09:17
Yhtälön 2(1-r)^2=r^2 toinen juuri r = 2+Sqrt[2] määrittelee puoliympyrän, joka on kokonaan neliön ulkopuolella siten, että sen kaari sivuaa neliön kärkeä ja sen sivun jatkeita.
127. Olavi Kivalo29.5.2010 klo 09:25
Mainitaan vielä, että puoliympyrä, jonka säde on r = 2+Sqrt[2], on suurin puoliympyrä neliössä, jonka sivu on 3+Sqrt[2]. Eiköhän tämä kompa liene tällä tullut jo käsitellyksi.
128. Jaska29.5.2010 klo 12:56
Tulkitsen OK:n kaavan, että puoliympyrän säde on 2 + neliöjuuri kahdesta = kolmella desimaalilla 3,414, ja että neliön sivu on 3 + neliöjuuri kahdesta = kolmella desimaalilla 4,414. Tällöin neliön lävistäjä on kolmella desimaalilla 6,243. Kyseinen puoliympyrä ei voi olla kokonaisuudessaan neliön sisällä, koska sen säde on suurempi kuin puolet neliön lävistäjästä. Sen pitäisi olla pienempi.Olenko siis käsittänyt kaavan väärin, vai tarkoittaakko "neliössä" jotain muuta kuin kokonaan neliön sisällä?
129. Olavi Kivalo29.5.2010 klo 15:55
Ei se ollutkaan vielä loppuun käsitelty kiitos kirjoitusvirheen. Neliön sivu on 3+2Sqrt[2].(2-Sqrt[2])/1 = (2+Sqrt[2]]/(3+2Sqrt[2]).
130. Olavi Kivalo30.5.2010 klo 11:11
Kuinka lukujonota(n) = 1, 3, 17, 99, 577, 3363, ...
b(n) = 0, 2, 12, 70, 408, 2378, ...
liittyvät edelliseen kompaan?
131. Matti6.6.2010 klo 21:15
Taas T&T onnistui mählimään. Uusin pulma on vanha tuttu: Teräspallon keskelle porataan läpireikä, jonka aiheuttaman sylinteripinnan korkeus on 10 cm. Kysytään jäljelle jäävän "toruksen" painoa, kun alkuperäinen pallo painoi5 kg.
Arvolla 5 kg ei ole tässä mitään virkaa. Sen sijaan teräspallon tiheyttä tarvittaisiin. No sen voi tietysti katsoa Tekniikan käsikirjasta, mutta voisi sen antaakin. Tai kysyä pelkästään "toruksen" tilavuutta.
Tilavuuden laskeminen on sinänsä mukavaa vanhan kertausta. Mutta tehtävään sisältyy juju, joka tekee kaikki integroinnit tarpeettomiksi. Siitä varmaan saamme lukea myöhemmin lisää.
132. Jaska6.6.2010 klo 22:42
Mahdoton ratkaistava, vai olenko itse mahdoton? En ole edes varma, mitä se sylinteripinnan korkeus tarkoittaa. Arvaan, että se on yhtä kuin teräspallon läpimitta miinus poranterän paksuudesta määritettävien kalottien korkeus. Jos näin on, täytyy poranterän paksuuden olla annettu.Jos taas ko. korkeus tarkoittaa poranterän paksuutta, niin pallon akselin pituus on yli 10 cm. Olisi aika kevyttä terästä, jos pallo painaa vain 5 kg. "Toruksesta" tulisi varsin ohut rengas. En myöskään tajua, miten Tekniikan käsikirjasta sen tarvittavan tiheyden saisi ilman pallon ainekoostumuksen tarkkoja suhteita?
Olavi Kivalo voisi kaiketi ilmoittaa oman tehtävänsä ratkaisun. En keksinyt muuta kuin lähenemisen kohti neliöjuuri kahta. Matti ei lie miettinyt tätä tehtävää lainkaan?
133. Matti7.6.2010 klo 00:49
Sylinteripinnan korkeus tarkoittaa juuri teräspallon läpimittaa miinus kalottien korkeus. Jos merkkaa pallon säteeksi R ja sylinteripinnan korkeudeksi 2h, ja laskee toruksen tilavuuden, yllättyy huomatessaan, että tilavuus ei riipu R:stä. Olkoon se pallo vaikka maapallo, ja h vaikka 5 cm, niin tilavuus on aina sama.Ja kun näin pitkälle päästään, laitetaan R=h, jolloin reikä on äärettömän ohut, ja tilavuus on 4/3 pi h^3. (Tosin tämä tulos on jo tiedossa siinä vaiheessa kun näin pitkälle päästiin.)
No niin, ei tässä suurten oivallusten äärellä olla.
Noita OK:n lukujonoja aikani mietin, mutta kun mitään ei irronnut, annoin olla.
134. Jaska7.6.2010 klo 11:54
Kiitos Matti selvityksestäsi, joka upposi kaaliin kuin sula veitsi voihin. Toisin sanoen tehtävän muotoilija on yössä kysyessään jäljellle jäävää painoa. Ellei "kikka" ole äärettömän ohut porausreikä, jolloin vastaus on sama 5 kg.
135. Olavi Kivalo11.6.2010 klo 20:50
Tuo esittämäni lukujonopari muodostaa geometrisen sarjanc(n) = a(n) + b(n)Sqrt[2], n=1,2,3,...,
jossa c(n+1)/c(n) = 3+2Sqrt[2]
Luku c(n) on sen neliön sivun pituus, jonka kärkeä ja sen vierekkäisten sivujen jatkeita tangeeraa puoliympyrä, joka on suurin puoliympyrä siinä neliössä, jonka sivun pituus on c(n+1).
136. Olavi Kivalo12.6.2010 klo 08:52
T&T:n uusin kompa (se ei tosin liity millään tavalla lukujonoihin): Onko väite, että Turussa mitattiiin 18.2.1753 ennätyspakkanen -44 celsiusastetta, totta vai tarua.Miksei se olisi totta? Celsiuksen lämpömittari otettiin nykymuodossaan käyttöön 1740-luvun alkupuolella.
137. Matias-Myyrä12.6.2010 klo 09:47
Taruahan se on!Ruotsissa ja Suomessa siirryttiin gregoriaaniseen kalenteriin 1753 jättämällä pois 11 päivää, 17. helmikuuta 1753 jälkeen tuli 1. maaliskuuta.
138. Olavi Kivalo13.6.2010 klo 09:47
Celsius halusi merkitä veden kiehumispisteen nollaksi ja jäätymispisteen 100:ksi asteeksi, jotta vältyttäisiin negatiivisilta lukemilta pakkasella. Tämä on totta. Uskottiin kai, ettei mitään kiehumispistettä kuumempaa ole tarvis mitata.Mutta 4.–5. syyskuuta 1827 koko Turku paloi. Tuolloin Turussa mitattiin jopa -100:n asteen lämpötiloja Celsiuksen mittarilla. Tämä on tarua. Asteikko oli päätetty kääntää toisin päin jo melkein sata vuotta aiemmin.
139. Antti14.6.2010 klo 18:16
1, 2, 6, 10, 30, 34, 50, 54, 106, 130, 150, 154, ?
140. Olavi Kivalo22.6.2010 klo 10:08
Olisiko Antin jo syytä antaa joku vinkki, mistä päin tätä jonoa pitäisi yrittää lähestyä?
141. Jaska22.6.2010 klo 14:27
Luulin ensin, että kyseessä on kahden alkuluvun erotuksista muodostuva sarja, vähentäjinä peräkkäiset alkuluvut 2, 3, 5, 7, jne. Tähän tapaan:3-2=1, 5-3=2, 11-5=6, 17-7=10, 41-11=30, 47-13=34, 67-17=50, 73-19=54. Mutta seuraava pari olisikin 129-23=106, eikä 129 ole alkuluku, ei myöskään 159. Erotusmekanismi on siis jokin muu, jota en enää ruvennut pohtimaan.
142. Antti22.6.2010 klo 15:55
Mukana on jollakin tavalla alkulukujen jono ja 1:stä alkava peräkkäisten kokonaislukujen jono. Alkulukujen jonoa käytetään kahdella tavalla.
143. Antti23.6.2010 klo 17:36
Jaskan viestiin liittyvä lisäohje: Vähennettävien (ei vähentäjien) jonona on alkulukujen jono. Erotusten jonosta poimitaan vain tietyt luvut.
144. Antti25.6.2010 klo 07:51
Pitkistyessään asia mutkistuu ja ehkä menettää kiinnostavuuttaan. Annan ratkaisun periaatteen.Vähennettävien jonona on alkulukujen jono. Vähentäjien jonona on 1:stä alkava luonnollisten lukujen jono. Ratkaisujonon i:s luku on eotusjonon se luku, jonka paikkaluvun ilmoittaa i:s alkuluku.
Annoin 12 lukua. 13: luku on erotusjonossa niin monennella paikalla kiuin on 13. alkuluku, 47, siis 47. paikalla. 47. alkullluku on 227. Kysytty luku on siis
227 - 47 = 180.
145. Jaska27.6.2010 klo 16:10
Antti, Antti, miksi hyppäsit kahden alkuluvun yli laskiessasi, mikä on yhdestoista alkuluku? Se on 31 eikä 41. Joten 47 ei ole kolmastoista, vaan viidestoista alkuluku. Jonossasi on siis vain neljä ensimmäistä lukua oikein. Jonosi idea on kyllä hieno ja looginen. Vaikeakin, joten en ehkä olisi keksinyt sitä oikeastakaan jonosta jonosta ilman lisävihjettä. Sen oikean jonon 20 enimmäistä lukua:1, 2, 6, 10, 20, 28, 42, 48, 60, 80, 96, 120, 138, 148, 164, 188, 218, 222, 264, 282.
146. Antti27.6.2010 klo 16:44
Kiitos, Jaska. En tiedä miksi hyppäsin.
Ei ole hoppu hyväksi eikä kiire kunniaksi.
147. Olavi Kivalo27.6.2010 klo 19:12
Vähän turhauttavaa. Mutta älysin lopettaa ajoissa.Tässä koodi Mathematica-formaatissa:
list = Table[Prime[n] - n, {n, 100}];
n = 1; Do[n = Prime[n]; Print[a[n] = Part[list, n]], {n, 20}]
a[988]=72000
Miksi kaikki luvut a[n] ovat parillisia?
148. Olavi Kivalo28.6.2010 klo 11:27
Kaikesta huolimatta yhdyn Jaskan mielipiteeseen, että jonon idea on hieno.Kun kustakin alkuluvusta vähennetään sen järjestysluku saadaan lukuja, jotka ovat parillisia tai parittomia. Kun tästä lukujonosta poimitaan niin ja niin mones kuin alkuluku osoittaa, saadaan etsityt a[n]. Nämä ovat kaikki parillisia (paitsi a[1]).
Miksi ne ovat parillisia, on mielenkiintoinen kysymys. Ainakin niin kauan, kun joku todistaa jollain triviaalilla tavalla, että niin pitääkin olla.
149. Jaska28.6.2010 klo 11:46
Minusta todistus on tarpeeton. Kun sekä vähennettävä että vähentäjä ovat alkulukuja, on niiden erotus parillinen.
150. Olavi Kivalo28.6.2010 klo 12:16
No siinähän se tuli.
151. Antti30.6.2010 klo 07:56
Seuraavassa ei tarvinne turhautua:6, 13, 20, 28, 36, 36, 36, 28, 20, 13, 6, ?
152. Olavi Kivalo1.7.2010 klo 10:43
Koska tämä on symmetrinen, jatkokin noudattaa symmetriaa tai sitten ei noudata. Eli vaihtoehtoja on aika lailla. Jos jonon lainalaisuus perustuu symmetriaan, seuraava termi (oikealle) voisi olla 13, 6 tai 0, tai joku muu.
??
153. Antti1.7.2010 klo 12:10
Seuraava luku on jokin muu kuin mainituista mikään. Jonoa en rakentanut symmetrian peusteella, vaan lakinsa mukaan muodostetun jonon symmetriseksi osoittautuminen oli minulle yllätys.
Jono on tiettyjen lukujoukkojen mediaanien jono.
Joukoilla on jonkin verran yhteisiä jäseniä, joillakin joukkopareilla yksi jäsen, joiillakin melkein kaikki.
154. Antti5.7.2010 klo 06:41
P(i) = 7*i^2-i^3a(i) = mediaani (P(1), P(2), ... , P((i)), i=1,2,, ...
155. Jaska7.7.2010 klo 10:57
Joten 30.6. annetun jonon seuraava luku on mikä? Jäi näet ratkaisu minulle hämäräksi, kun en edes ole varma, mitä mediaani tuossa tarkoittaa. Keskiluku? Keskiarvoko? Esitäpä Antti (tai kuka tahansa) numeerisesti jonon 12 ensimmäistä lukua tuottavat laskut, niin josko sitten tyhmempikin tajuaisi.
156. Antti7.7.2010 klo 11:58
P-jonon lukuja: 6, 20, 36 48, 50, 36, 0, -64, -162, ,350, ,484, ,720, ...
Mediaani on keskimmäinen arvo, jjos sellainen on, muutoin kahden keskimmäisen keskiarvo.
a(1) = med(6)=6
a(2) = med(6,20)=13
a(3) = med(6,20,36)=20
a(4) = med(6,20,36,48)=28
...
a(11) = med(6,20,36, ...,-484)=6
a(12) = med(6,20,36, ...,-484, -720)=3
157. Olavi Kivalo7.7.2010 klo 12:44
P:n luvut ovat6, 20, 36, 48, 50, 36, 0, -64, -162, -300, -484, -720, ...
a:n seuraavat luvut ovat:
3, 0, -32, -64, -113, ...
Tässä koodi:
Do[Print[Median[Table[7*i^2 - i^3, {i, 1, n}]]], {n, 1, 20}]
158. Olavi Kivalo7.7.2010 klo 14:10
Mediaani otetaan järjestetystä jonosta. Näinollen esim:Median[{36, 48, 50, 36, 0}] = Median[{0, 36, 36, 48, 50}] = 36.
159. Jaska7.7.2010 klo 17:42
Selkis, kiitos. En älynnyt sitä mediaanin joko-tai -hommaa. En muuten turhautunut, kun osasin luovuttaa ajoissa. Sitähän Anttikin varmaan tarkoitti...
160. Jaska10.7.2010 klo 15:17
Omasta mielestäni mielenkiintoinen jono, lienee jo ammoin tutkittukin?
0, 1, 2, 4, 6, 11, 18, 31, 54, 97, 172, ?
161. Matti11.7.2010 klo 01:38
Number of primes <= 2^n. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Joo, oli jo käsitelty aiemmin.
162. Matti11.7.2010 klo 01:41
Aiemmin Antin esittämät tehtävät voivat (ainakin minulle) olla todella mahdottomia, koska mediaanioperaatio hävittää jonosta kaikki karakteristiset piirteet. Sama on tilanne, jos käytetään int-operaatiota.
163. Jaska11.7.2010 klo 19:22
Matti OK. Seuraava luku siis 309. Eipä ihme, että vanha tuli mieleen, enpä minä ainakaan tällä helteellä liiemmin luovuudesta kärsi. Eniten kiinnostaisi, läheneekö suhde määrättyä raja-arvoa, ja mikä se on.
164. Olavi Kivalo11.7.2010 klo 20:48
Kuinka jatkuu:4, 8, 12, 16, 25, 50, 64, 81, 90, 99, ...
Vihje: Liittyy edelliseen.
165. Olavi Kivalo12.7.2010 klo 20:48
Täsmennetty vihje: Jononi liittyy Jaskan esittämästä OEIS-jonosta nousevaan suhteeseen.
166. Olavi Kivalo14.7.2010 klo 12:24
Okei, näillä helteillä tuo ”täsmennetty” vihjeeni on aivan liian epätäsmällinen, joten lienee reilua kertoa lisää.Merkitään pi(n) = alkulukujen p<=n lukumäärä ja tarkastellaan suhdetta r(n)=(f(n))/pi(g(n)). Kun puhutaan lukujonoista, on r(n) kiinnostava vain, kun r(n) on kokonaisluku. (En tiedä, millä f:n tai g:n arvoilla kysymys, lähestyykö r(n) jotain raja-arvoa, voisi olla kiinnostava.)
Kun f(n)=g(n)=2^n (Jaskan esittämä OEIS-jono), r(n) kasvanee rajatta, esim. r(40)= 26.6852, mutta vain kolme ensimmäistä termiä ovat kokonaislukuja. Näistä syntyy vain jonontynkä a(m) = 2, 2, 2, joten unohdetaaan tämä.
Kun f(n)=g(n)=n, näyttäisi r(n)=n/pi(n), joka kasvaa rajatta, sisältävän ainakin kaikki alimmat kokonaisluvut >1. Kukin kokonaisluku esiintyy q(n) kertaa eli a(m) = 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, .... Näistä esiintymiskerroista saadaan uusi sinänsä kiinnostava lukujono q(n) = 0, 4, 3, 3, 6, 7, 6, 6, 3, 9, 1, 18, 11, 12, ... (eli luku 14 esiintyy 12 kertaa.) Kiinnostava, koska ei voi laskematta ennakoida, kuinka se jatkuu.
Kun f(n)=n^2 ja g(n)=n, kasvaa r(n)=n^2/pi(n) rajatta ja sen sisältämät kokonaisluvut muodostavat kauniin lukujonon a(m) = 4, 8, 12, 16, 25, 50, 64, 81, 90, 99, ... Tämä piti siis löytää. No ei ainakaan annetuilla vihjeillä. Todella turhauttavaa.
167. Jaska15.7.2010 klo 14:52
Mahoton mikä mahoton. Siis hedelmällinen?
168. Antti19.7.2010 klo 07:38
1, 96, 891, 4096, 13125, 33696, 74431, ?
169. Jaska20.7.2010 klo 15:53
147456 (tänään on jo viileämpää, joten ratkesi helposti...)
170. Antti20.7.2010 klo 16:24
Hyvä, Jaska!
171. Olavi Kivalo22.7.2010 klo 08:37
Tässä leikitään anagrammeilla. Kuinkahan jono jatkuu?67, 69, 76, 79, 96, 97, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 112, 122, ...
172. Olavi Kivalo24.7.2010 klo 19:13
Suomenkielellä vastaava jono alkanee seuraavasti23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 34, 35, ..., 97, 98, 223, 224, ...
173. Matti24.7.2010 klo 20:51
1, 96, 891, 4096, 13125, 33696, 74431Antti tai Jaska, mikä on tämän juoni?
174. Jaska24.7.2010 klo 22:39
1^4*1, 2^4*6, 3^4*11, 4^4*16, 5^4*21, 6^4*26, 7^4*31, 8^4*36 jne.Olavi Kivalon anagrammit eivät auenneet alun kolmesta selvästä parista huolimatta.
175. Antti25.7.2010 klo 06:06
Jaskan löytämässä ratkaisussa jonon j:s jäsen (j = 1, 2, 3, ...) on siisj^4 * (5*j - 4) = 5 * j^5 - 4 * j^4.
Olavi Kivalon tehtävään en ratkaisua löytänyt.
176. Olavi Kivalo25.7.2010 klo 10:09
No jopas. Otetaan tuo suomenkielinen. Ensimmäinen termi on KAKSIKYMMENTÄKOLME. Sen anagrammiluku on yksinkertaisesti KOLMEKYMMENTÄKAKSI. Esittämässäni jonossa esiintyvät luvut edustavat vain alimpia triviaaleja anagrammeja, joissa vain kaksi sanaa vaihtavat paikkaa. En ole systemaattisesti etsinyt muita. Vähän vähemmmän triviaaleja edustavat anagrammiparit 200100/100200, 200102/102200, jne.
177. Jaska25.7.2010 klo 13:18
En huomannut OK:n viestiä 19:13 vastatessani Matille. Olisihan juju siitä selvinnyt. Luvalla sanoen, ei järin kiinnostavaa.
178. Olavi Kivalo25.7.2010 klo 15:54
Mitä kiinnostavuuteen tulee tämä suomenkielinen on tosi tylsä. Englanninkielistä on puitu jonkin verrran OEIS:n keskustelufoorumilla. Nää tylsät istuu hyvin tähän lämpötilaan.
179. Matti25.7.2010 klo 16:42
Jaska ja Antti kiitos. Olisi kai selvinnyt jos olisin laittanut luvut tekijöihinsä. Tai sitten ei.
180. Olavi Kivalo26.7.2010 klo 10:35
Viedään nyt päätökseen tämä anagrammijono. Alkuosa osa englanninkielisistä on triviaaleja:
SIXTY-SEVEN / SEVENTY-SIX
Ensimmäinen ei-triviaali on
ONE HUNDRED TWELVE / TWO HUNDRED ELEVEN
Kun luvut kasvavat, ei-triviaalien osuus kasvaa.
Jono jatkuu näin:
67, 69, 76, 79, 96, 97, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 112, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 133, ...
181. Antti26.7.2010 klo 20:09
Luvut eivät aina ole sitä, miltä ensin näyttävät.1, 145, 311, 455, 621, 765, ?
182. Matti26.7.2010 klo 20:17
931. Minusta ainakin nyt ne ovat sitä, miltä ensin näyttävät.
183. Matti26.7.2010 klo 20:20
Tässä juoksee lomittain kaksi lineaarisesti kasvavaa jonoa, jotka molemmat kasvavat aina 310:llä. Toisen eka luku on 1 ja toisen 145.
184. Antti26.7.2010 klo 20:48
Luvut ovat myös 8-järjestelmään kirjoitetut1, 101, 201, 301, ...
185. Matti26.7.2010 klo 21:02
Aika hauskaa on taas kerran huomata, miten täysin eri tavoin yksi ja sama asia voidaan kuvata.
186. Olavi Kivalo27.7.2010 klo 10:37
Joka toisen luvun erotus ei kasva 310:lla säännöllisesti.Erotukset ovat
310, 310, 510, 310, 310, 510, 310, 530, 310, 310, ...
310, 310, 510, 330, 510, 310, 310, 510, 310, 510, ...
187. Matti27.7.2010 klo 14:18
Olavi Kivalo, mielenkiintoista. Mutta Antin antamissa luvuissa erotus oli aina 310. Jonoja on siis kaksi erilaista: lomittain kulkevat lineaarisesti kasvavat jonot, ja 8-järjestelmään kirjoitetut 1, 101, 201, ...
188. Olavi Kivalo27.7.2010 klo 15:27
..., joiden vain kuusi ensimmäistä termiä ovat samat. Kuten joskus aiemmin on keskusteltu: mitä vähemmän termejä annetaan, sitä enemmän on vaihtoehtoisia oikeita ratkaisuja. Ja siten pitäisi arvuutella, mikä mahtaa olla se, jota tehtävän antaja tarkoitti.
189. Olavi Kivalo27.7.2010 klo 17:13
Seuraavasta väitetään, että annetut termit ovat riittävät jatkon yksikäsitteiseksi ratkaisemiseksi:0, 0, 6, 42, 156 . . .
190. Matti27.7.2010 klo 23:18
Lunttasin tuolta On-Line Encyclopedian sivuilta, joka antoin*(n+1)*(n*(n+1)+1), kun n=-1,0,1,2,3, ...
Muttta myös voidaan rakentaa neljännen asteen polynomi, jonka arvot perättäisillä kokonaisluvuilla ovat annettu jononpätkä. Tässä ei tietysti ole mitään älliä.
Ja voi olla, että OK:lla on vielä kolmaskin versio.
191. Olavi Kivalo28.7.2010 klo 00:11
Jono jatkuu siis näin (ja vain näin, jos väitteeseen on uskomista)0, 0, 6, 42, 156, 420, 930, 1806, 3192, ...
Se saadaan myös rekursiivisesti kaavasta
a(0)=0,
a(n+1) = a(n) + 4n^3 + 2n, n=0,1,2,...
192. Matti28.7.2010 klo 01:23
Sama jono on sekä OK:n että On-Line Encyclopedian antama. OK antoi rekursiokaavan ja On-Line sille ratkaisun. Mutta jos tarkkoja ollaan, millään äärellisellä jononpätkällä ei ole yksikäsitteistä jatkoa. Aina voidaan rakentaa polynomi. Ja jos juuri se polynomi määrittelee annetun jononpätkän, sovitetaan sitten esim. Fourierin sarja.Jutun juonihan on tietysti se, että annetun jononpätkän sitä viimeistä vaille olevat luvut käytetään lainalaisuuden konstruoimiseen, ja sitten se viimeinen käytetään tsekkaamaan, että menikö oikein.
193. Olavi Kivalo28.7.2010 klo 17:15
Tuota heuristiikkaa "mitä vähemmän termejä annetaan, sitä enemmän on vaihtoehtoisia oikeita ratkaisuja" tulee tietysti tulkita (kuten heuristisia sääntöjä yleensä) tilanteen mukaan.OEIS antaa viiden termin jonolle 0,0,6,42,156, ja vielä neljänkin termin jonolle 0,6,42,156, vain yhden jatkon, mutta neljän termin jonolle 0,0,6,42, neljä vaihtoehtoista jatkoa.
Toinen esimerkki:
OEIS antaa viiden termin jonolle -1,-1,-1,17,399, yhden jatkon, samoin neljän termin jonolle -1,-1,17,399, ja jopa vielä kolmenkin termin jonolle -1,17,399, (eli jo kolme termiä takaisi yksikäsitteisen jatkon).
Sen sijaan neljän termin jonolle -1,-1,-1,17, OEIS antaa kolme, ja kolmen termin jonolle -1,-1,17, yhdeksän vaihtoehtoista jatkoa.
Näyttää siltä, että mikäli halutaan yksikäsitteinen ratkaisu minimimäärällä termejä, tulee esimerkkijonon termit valita niin, ettei mukana ole aivan jonon alkupään termejä.
194. Antti29.7.2010 klo 07:53
27, 42, 27, 42, 555, 3402, 14667, 53322, ?
195. Olavi Kivalo6.8.2010 klo 15:53
Tää Antin jono on homehtunut täällä jo yli viikon. Ei muuta mut tulee vähän hajua, kun jättää koneen yöksi päälle.
196. Jaska6.8.2010 klo 18:11
Homeessa on aivotkin... mitenkähän ne saisi putsattua...
197. Olavi Kivalo6.8.2010 klo 18:45
Tätä miettiessä home häviää: Mikä on lausekkeen (e i)^(pi i) imaginaariosa?
198. Jukkis6.8.2010 klo 19:20
Pitkästä aikaa joku kiinnostavakin pähkinä täällä.Menin logaritmin kautta, sain vastauksen, tarkistin laskimella. En ainakaan vielä ole keksinyt, miten vastauksen saisi ilman logaritmia. Ihan kiva.
199. Olavi Kivalo7.8.2010 klo 17:43
Jääköön imaginaariosan numeerinen arvo vielä paljastamatta, mutta yksi tapa lähestyä on kirjoittaa lauseke muotoone^(pi i) * i^(pi i)
200. Matti7.8.2010 klo 20:52
Nollaa näyttää. Sinänsä peruskauraa, mutta vähän piti puhallella pölyjä koneistosta, tyyliin että mitenkä se taas nyt menikään.Logaritmia toki tarvittiin - miksikä ei? Piti laskea i^i ja log(i). Edellinen on reaalinen ja jälkimmäinen puhtaasti imaginaarinen.
201. Olavi Kivalo7.8.2010 klo 22:35
Mikäs on reaaliosa?
202. Matti7.8.2010 klo 23:45
-e^(-0,5*pi*pi)
203. Olavi Kivalo8.8.2010 klo 00:02
Likiarvoltaan -0.00719188. Ja imaginaariosa siis 0.Jollei homeet, niin pölyt saivat vähän kyytiä.
204. Olavi Kivalo8.8.2010 klo 10:30
Tuo aiempi kommenttini Antin jonosta oli tarkoitettu ystävälliseksi kehotukseksi antaa jo vinkki.
205. Antti8.8.2010 klo 16:14
Tässä Olavi Kivalon kauniisti pyytämä vihje, vähän myöhässä, koska olen ollut poissa koneen äärestä: Jono on kahden jonon lineaarinrn yhdistelmä. Toisessa indeksi (j=1, 2, 3, ...) on eksponenttina, toisessa indeksi on potenssin kantana.
206. Antti8.8.2010 klo 16:15
lineaarinen
207. Olavi Kivalo9.8.2010 klo 11:59
Seuraava on lukujonokompa, joka sopii kesähelteellä kokeellisestikin ratkottavaksi.Käytettävissä on ehtymätön vesilähde (järvi) ja kaksi ämpäriä, joiden vetoisuuudet ovat Ca ja Cb (litraa). Näiden avulla tulisi mitata vesimäärä Q (litraa) käyttäen kolmea operaatiota: (1) ämpärin täyttö järvestä, (2) ämpärin tyhjennys järveen tai päällensä ja (3) kaato ämpäristä toiseen. Kaato jatkuu kunnes vastaanottava ämpäri on täynnä tai kunnes lähdeämpäri on tyhjä.
Otettakoon tavoitteeksi etsiä tarvittavien operaatioiden minimilukumäärät vaikkapa seuraavilla reunaehdoilla: Ca=7, Cb=5, Q(n)=1,2,3,4,5,6. Aluksi ämpärit ovat tyhjät. Mittaus käynnistetään täyttämällä isompi ämpäri, joka on täten kunkin mittaussarjan ensimmäinen operaatio.
Tai sitten, jos on oikein tukalaa, voi etsiä niitä kombinaatioita Ca,Cb,Q (kokonaislukuja), joilla mittaus on mahdoton.
208. Olavi Kivalo9.8.2010 klo 14:45
Antin jono:a(n) = -3*n^4 + 10*3^n
209. Matti9.8.2010 klo 21:13
Näyttäisi siltä, että jos Ca:n ja Cb:n suurin yhteinen tekijä on 1, Q(n) voi olla mitä vaan <= Ca+Cb, ja tarpeeksi lutraamalla aina onnistuu. Kokeilin Ca=5 ja Cb=3, ja aika helposti löysin ratkaisun, kun Q(n) = 1,2,3,4,5 tai 6.Jos suurin yhteinen tekijä on 2, Q(n):n täytyy olla parillinen, ja jos se on 3, Q(n):n tulee olla kolmella jaollinen, etc. Aina tietysti pitää olla Q(n)<=Ca+Cb. Tämän kappaleen väite on helppo todistaa, edellisen kappaleen väite on minulla aivan mutu-pohjalla.
210. Jaska9.8.2010 klo 22:03
Minä kokeilin Olavi Kivalon esimerkkiä Ca 7 l -Cb 5 l helteellä. Yksi litra:1. Järvi 7 -> Ca. Tilanne Ca 7, Cb 0.
2. Ca 5 -> Cb. Tilanne Ca 2, Cb 5.
3. Ca 2 -> päälaki. Tilanne Ca 0, Cb 5.
4. Cb 5 -> Ca. Tilanne Ca 5, Cb 0.
5. Järvi 5 -> Cb. Tilanne Ca 5, Cb5.
6. Cb 2 -> Ca. Tilanne Ca 7, Cb 3.
7. Ca 7 -> päälaki. Tilanne Ca 0, Cb 3.
8. Cb 3 -> Ca. Tilanne Ca 3, Cb 0.
9. Järvi 5 - Cb. Tilanne Ca 3, Cb 5.
10. Cb 4 -> Ca. Lopputilanne Ca 7, Cb 1.
Mutuna 2-6 litraa eivät ole sen vaiherikkaampia, osin päinvastoinkin, joten jätän ne ja ryhdyn kuivailemaan.
211. Olavi Kivalo10.8.2010 klo 00:26
Koska tämä on lukujonosäie, täydennän Jaskan tuloksen lukujonoksi, kun Q(n)=1,2,3,4,5,6.Minimimäärät operaatioita ovat 10,2,6,6,2,10,1.
Palaan Matin teeseihin tuonnempana.
212. Olavi Kivalo10.8.2010 klo 09:59
Vahvistan omasta puolestani Matin päättelyt. Jos Q on Ca:n ja Cb:n suurin yhteinen jakaja tai sen monikerta, se voidaan tuottaa. Tästä seuraa, että jos Ca ja Cb ovat suhteellisia alkulukuja eli niiden suurin yhteinen jakaja on 1, kaikki Q :t ovat mahdollisia. Näistä voi helposti päätellä, mitä määrää Q ei voi tuottaa käytettävissä olevalla ämpäriparilla. Edellä Q<=Ca>Cb.
213. Jaska10.8.2010 klo 11:17
OK:n ohjeen mukaan operaation piti alkaa seitsemän litran ämpärin täytöllä järvestä. Yksi litra saatiin siis mitatuksi kymmenellä vaiheella. Vasta yöpuulla (heteka = yömetalli?)tajusin, että viiden litran ämpärillä aloitettaessa operaatioon tarvitaan vain kahdeksan vaihetta. Opetus: ei pidä uskoa sokeasti auktoriteetteja!
214. Olavi Kivalo10.8.2010 klo 18:56
"Mittaus käynnistetään täyttämällä isompi ämpäri" oli pelkästään osa tehtävän määrittelyä. Jaskan opetus "Ei pidä uskoa sokeasti auktoriteetteja!" ei istu tähän yhteyteen. Silti yleisellä tasolla yhdyn siihen täysin, vaikka se kuulostaakin vähän autoritääriseltä.
Muuten, montakohan operaatiota tarvitaan tuottamaan kaksi litraa, kun ensimmäinen operaatio on Cb:n täyttö?
215. Jaska10.8.2010 klo 19:10
Neljä. Oli siis knoppi.
216. Olavi Kivalo10.8.2010 klo 20:20
Jos määriitellään tehtävä siten, että järvestä saa ottaa vain pienemmällä ämpärillä, tarvitaan kahden litran tuottamiseen 10 vaihetta. Jne.
217. Olavi Kivalo10.8.2010 klo 20:46
Antin jono siis jatkuu näin:27, 42, 27, 42, 555, 3402, 14667, 53322, 177147, 560490, ...
Sen määrittämiseen riitti jonon neljä ensimmäistä termiä yhdessä annetun vihjeen kanssa.
218. Antti11.8.2010 klo 15:25
Olavi Kivalon löytämä kaava on oikea.
219. Olavi Kivalo11.8.2010 klo 18:04
Koska ratkaisu ei löytynyt käden käänteessä, esitän käyttämäni metodinOletetaan kaksi jonoa x(n) ja y(n).
Näiden lineaarikombinaatio on A(n) = ax(n) + by(n).
Olkoon x(n) muotoa n^x = 1^x, 2^x, 3^x, ...
Olkoon y(n) muotoa y^n = y^1, y^2, y^3, ...
Jonon A(n) alkupäässä vallitsee
A(1) = A(3) = 27 ja A(2) = A(4) = 42 eli
a*1^x + b*y^1 = a*3^x + b*y^3 = 27
a*2^x + b*y^2 = a*4^x + b*y^4 = 42
Koska muuttuja x esiintyy eksponenttina, yhtälöryhmälle ei ole analyyttistä ratkaisua. Ratkaisu saadaan olettaen, että x ja y ovat pieniä kokonaislukuja, ja kokeilemalla erilaisia x,y-kombinaatioita. Kombinaatiolla x=4, y=3 saadaan ratkaisu
a=-3, y=10. Tällöin A(n) = -3*n^4 + 10*3^n.
220. Matti14.8.2010 klo 17:01
Kysytäänpä vaihteeksi tällaista:Maaottelun 400 m:n juoksuun osallistuu 6 aivan yhtä hyvää juoksijaa. Heistä jokaisen kilpailijan tulos on satunnaissuure, joka on tasan jakautunut välille 46,00 ja 47,00 sekuntia. Ja kukin pinkoo tuloksensa muiden juoksijoiden vauhdista riippumatta.
Mikä on voittajan ajan odotusarvo? Entä viimeisen?
221. Antti14.8.2010 klo 17:40
En osaa laskea, mutta arvaan: kymmenesosasekunnin tarkkuudella 46,9 ja 46,1
222. Olavi Kivalo14.8.2010 klo 18:39
Arvaan sadasosan tarkkuudella 46,86 ja 46,14.
223. Jukkis14.8.2010 klo 18:41
Antilla vissiin on kyse takaperin juoksusta, kun voittajan aika on enemmän kuin viimeiseksi tulleen.Simulaatio (100 miljoonaa kisaa) antoi 46.143 ja 46.857. Pitää paremmalla ajalla miettiä, että miksi.
224. Jukkis14.8.2010 klo 18:47
Niin no, aika uskottavaa, että nuo ajat on 46 1/7 ja 46 6/7. Mutta asian todennäköisyysmatemaattinen todistus ei kyllä nyt irtoa.
225. Antti14.8.2010 klo 19:27
Jukkis, voitaisiinko vastaukseni hyvällä tahdollla tulkita kirjallisuudessa jjoskus käytetyn ABBA-kaavion mukaiseksi, jossa ensin vastataan viimeksi esitettyyn kysymykseen, ensimmäiseen kysymykseen puolestaan viimeiseksii.
226. Antti15.8.2010 klo 06:40
Edelliseen täydennyksenä ABBA-kaavioesimerkki:(Matt 7:6) Älkää antako pyhää koirille,
älkääkä heittäkö helmiänne sikojen eteen,
etteivät ne tallaisi niitä jalkoihinsa (siat)
ja kääntyisi ja repisi teitä (koirat).
227. Olavi Kivalo15.8.2010 klo 09:31
Ja katso, minunkin takaperinjuoksuni, joka oli veden kaltainen, muuttui viiniksi.
228. Jaska15.8.2010 klo 14:30
Jospa se huonommalla ajalla voittanut sai ravien tapaan tasoitusta muilta?Toinen tehtävä samoissa raameissa. Mikä on todennäköisyys, että yhdessä kisassa vähintään kaksi kilpailijaa juoksee saman ajan? Ajanotto siis sadasosasekunnin tarkkuudella. Sovittaisiinko vastaus seitsemän desimaalin tarkkuudella.
229. Olavi Kivalo15.8.2010 klo 16:14
Vähän alle 13,5%.
230. Jukkis15.8.2010 klo 16:21
0.1417223?
231. Jukkis15.8.2010 klo 16:22
Ai niin, _vähintään_ kaksi. Hiukka isompi tulee.
232. Jaska15.8.2010 klo 18:01
Minä sain selvästi pienemmän. Voisitteko vielä tsekata omat laskunne. Pidän omaani oikeana.
233. Jukkis15.8.2010 klo 18:21
Minä pidän omaani 0.1417223 oikeana, ja taas pienen ajattelun jälkeen sittenkin nimenomaan 15.8.2010 klo 14:30 esitettyyn kysymykseen. Siis "vähintään kaksi".Simulointi (100 miljoonaa kisaa) myös tukee vastaustani.
234. Jaska15.8.2010 klo 18:38
Minä pähkäilin sen näin: mahdollisia aikoja on 101 kpl. Yhden kilpailijan todennäköisyys saada eri aika kuin nolla kilpailijaa on siis 101/101 = 1. Muilla kilpailijoilla mahdollisuudet vähenevät yhdellä yksiköllä. Todennäköisyys t sille, että kellään ei ole samaa aikaa kuin jollakulla muulla, on siis 100*99*98*97*96/101^5 = 0,9140398. Täten kysytty todennäköisyys on 1 - t = 0,0859602.
235. Antti15.8.2010 klo 18:49
Jokohan kertoisit, Matti, kuinka kaksi odotusarvoa saa.
236. Jaska15.8.2010 klo 19:17
Antti kaivannee jotain (yksinkertaista?) kaavaa. Ilman sitä vaatisi "aika monta" laskutoimitusta. Mutta ei kai olisi tietokoneelle paljon simulointia mutkikkaampi ohjelmoitava?
237. Jukkis15.8.2010 klo 19:36
Tässä samojen loppuaikojen probleemissa on pyöristysongelma. Nimittäin loppuaikojen 46.00 ja 47.00 todennäköisyys on puolet muiden loppuaikojen todennäköisyydestä. Eli vaikka tosiaan mahdollisia sadasosasekunnin tarkkuuteen pyöristettyjä loppuaikoja on 101, niin Jaskan menetelmä ei anna oikeaa vastausta. Se antaisi oikean vastauksen, jos mahdolliset tarkat ajat olisivat välillä 45.995 ... 47.005 s.Minun laskelma (jonka periaate on sama kuin Jaskalla) taas antaa oikean vastauksen ainakin silloin kun tarkat ajat ovat välillä 45.995 ... 46.995 s, eli aikaväli on edelleen tasan sekunti, mutta mahdollisia pyöristettyjä loppuaikoja on vain 100. Tai sitten aikaväli on 46 ... 47, mutta loppuaikaa ei saada pyöristämällä vaan katkaisemalla.
Mutta simulaatio viittaa siihen, että saamani vastaus saattaa päteä myös silloin kun kysymys on 15.8.2010 klo 14:30 esitetyssä muodossa. Mutta voi olla, että alkuperäisen kysymyksen tarkka vastaus poikkeaa sittenkin hiukan tuosta saamastani 0.1417223:stä.
238. Jukkis15.8.2010 klo 19:40
Tai sitten Matti tarkoitti alunperinkin, että loppuajat jakautuvat tasan sadasosan tarkkuudella ilmoitettujen 101 ajan 46.00, 46.01, ... , 46.99, 47.00 kesken. Silloin Jaskan vastaus on oikea.Minä siis olen olettanut, että mahdollisten aikojen rajat ovat tasan 46 ja 47 sekuntia.
239. Matti15.8.2010 klo 20:33
Lasketaan tilanne häviäjälle. Voittajan tapaus saadaan symmetrian nojalla.Todennäköisyys, että juoksijan aika on parempi kuin
46 sek. + t = t.
Häviäjän aika on parempi kuin 46 sek. + t täsmälleen silloin kuin kaikkien kuuden aika on parempi kuin 46 sek. + t. Tämän todennäköisyys on t^6. Tämä on satunnaissuureen "häviäjän aika" kertymäfunktio, ja sen derivaatta 6*t^5 häviäjän ajan tieheysfunktio. Keskiarvo saadaan integroimalla t*6*t^5, kun t = 0 -> 1. Saadaan 46 ja 6/7 sekuntia. Symmetrian nojalla voittajan ajan odotusarvo on 46 ja 1/7 sekuntia.
Oikein ohjasi Jukkista simuloinnit.
240. Olavi Kivalo15.8.2010 klo 20:49
Koska kysymyksessä oli juoksukilpailu, jossa ajat ilmoitetaan desimaalilukuna sadasosan tarkkuudella, oikea vastaus on, että voittajan ajan odotusarvo on 46,14 ja häviäjän 46,86.
241. Olavi Kivalo16.8.2010 klo 10:02
Jaskan tehtävään antamani vastaus 13,5% on alakanttiin, koska en laskenut mukaan tapauksia, joissa sama aika on useammalla kuin kahdella juoksijalla, enkä tapauksia, joissa keskenään saman ajan juosseita pareja on kaksi tai kolme, enkä tapauksia, joissa keskenään saman ajan juosseita trioja on kaksi, enkä tapausta, joissa yksi pari juoksee keskenään saman ajan ja samanaikaisesti yksi trio juoksee keskenään saman ajan, enkä tapausta, joissa yksi pari juoksee keskenään saman ajan ja samanaikaisesti yksi kvartetti juoksee keskenään saman ajan.
242. Jukkis16.8.2010 klo 10:33
Rupesin ihmettelemään tuota Jaskan vastausta 15.8.2010 klo 18:38, että miten se voi noin paljon poiketa minun vastauksesta. Ja eihän se poikkeakaan. Kun laskee oikein, niin siitä tulee 0.1403981, eli vaan ihan pikkasen vähemmän kuin minun 0.1417223.
243. Jaska16.8.2010 klo 11:38
Kappas, on tainnut tulla yksi nolla liikaa ilmeisesti näpyttelyvirheen seurauksena, ja sitten vielä todennäköisyydet ovat väärinpäin. Siis kun ylimääräinen nolla eilisestä 18:38 tuloksestani poistuu, jää 0,8596019, kuuden eri tuloksen oikea todennäköisyys. 1 - 0,8596019 = tasa-aikatulosten todennäköisyys 0,1403981.En nyt viitsi edes pahoitella virhettäni, koska sen todennäköisyys oli alun perinkin niin paljon suurempi kuin virheettömyyden. Mitenkähän olisi käynyt, jos olisin laskenut kaikki kynällä ja paperilla...
244. Jaska16.8.2010 klo 11:47
Kun on kuitenkin tarpeellista antaa itselleni kuritusta sähläyksestäni, ilmoitan kuriositeettina tasa-aikatodennäköisyyden kymmenesosasekunnin tarkkuudella (11 kpl): 0,8122334.
245. Olavi Kivalo17.8.2010 klo 10:18
En ymmärrä tätä Jaskan viimeistä lukua, mutta totean, että olisi ollut tosiaan viisainta alun alkaen laskea todennäköisyys sille, että kaikki tulokset ovat erisuuret. Tästä saadaan suoraan todennäköisyys kaikille niille tapauksille, joissa jotkut ajat ovat samat, eli noin 14% (14,04).
246. Jaska17.8.2010 klo 10:43
Toinen tarkastus antoi seitsemän desimaalin tarkkuudella saman tuloksen: 1 - (10*9*8*7*6/11^5) = 0,8122334.
247. Jaska17.8.2010 klo 17:01
Minua alkoi kiinnostaa simuloinnin (jota en ohjelmointikyvyttömänä itse voi suorittaa) tarkkuus. Jukkiksella sata miljoonaa satunnaisarvontaa (näin se kai tapahtuu) antoi siis erittäin tarkan tuloksen, vaikka ko. tehtävän mahdollisia kombinaatioita sadallayhdellä satunnaistuloksella on yli biljoona. Tietysti heittoja oikeasta tulee, jos desimaalipötköä ruvetaan jatkamaan. Entäpä jos simuloinnin eli satunnaisarvontojen lukumäärä on täsmälleen sama kuin määrättyjä yhtä todennäköisiä kombinaatioita. Virhehajonta on tietysti sitä suurempi, mitä vähemmän tulosmahdollisuuksia. Todennäköisyyslaskennan hallitsevat puhuvat virhemarginaalista.
Mikähän mahtaisi olla virhemarginaali esim. miljoonan vaihtoehdon arvonnassa tuon kuvitteellisen juoksukilpailun tapaisessa jakaumatehtävässä. Senkin voi tietysti selvittää kokeellisesti simuloimalla (hyvin) monta kertaa samoilla ehdoilla.
Olisiko liikaa pyydetty, jos Jukkis tai joku muu suorittaisi vastaavan simuloinnin kuuden "kilpailijan" takaisinpanolla (?), mutta vain kymmenen peräkkäisen numeron raamissa. Arvotaan siis satunnaisesti kuusi numeroa kymmenestä peräkkäisestä, olkoot ne 1-10. Tuloskombinaatioita on siis 10^= 1000000, joka siis olisi yhden simuloinnin arvontamäärä.
Vastaava tehtävä kuuluu: mikä on kaikkien miljoonan kombinaation pienimmän numeron keskiarvo? Valitsin miljoona kombinaatiota siksi, että saadaan päättyvä desimaaliluku eli täysin eksakti tulos. Tässä siis kuudella desimaalilla, mikä määrä pitäisi vertailun vuoksi olla myös simulointituloksissa.
Jos simulointi on kovin aikaa viepä, niin tyydytään sitten yhteen kertaan. Tosin siitä ei sitä virhemarginaalia voi päätellä, mutta kymmenestä voisi kaiketi jo päätelmiä tehdä. Menisikö siihen peräti monta minuuttia??
Itse laskin tuloksen työläähkösti käsipelillä, aikaa meni tuplatsekkauksineen vajaat pari tuntia. Aika varma olen tällä kertaa oman tulokseni oikeellisuudesta.
248. Jukkis17.8.2010 klo 18:29
Kiitos kiinnostavasta tehtävänannosta. Tuloksia (minimin keskiarvo ja maksimin keskiarvo):100 miljoonaa arvontaa:
1. simulointi: 1.97842691 ja 9.02141112
2. simulointi: 1.97835625 ja 9.02146168
10 miljoonaa arvontaa:
1. simulointi: 1.9781722 ja 9.0213656
2. simulointi: 1.9786975 ja 9.0213761
Muutama 1 miljoonan arvonnan kokeilu:
Vaihtelua suunnilleen välillä 1.9765 ... 1.9785 ja 9.0200 ... 9.0215
"Tarkat" arvot (siis laskettuna kaikista miljoonasta eri kombinaatiosta) lienevät 1.978405 ja 9.021595.
249. Jaska17.8.2010 klo 19:09
1,978405 on minunkin tulokseni. Yhden miljoonan arvonnat heittivät odotetusti eniten tarkasta luvusta. Useimmat ilmeisesti kahden desimaalin tarkkuudella oikein, suurin tulos jopa kolmella desimaalilla.Molemmat 10 miljoonan tulokset kolmella desimaalilla oikein ja 100 miljoonan neljällä desimaalilla. Voimme päätellä, että miljardi arvontaa antaa keskimäärin viisi oikeaa desimaalia, ja kymmenen miljardia "lähes aina" kuusi, siis pyöristettynä. Vai voimmeko? Joukossa myös tasan oikeita lukuja todennäköisyydellä x.
250. Jukkis17.8.2010 klo 19:20
No suurten lukujen lakihan tässä pelaa._http://fi.wikipedia.org/wiki/Todenn%C3%A4k%C3%B6i syysteoria#Suurten_lukujen_lait
Pistinpä pyörimään miljardi arvontaa. Kestää semmoiset 80 minuuttia, kun ei ole erityisen optimoitua tuo minun koodini.
Matti varmaan voi tuon luvun 1,978405 johtaa jotenkin samalla tavalla kuin 15.8.2010 klo 20:33?
251. Jukkis17.8.2010 klo 20:43
Miljardi arvontaa antoi 1.978335736 ja 9.021443971. Eli on pääteltävissä, että käyttämäni systeemin satunnaislukugeneraattori voisi olla parempikin. Ehkä ei kannata 10 miljardia arvontaa simuloida.
252. Jaska17.8.2010 klo 20:44
Kiitos, toivottavasti koneesi ei hajoa!Kiinnosti myös laskea vastaava pienimpien keskiarvo ehdolla "ei takaisinpanoa." Tulos 1,571428571.
253. Jaska17.8.2010 klo 20:50
Hyvä ettei hajonnut. Vain kolmen desimaalin tarkkuus on olettamustani vastaan. Tosin sattuman osuutta ei yhdellä kokeella voi eliminoida.
254. Jukkis17.8.2010 klo 21:04
Ei tässä sattumalla ole juurikaan osaa. Jos generoidut satunnaisluvut olisi aidosti satunnaisia, niin miljardilla toistolla noin ison poikkeaman todennäköisyys olisi tosi pieni. Varmaan tuo todennäköisyys on laskettavissakin.
255. Jukkis17.8.2010 klo 22:07
Pitihän se laskea. Keskeistä raja-arvolausetta kun hiukka palautteli mieleen, ja sitä, mitä se tarkoittaa, niin pieni pähkäily antoi uskottavalta tuntuvan tuloksen: Sen todennäköisyys, että miljardi (ideaalisesti satunnaista) toistoa antaa tuloksen, joka on pienempi kuin 1.978335736, on 0.036.
KOMMENTOI