KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > SYYSPULMA
3028. Syyspulma
Matti20.10.2006 klo 12:13
Voit pelata seuraavaa peliä. Heittelet noppaa peräjälkeen ja summaat saadut pisteet yhteen. Voit lopettaa milloin tahansa, jolloin voittosi on kerätyn summan mukainen määrä euroja. Jos kuitenkin heität ykkösen, peli päättyy ja pisteet menevät nollille.a) Minkälaisella strategialla peliä kannattaa pelata, siis milloin kannattaa lopettaa.
b) Paljonko osallistuisesta kannattaa maksaa.
a) on aivan puhdas hoksaamistehtävä - matematiikkaa tarvitaan tuskin nimeksi. b):lle saa hyvän likiarvon helposti. Tarkan arvon laskeminen on hyvin työlästä mutta ei mahdotonta.
2. Jukkis20.10.2006 klo 13:09
Siis kerranko tuota vain saa pelata? Jos a-kohdassa saa pelata ilmaiseksi monta kertaa, niin eipä siinä mitään ihmeempiä strategioita kannata miettiä.Tässä kaikille tehtävä: Laadi sellainen tehtävä, että ensimmäiseksi ei tarvi miettiä, mikä se tehtävä oikeasti on.
3. tonimikael20.10.2006 klo 13:45
Ja seuraava tehtävä:Laadi sellainen tehtävä tai avaa sellainen säie, johon Jukkiksella ei ois mitään irvailtavaa.
Autsch... tää taitaa olla niitä mahdottomien sarjaan kuuluvia... :-P
4. MM20.10.2006 klo 14:21
Toivottavasti kukaan ei onnistukaan. Puree ainakin minun omalaatuiseen huumorintajuuni nuo Jukkiksen heitot.
5. Jukkis20.10.2006 klo 15:17
Mutta saisko nyt tarkennuksen tuohon tehtävään? Onko se niin, että a-kohdassa pelataan maksullisia pelejä niin monta kuin pelaaja haluaa? Jos näin, niin mikä on yhden pelin hinta? Vai yksi maksullinen peli? Minkä hintainen? Vai yksi ilmainen peli? Vai monta ilmaista peliä?
6. Matti20.10.2006 klo 16:15
Pelata saa niin monta kertaa kuin haluaa, ja joka rundilla menee uusi osallistumismaksu. Siis voi pelata vaikkapa 10 kertaa. Usein tulee ykkönen, ja se kierros menee nollille. Kymmenen kerran jälkeen voi laskea saldon, ja verrata sitä 10*osallistumismaksuun. Siis kuten pajatsoa pelaisi. Joka lyöntiin uusi kolikko taskusta. Kyllä tämä minusta on ihan selvä ja yksikäsitteinen.
7. Jukkis20.10.2006 klo 16:48
No on se hiukan selvempi kuin ensimmäisen selitysyrityksen jälkeen, yksikäsitteinen ei vieläkään. Mikä on osallistumismaksu? Jos se on esim. 100 euroa per peli, niin paras starategia on häipyä paikalta saman tien. Jos se on b-kohdassa todennäköisyystarkastelulla saatava rajatapaus, jolla pelissä pitkällä tähtäimellä pääsee just omilleen, niin ainakin minä noudattaisin silloinkin paikaltahäipymisstrategiaa.Eiköhän tämä tästä selvene, kun riittävän monta kertaa vängätään.
8. Matti20.10.2006 klo 18:39
a) -kohdassa siis kysytään, että jos on päättänyt pelata, niin millä strategialla voittaa keskimäärin eniten. Ja b) -kohdassa, että jos pelaa optimistrategialla, niin paljonko keskimäärin nettoaa per peli. Siitä voi sitten päättää, paljonko olisi valmis maksamaan per peli. Toivottavasti selveni vielä, edes vähän.
9. Jukkis20.10.2006 klo 19:31
Kyllä vähitellen selvenee. Alkuperäisen kysymyksen "milloin kannattaa lopettaa" on hiukka hämäävä. Jos peli on liian kallis, niin vastaus on tietysti että "ei kannata edes aloittaa".Mutta luulen ymmärtäväni nyt mitä ajetaan takaa. Ja uskallan väittää, että jos tähän on tarjolla yksinkertainen vastaus, niin se vastaus on väärä.
10. Matti20.10.2006 klo 19:46
a) -kohtaan on.
11. Jukkis20.10.2006 klo 20:14
No odotellaan vaikka huomisiltaan, jos vaikka joku muukin mietiskelee tätä. Sitten annat sen yksinkertaisen vastauksen, jonka minä sitten kumoan.
12. Juhani Heino20.10.2006 klo 20:23
Kun Matti kertoi paikalliskokouksessa tästä pulmasta, olin ehdottomasti sitä mieltä että kannattaa laittaa tänne. Luultavasti kannattikin, pohdiskelun vuoksi.Itseäni alkoi hämätä se että hyöty koko ajan pienenee, siis mahdollisesti hävittävä summa kasvaa. Mutta silti olen sitä mieltä että kannattaa jatkaa tiettyyn rajaan asti. En kerro vielä mihin, mutta helpolla laskutoimituksella sen saa, jos periaatteessani ei ole vikaa.
13. iso S20.10.2006 klo 20:28
Vastaana) kympin kohdalla jää omilleen; pienemmällä potilla kannattaa jatkaa, isommalla ei
b) tietysti mahdollisimman vähän, mutta jos on pakko niin vitosella voisi vielä lähteä mukaan. Laskeskelin kolmen heiton rajaan asti ja sain tulokseksi että on odotettavissa 1500/256=5.86 euroa, joten voittoa jää keskimäärin 86 senttiä per peli.
Pitemmälle laskemisella voisi selvitä että 6 euroakin olisi vielä teoriassa kannattava pelimaksu mutta ainakin rikastuminen sujuisi niin hitaasti että ei siinä tuntipalkoille pääsisi.
14. Jukkis20.10.2006 klo 20:35
En minä vissiin sittenkään ymmärtänyt tätä pulmaa, kun en tuosta iso S:n a-kohdan vastauksesta tajua yhtään mitään.
15. Juhani Heino20.10.2006 klo 21:22
Paljastetaan sitten oma arvelunikin: 20 euron kohdalla jäisi mun mielestäni omilleen. Siis jos potissa on 19 egeä, voisi vielä koettaa onneaan yhden kerran.
16. Jaska20.10.2006 klo 22:12
Matti ilmoitti, että pelin saa lopettaa milloin hyvänsä, mutta ei maininnut, saako ALOITTAA saman tien uuden pelin. Ainahan tuossa voitolle jäisi pitkässä sarjassa yhden pelin heittomäärällä 1, 2 ja 3 kerroinkeskiarvolla 4,00, kun jokaisen yksittäiseen heittoon vaaditaan uusi pelipanos. Edullisin strategia olisi tietenkin vain yksi heitto kerrallaan (osumatodennäköisyys 0,83) sai sitten yrittää kerran tai määrättömän monta kertaa. Jos peli on kerrasta poikki, pitää tietysti sijoittaa kaikki liikenevät rahat, muussa tapauksessa sijoitetaan määräosa pelikassasta esim. Kellyn kaavan mukaan.
17. Jukkis20.10.2006 klo 22:24
Hiukka lohduttaa tuossa Jaskan kirjoituksessa se että näköjään koko homma on mahdollista ymmärtää vieläkin pahemmin väärin kuin miten minä sen ensiksi ymmärsin.
18. Matti20.10.2006 klo 22:55
Juhani Heino, entä jos potissa olisi 20 egeä? Voisiko vielä koettaa onneaan yhden kerran?
19. Jaska20.10.2006 klo 22:56
Joo, en huomannut Matin täydennystä tuossa välissä, vaan elelin johdannon maailmassa. Yrittää saa siis niin monta kertaa kuin viitsii. Eipä tuosta nyt kuitenkaan vieläkään varmuudella voi päätellä, meneeko maksu jokaisesta yksittäisestä heitosta vai heittokierroksesta? Aihetodisteet viittaavat kuitenkin siihen, että kyse on kierroksesta, joka voi käsittää 1-n heittoa, ja siihen pitää sijoittaa panos. Tähän asti oikein? Edelleenkin väitän, että yhden heiton kierrokset pelikassaperiaatteella on paras strategia. Odotan kumouksianne.
20. Juhani Heino20.10.2006 klo 23:00
Matti, kyllä voisi, mutta koska tulos olisi ihan yhdentekevä (jos olen oikeassa), laiskuus voittaisi...
21. Jaska20.10.2006 klo 23:55
Peruutan aikaisemmat lausuntoni syyntakeettomuuteen vedoten. Äkillisen selväjärkisyyskohtauksen aikana tajusin, että yhden pelin nettovoitto on maksimissaan heittojen lukumäärä kertaa 6 euroa miinus panos. Lähdin vastoin Matin selväanaista ilmoitusta ensin siltä pohjalta, että pistemäärät ovat panoksen KERTOIMIA, kuten olisi tavallisessa vedonlyönnissä. Katsotaan nyt sitten huomenna, ei tämä hirmu vaikealta vaikuta.
22. Jaska21.10.2006 klo 12:23
Matin tehtävässä jäi askarruttamaan kohta "paljonko kannattaa maksaa". Mitähän tuo tarkoittaa? Jos pelissä on pakko olla panos, mutta pelaaja saa itse määrätä sen suuruuude, sen on tietysti oltava mahdollisimman pieni. Eurovaluutassa siis yksi sentti. Tullkitsen kuitenkin, että panoksen tulee olla yksi euro, ja em. kysymys tarkoittaa: mikä on edullisin heittomäärä kierrosta kohti. Siinä tapauksessa vastaus on edelleen sama: yksi heitto. Tiedän, että tämä aiheuttaa sääliviä vastalauseita, mutta olette väärässä! Miettikääpä asiaa kaikilta kanteilta. Peliä kannattaa jatkaa niin kauan kuin euroja riittää. Jos pankinpitäjä maksaa voiton joka osuman jälkeen, peliävoi jatkaa tietysti niin kauan kuin pysyy toimintakykyisenä eli pystyy heittämään noppaa, vielä pitemmälle viedyllä teoriatasolla ikuisesti.
23. iso S21.10.2006 klo 14:39
Kesätyöpaikassa 1973 pelattiin vähän samantyyppistä peliä, Ykköset ja viitoset. Siinä heitettiin viittä noppaa. Ykkösistä ja viitosista sai pisteitä ja pisteitä tuoneet nopat pantiin syrjään. Halutessaan sai jatkaa muilla nopilla. Jos kaikki viisi päätyivät pisteitä tuoneisiin, sai taas jatkaa viidellä nopalla. Jos heitti eikä saanut pisteitä, menetti kaikki pelikierroksella saadut pisteet. Ensimmäinen sovittuun pisterajaan päässyt korjasi potin. Tarkkaa pisteityssysteemiä en muista (kai ykkösestä tuli yksi ja vitosesta viisi mutta siinä saattoi olla jotain bonuksia jos heitti kolme ykköstä tai viitosta tai jotain vastaavaa). Tähän ainakin osasin laskea sellaisen taktiikan että jäin kesän aikana parikymppiä voitolle (ma-to pelattiin päivän päätteeksi peli 20 pennin panoksilla ja perjantaisin komeasti 50 pennillä).No, jos olen ymmärtänyt oikein, tämä peli on paljon yksinkertaisempi ja yhden heiton taktiikalla helppo laskea. Numerot 1-6 ovat yhtä todennäköisiä, joten joka kuudes kerta ei tule mitään, viisi kertaa kuudesta tulee keskimäärin 4 euroa (2+3+4+5+6)/5. Kaikkiaan yhden heiton taktiikalla tulossa olevan rahan odotusarvo on 0+2+3+4+5+6)/6=3.33 euroa. Pelaamisoikeudesta kannattaa maksaa tasaeuroina ajatellen enintään 3 euroa. Kolmen euron panoksella voittaa keskimäärin 33 senttiä per peli.
Heti on arvioitavissa että kannattaa jatkaa uudelleen jos on heittänyt ensimmäisellä kerralla enintään kolmosen. Toinen heitto tuottaa oletettavasti samat 3.33 euroa miinus alustavasti voitettu (2 tai 3) jos huono säkä käy. Suuremmilla voitetuilla summilla tuntuu riskaabelimmalta.
Oletetaan että pelaaja on jo voittanut x euroa. Jatkamisen seurauksena hän voittaa joka viides kerta keskimäärin neljä euroa lisää ja joka kuudes kerta menettää kaiken. Tämän odotetun tuloksen pitää olla suurempi kuin alkuperäinen x että riskinotto kannattaisi. Siis
(5/6)*(x+4)-(1/6)*x>x
kerrotaan kuudella: 5x+20-x>6x
Siirretään x:t oikealle: 20>6x-5x+x
summataan x:t: 20>2x
jaetaan 2:lla: 10>x eli x<10
Näin päädyn siihen tulokseen että kympilllä on keskimäärin sama lopettaako vai jatkaako. Pienemmillä voitoilla jatkaminen kannattaa ja suuremmilla ei.
Tätä voi kokeilla arvoilla 9, 10 ja 11 kuvitellen että pelataan 6 peliä ja saadaan jossakin järjestyksessä kaikki numerot 1-6 (kuten keskimäärin käy kuutta peliä kohti.
9: Tulos on (-9+11+12+13+14+15)/6=9.33
10: Tulos on (-10+12+13+14+15+16)/6=10
11: Tulos on (-11+13+14+15+16+17)/76=10.67
Nyt jos käyttää tätä tietoa hyväksi niin huomaa että ensimmäisen voittoheiton jälkeen kannattaa aina jatkaa, koska potissa voi olla enintään 6 euroa. Toisen jälkeen kannattaa jatkaa jos kasassa on edelleen alle 10 euroa.
Näin edeten päädyin siihen että kolmanteen heittoon asti laskemalla odotusarvo on 5.86 euroa per peli, joten vitosen sijoitus on vielä varmasti keskimäärin kannattava. Jäljellä on vielä runsaasti sellaisia heittoyhdistelmiä missä ei ole tullut ykköstä mutta summa on edelleen alle 10 joten oikea arvo on jonkin verran korkeampi, mutta ei luultavasti nose ainakaan paljon yli kuuden.
24. Jukkis21.10.2006 klo 14:57
Lieneeköhän tämä nyt Matin väitteen "aivan puhdas hoksaamistehtävä - matematiikkaa tarvitaan tuskin nimeksi." mukainen ratkaisu?
25. iso S21.10.2006 klo 15:16
Ei, mutta kun ei hoksaa niin täytyy turvautua työläämpään konstiin! Kiinnostavampi kuin keino on minusta tulos; onko ratkaisuni oikea jompaan kumpaan kohtaan, molempiin vai ei mihinkään koskaan ikinä milloinkaan?
26. Jukkis21.10.2006 klo 16:26
Jep, en minäkään ole hoksannut mitään yksinkertaista ratkaisua, paitsi väärän sellaisen. Monimutkainen ratkaisuni lähtee noudattelemaan periaatteeltaan suunnilleen tuota iso S:n logiikkaa, mutta on erilainen, ja luultavasti väärä sekin.
27. Jaska21.10.2006 klo 17:52
Vihdoin säteili, mitä se "paljonko kannattaa maksaa" tarkoittaa. Siis sitä, että mikä on panosraja voitollisen ja tappiollisen pelin välillä pitkällä tähtäimellä. Kannattaa maksaa siis alle ko. rajan. Elävässä elämässä pelinjärjestäjä vaatisi tietysti rajan ylittävän panoksen. Mainitun yhden heiton pelin raja on siis 3,33, kahden 5,55, kolmen 6,94, neljän 7,72, viiden ja kuuden 8,04, ja sitten raja alkaa pudota. Sen, millä panoksella itse kukin suostuisi osallistumaan, määrää voittotavoite ja siihen käytettävissä oleva aika, jota pitäisi olla mielellään tuhansiin pelikierroksiin. Täysiä päiviä kasinolla siis! Itse pelaisin yhden heiton kierroksia korkeintaan panoksella 3 euroa. Kuudella kierroksella = yhtä monella heitolla nettovoittoni olisi siis keskim. kaksi euroa. Kahden heiton kolmella kierroksella (yhtä monta eli 6 yksittäistä heittoa) nettovoittoni olisi sama kaksi euroa kahden kierroksen panoksen ollessa n. 4,90 euroa, siis 5 euroa tasaeuropanosedellytyksin (siinä teille taatusti ennen esiintymätön neliosainen yhdyssana!). Pitää siis ottaa huomioon peliin menevä aika. Kasinollahan olisi tietysti noppapeliautomaatti, joka heittää niin nopeasti kuin rahoja ennättää syöttää. Näillä perusteilla väitän, että kannattaa pelata vain yhden heiton kierroksia tiiviissä tahdissa. Ikävä vain, että kasino ja peli ovat näillä ehdoilla kuvitteellisia! - iso S:lle huomautus: kuudella heitolla jokaisen silmäluvun saamisen todennäköisyys on 720/46656 = n. 0,015. Onhan se todennäköisin silmälukuyhdistelmä, mutta en käyttäisi tässä termiä keskimäärin.
28. iso S21.10.2006 klo 17:59
Laskelmissani on virhe, joko edellisissä tai nykyisissä. Nyt saan tulokseksi että 6 euron pelimaksu on kannattava. Yhden-viiden heittokierroksen rajoituksella ja vain alle kympin potilla jatkamisella saan odotusarvot (noin) 3.33, 5.55, 6.69, 6.87 ja 6.88 euroa. Ymmärrettävästi viides kierros ei enää paljon lisälohtua tuo, koska neljällä kierroksella peli päättyy nollaan (tulee ykkönen) tai summa on useimmiten jo kasvanut kymppiin, jolloin ei kannata enää rasittaa rannetta. Alle pääsee vain heittämällä neljästi kakkosen tai kolmesti kakkosen ja kerran kolmosen (järjestys vapaa).Kolmella heitollakin ollaan jo lähellä sitä tulosta mihin voi päästä. Onhan kolmen nopan summan keskiarvo jo 10.5 eli yli jatkamisrajan ja alle kympin summista iso osa on sellaisia missä joku on ykkönen ja peli katkeaa.
Viidellä heitolla (mahdollisesti voinut peli katketa tai saavuttaa kympin, joten heitot ovat "virtuaalisia) päädytään 3185 kertaa nollaan ja tuloksiin 10-15 seuraavasti: 10/1249, 11/1205, 12/917, 13/587, 14/425 ja 15/208. Yli 15 euron ei voi optimitaktiikalla mennä koska ysiä isommilla ei enää heitetä.
29. iso S21.10.2006 klo 18:13
Jaska: käyttämäni termit ovat epäilemättä harhaoppisia sekä todennäköisyyslaskennan että kasinon kannalta. Edellisen viestisi loppuosassa putosin kärryiltä. Mitä tarkoitat silmäluvulla ja sillä että "kuudella heitolla jokaisen silmäluvun saamisen todennäköisyys on 720/46656 "?Kuten edellisistä selviää, mielestäni ei kannata jatkaa jos vähintään kymppi on tienattu. Silloin kuudetta heittoa ei kannata koskaan tehdä, koska viidellä on tullut vähintään yksi ykkönen (peli poikki) tai vähintään kymmenen euroa.
Jos tuo kympin raja pätee niin silloin sinun laskelmissasi täytyy olla virhe koska kuudes heitto ei voi parantaa tulosta, vaan se heikkenee.
Mielipiteitä: kymppi oikea keskeyttämisraja, Heinon huimapäinen 20 oikea, muu, mikä?
30. Jukkis21.10.2006 klo 19:31
Tämän hetken näkemykseni: Viides heitto oikea keskeyttämisraja. Tällöin keskimääräinen tulos 8.04 euroa. Tuon summanhan Jaskakin totesi, joskin sen jälkeen tipuin hänen jatkoselityksestään kärryiltä.
31. iso S21.10.2006 klo 19:40
Siis heittojen määrä ratkaisee keskeyttämisen eikä siihen asti kerätty summa? Jos on heittänyt neljä kutosta niin antaa mennä kun on putki päällä, mutta jos on heittänyt viisi kakkosta niin lopetetaan kun ykköset ovat koko ajan uhkaavan lähellä? Edellisessä tapauksessa olisi 24 euroa varmaa, jälkimmäisessä 8.Onko nopilla se muisti mikä lottopalloilta puuttuu? Rankaisevat jos yrittää kuudetta kertaa :-(
32. iso S21.10.2006 klo 19:41
No niin, menee sekaisin kierrosten määrät. Jälkimmäisessä tapauksessa olisi käteen tulossa tietysti kymppi eikä 8.
33. Jukkis21.10.2006 klo 20:08
No kuule herra S-herra, jos oman päättelysi tuloksena on tommoinen surkeat kuusi euroa, niin kannattaisi pitää vähän pienempää suuta. Jos lopettaa ilman poikkeuksia viidenteen heittoon, niin keskitulos on 8.04 euroa. Se, miten paljon tuo tulos on kenties parannettavissa tommoisella ehdollisella taktikoinnilla kuudennen ja sitä seuraavien heittojen avulla, ei meikälle ole oikein vielä auennut. Saa tutkia.Mutta Matti voisi jo sen hoksaamalla ilman matematiikaa saatavan vastauksen tänne heittää, ettei meidän hoksottimettomien tarvitsi enää itseämme tämän enempää nolata.
34. Jukkis21.10.2006 klo 20:38
Laskin tuossa että jos viiden heiton taktiikkaa kehittää niin, että heittää kuudennen, jos on saanut viisi kakkosta, niin keskimääräinen tulos paranee noin 0.1 senttiä. Eli optimaalinen tulos varmaankin vaati tommoista ehdollista taktikointia. Mutta sen todellisen optimin löytäminen vaikuttaa niin mutkikkaalta, että en minä ainakaan jaksa tällä tiellä jatkaa. Täytyy odottaa sitä hoksausratkasua.
35. iso S21.10.2006 klo 21:14
No kuule Jukkis-herra, toinen meistä on nyt jyrkästi väärässä ja valitettavasti se olen minä! Juhani Heinon 20 on oikea keskeyttämisraja, joten ääritapauksessa vielä 9. heitonkin jälkeen kannattaa jatkaa (9 kakkosta putkeen).Sotkin kaavaani menetettävää rahaa (se mikä on saavutettu ja hukataan ykkösellä) ja onnistumisen jälkeistä summaa, kun olisi pitänyt käsitellä joko nollaa ja lisättyä summaa tai menetettävää ja entisen lisäksi saavutettavaa summaa.
Näin korjattuna vastaava vertailu euromäärille 19-21:
19: Tulos on (-19+2+3+4+5+6)/6=0.1667
20: Tulos on (-20+2+3+4+5+6)/6=0
21: Tulos on (-21+2+3+4+5+6)/6=-0.1667
19 eurolla heittäminen kannattaa, 20:llä samantekevää, 21:llä menee tappion puolelle. Kun siirtää keskeyttämisrajan 20:n kohdalle pääsee oletettavasti Jukkis-luokan tuloksiin.
36. Matti21.10.2006 klo 21:23
Laitan vasta maanantaina sen hoksaamisjutun, että saan tärvellä joidenkin sunnuntaipäivät :-)(Tämä on kompensaatiota siitä, että IS:n kolmepalloset eivät aukea.)
37. iso S21.10.2006 klo 21:28
No niin, korjattu laskelma: jos lopettaa aina kun potti menee yli 19 niin kierroksittain keskiarvo on 1: 3.333, 2: 5.556, 3: 6.944, 4: 7.716 ja 5: 8.045.Kuudetta heittoa en ole laskenut mutta maatiaissian järkikin sanoo ettei tulos siitä paljon parane. 8 euroa olisi kuitenkin vielä sellainen pelimaksu että sillä tulisi niukkaa voittoa.
38. Jaska21.10.2006 klo 21:38
iso S vertailee tilannetta, jossa neljän heiton jälkeen on kasassa 24 euroa ja viiden heiton jälkeen 10 euroa. Tapausten todennäköisyydet ovat 1/1296 ja 1/7776. Ymmärrän nyt vihdoin viimein, että kun säännöt sallivat pelin lopettamisen milloin tahansa, ei heittomäärää per peli tarvitse valita etukäteen. Miten sitten pitäisi menetellä em. tilanteissa? Itse lopettaisin kierroksen saatuani neljä kuutosta peräkkäin, tili ulos ja sitten sen kun aloittamaan uusi peli, vaikkapa vain yhden heiton sellainen. Jos tulee ykkönen, niin se 24 euroa on kuitenkin plakkarissa. Matin säännöistä ei ilmene, että tämä olisi kiellettyä. iso S:lläkin olisi vapaus päättää etukäteen mikä on voittotavoite ja menetellä sen mukaan. Jos voittotavoite on neljällä peräkkäisellä kuutosella täysi, voi lopettaa, jos ei, on siinä perustetta jatkaa. Kaikki riippuu siitä, mikä on panos ja onko etu pelaajan vai järjestäjän puolella.Omassa kasinohuumassani lähdin siitä elävän elämän käytännöstä, että pelimuoto on valittava etukäteen. Ei sekään estä voitollista pelaamista pitkässä sarjassa, jos etu on pelaajan puolella, siis että pelikohtainen panos tuottaa laskennallisesti voittoa. Työpaikan noppapeleissä se on mahdollista, jos pankinpitäjä on laskenut väärin todennäköisyydet. Pelikasinon ekspertit tuskin niissä erehtyisivät, mutta pelistä voi silti saada maallikkoa houkuttavan. RAY voisikin kokeilla juuri tätä Matin peliä (eihän se vielä ole käytössä?) vaikkapa kuuden heiton pelillä, joka toteutetaan peliautomaatilla kuudella nopalla. Automaattiin syötetään panos 10 euroa, käynnistetään kuusi noppaa tanssimaan näyttöruudulla, ja voittopisteet ilmestyvät näytölle noppien pysähdyttyä. Piste- ja euromäärillä 12-36 pelaajien palautusprosentti olisi 80, mutta sitä olisi varaa nostaa esim. palkitsemalla maksimi 36 pinnaa isommalla summalla.
Jokaisen silmäluvun saamisella tarkoitin silmälukujen jakaumaa 1,2, 3, 4, 5, 6 kuudella yhden nopan heitolla, tai yhdellä kuuden nopan heitolla. Joka heitolla tai joka nopassa siis eri silmäluku. Jakauman todennäköisyys on siis kolmella desimaalilla 0,015.
39. iso S21.10.2006 klo 22:04
Onhan tässäkin pelimuoto valittava etukäteen, mutta pelimuotoon kuuluu se että heittojen määrä voi vaihdella. Voihan blackjackia tai ties mitä venttiä pelatessakin (en ole mikään korttipeliasiantuntija, siinä taas sana neliyhdyssanoihin) nostaa tai olla nostamatta ja joutuu miettimään kannattaako ottaa riski (mikä sisältyy kumpaankin vaihtoehtoon).Laskin tilanteen 9. kierrokseen asti, minkä jälkeen ei voi olla niin vähän kasassa että kannattaisi jatkaa. Tulos jatkokierroksien jälkeen on 6: 8.12952, 7: 8.14101, 8: 8.14177 ja 9: 8.14179 euroa. Viimeisten kierrosten poisrajaaminen ei siis paljon lompakkoa kirpaisisi. Tilanne on tietysti lievästi toinen siinä vaiheessa jos säkällä pääsee yrittämään yhdeksän kakkosen jälkeen. Silloin keskimääräinen hyöty on sama 0.16667 euroa kuin aikaisemmilla kierroksilla saavutetussa 19 euron tilanteessa.
Jaska: ihmetykseni syvenee. Miten tähän peliin liittyy tuo kuuden erilaisen silmäluvun tapaus? Tässähän voi tulla sama silmäluku monta kertaa ja lisäksi numeroiden ilmestymisjärjestys vaikuttaa pelin kulkuun. Jos on sattunut tulemaan numerot 2-6 niin viisas pelaaja lopettaa koska niiden summa on 20, joten ykkönen ei pääse viemään pottia.
40. Jaska21.10.2006 klo 22:23
iso S,se ei liity tähän peliin sen kummemmin kuin sinun "saadaan jossakin järjestyksessä numerot 1-6 (kuten keskimäärin käy kuutta peliä kohti)". Yritin selventää sulkeissa olevaa arviotasi kertomalla ko. jakauman todennäköisyyden. Unohdetaan tämä sivujuonteemme, jos se sinua ihmetyttää tai häiritsee.
41. iso S22.10.2006 klo 13:07
Minäkö unohtaisin? En muistaakseni ole koskaan unohtanut mitään!Oma heikosti muotoiltu esimerkkini liittyi tiukasti tähän peliin. Yritin havainnollistaa tilannetta "maallikon todennäköisyyslaskennalla" sortumatta kuitenkaan väärään lopputulokseen. Näin kuitenkin pääsi käymään ensimmäisellä yrityksellä kun rinnastin vääriä asioita.
Riittävän monta kertaa kun heitetään niin kutakin numeroa tulee tarvittavalla tarkkuudella yhtä paljon, eli keskimäärin joka kuudes numero on ykkönen, samoin 2-6. Silloin tilanne voidaan yksinkertaistaa lopettamisrajan hakemiseksi olettamalla että nuo kaikki yhtä todennäköiset tapahtumat sattuvat peräkkäisissä peleissä. Silloin ei tarvitse laskea hankalilla murtoluvuilla. Olisiko tämä peräti se Matin lupailema ratkaisu missä ei tarvita paljon matikkaa?
Siis, edellisiä edelleen yksinkertaistaen ja kokeiluntarpeen poistaen, meillä on 6 yhtä todennäköistä mahdollisuutta: menetetään kaikki tai saadaan lisää 2, 3, 4, 5 tai 6 euroa. Noiden voittomahdollisuuksien summa on 20 ja koska kaikki mahdollisuudet olivat yhtä todennäköisiä niin 20 euron menettämisuhan kohdalla tilanne on tasapainossa, pienemmillä poteilla voitontoive on menettämisuhkaa suurempi ja suuremmilla poteilla päinvastoin.
b-kohdassa odotan jännityksellä sitä miten hyvän likiarvon saa helposti (kuinka hyvän, kuinka helposti).
42. Matti22.10.2006 klo 14:24
Kun ne ratkaisut jo yllä ovat, en odottele enää huomiseen.Tiivistäen:
Optimistrategia, siis heittääkö vielä vai ei, ei voi riippua mistään muusta kuin siinä vaiheessa koossa olevien pisteiden määrästä, ei esim. siitä kuinka monta kertaa sillä kierroksella on jo heittänyt, tai mitä numeroita siihen mennessä on tullut. Arpakuutiolla ei ole muistia sen enempää kuin lottopallollakaan, kuten yllä jo huomautettiin.
Olkoon siis koossa n pistettä. Jos heittää vielä kerran, potti kasvaa keskimäärin 2/6+3/6+4/6+5/6+6/6 - n/6 pistettä. Tämä on nolla, kun n = 20 pistettä. Kannattaa siis lopettaa kun koossa on 20 pistettä tai yli. (Tämä on suoraa lainausta teksteistänne.) Tätä tarkoitin hoksaamisella, johon matematiikkaa tarvitaan tuskin lainkaan.
Jos saa kasaan tasan 20 pistettä voi heittää vielä kerran tai olla heittämättä, ihan miten vaan, keskimääräinen saalis ei muutu. Itse en varovaisena miehenä heittäisi, kuten ei Juhani Heinokaan laiskana :-)
Yhdellä onnistuneella heitolla saa keskimäärin (2+3+4+5+6)/5 eli 4 pistettä. Onnistuneita heittoja siis tarvitaan keskimäärin viisi. Tälle todennäköisyys on (5/6)^5, joten yhdellä kierroksella saa keskimäärin 4*5*(5/6)^5 eli noin 8,038 pistettä, kuten yllä on jo laskettu.
Tämä on kuitenkin likiarvo. johtuen siitä, että tässä kahden satunnaissuureen, heittojen määrän ja onnistuneen kierroksen pistemäärän, tulon keskiarvo korvataan keskiarvojen tulolla, ja tämä olisi luvallista vain jos ko satunnaissuureet olisivat toisistaan riippumattomia (oik. korreloimattomia), mitä ne eivät ole. Tarkka arvo on noin 8,142.
Tuo 8,038 on tarkka lopputulos sellaiselle strategialle, että yritetään heittää aina viisi kertaa mutta ei enempää. Näin lähelle optimia siis tälläkin strategialla päästään.
Tarkan arvon laskeminen on työlästä ja tylsää. Pitää käydä systemaattisesti läpi kaikki mahdolliset polut aina kymmeneen heittoon saakka. Aluksi tehtävä tuntuu toivottomalta, mutta järjestämällä laskut ja käyttämällä Exceliä se kyllä onnistuu.
43. Jukkis22.10.2006 klo 14:33
Hyvä tehtävä. Nyt vasta ymmärsin tuon, mitä iso S jo yritti selostaa. Eipä olleet hoksottimet meikällä oikein kunnossa.
44. Jaska22.10.2006 klo 15:06
Niin, koska pistemäärien 20/24 suhde on sama kuin heiton osumatodennäköisyys, voi heittää vielä kerran tai olla heittämättä kannattavuusnäkökohdan huomioon ottaen. Laskennallinen potti on siis samansuuruinen. Kannattavuudesta puheen ollen, voisitko sinä Matti kysymyksen esittäjänä ja tehtävään muutenkin parhaiten perehtyneenä vielä laskea ne laskut ja ilmoittaa sitten vastauksen kysymyksesi kohtaan b)?
45. Matti22.10.2006 klo 15:55
b) -kohdassa kysytään, paljonko osallistumisesta kannattaa maksaa. Vastasin kuitenkin kysymykseen paljonko pelissä yhdellä kieroksella voittaa: noin 8,142 euroa. Se ei tietysti ole vastaus b) -kohtaan.No paljonko osallistumisesta siis kannattaa maksaa. Se on subjektiivinen kysymys, johon jokaisella saattaa olla eri kanta. Jos maksaa 8 euroa, nettoaa keskimäärin 14,2 senttiä per kierros, jos 7 euroa, lompsaan jää keskimäärin 1,142 euroa per kierros, jne. Ei kai tähän tämän tarkemmin voi vastata.
Se tarkka arvo on muuten 492 303 203/(6^10).
46. Jaska22.10.2006 klo 19:38
Kiitos, samaa siis arvelin b-kohdasta. Halusin vain varmistaa, ettei siihen kätkeytynyt mitään "jujua".
47. Matti17.11.2006 klo 11:24
T&T:ssä oli tällainen ihan näppärä tehtävä:On muodostettava kaikki luvut 0,1,2, ... 25 käyttämällä viittä kakkosta, neljää peruslaskutoimitusta ja sulkuja. Siis viittä kakkosta on pakko käyttää, laskutoimituksia ja sulkuja tarpeen mukaan.
Esim. 7=2*2*2 - 2/2 ja 15=22/2 + 2 + 2.
Kaikki muut luvut onnistuivat aika helpolla, mutta 13 ja 17 eivät synny millään. Apuuva, auttakaa!
48. Teemu Pallonen17.11.2006 klo 11:30
13 = (22 + 2 + 2) / 2
49. Sakke17.11.2006 klo 11:42
17 = 2 potenssiin(2*2) + (2/2)Siis toi 2*2 on siellä potenssissa. Kaip tommonen kelpaa Mutikaisellekin
50. Jaska17.11.2006 klo 14:21
Matti ei ilmoittanut, onko potenssiin korotus sallittu. Siitä ei tainnut olla mainintaa lehdessä? Matti lienee olettanut, ettei sitä hyväksytä, koska muutenhan hän olisi itsekin selvinnyt helposti 17:stä? Onhan potenssiin korotus kertolaskua, mutta toisaalta laskimessa sillä on oma näppäimensä ja kertolaskulla omansa.Ratkaisussa on oltava siis viisi numeromerkkiä, joiden kaikkien on lisäksi oltava kakkosia, eikö niin. Ei minullakaan sytytä, miten se olisi mahdollista ilman potenssiin korotusta. Tai miksei kikkailemalla, mitä tehtävän muotoilussa ei ehkä ole nimenomaan kielletty: 17 = 22 + 2/2 - 2. Lisätehtävä: mikä on kikka?
51. Matti17.11.2006 klo 15:00
Teemu hokas 13, vaude. Sovitaan, että potenssiin ei saa korottaa. Ja pysytään 10-järjestelmässä.Kuulin juuri vitsin. Mitä lukee Gigantin myyjän palkkanauhassa?
52. Gig-Antti17.11.2006 klo 15:17
Se nyt olisi tyhmää maksaa liikaa.
53. Jaska17.11.2006 klo 17:34
Ei onnistu 17 ilman kikkailua. Siis esim. potenssiin korotus, 8-järjestelmä (ratkaisun osalta) tai [(2+2+2) yli 2] + 2. Ei siis ole "rehellistä" ratkaisua!
54. Matti17.11.2006 klo 17:51
Siltäpä tuntuu, mutta voiko sen todistaa? Joku älypäähän saattaisi löytää "rehellisen" ratkaisun. Toi 6 yli 2 + 2 oli kyllä ihan hyvä.Ensi torstaina nähdään lehden ratkaisu. Saa nähdä onko aah- vai plääh-elämys.
55. Sakke17.11.2006 klo 17:58
Mikäs tämä potenssiongelma nyt oikein on? Miksei sitä lasketa peruslaskutoimitukseksi vaan kikkailuksi?
56. Jyrki17.11.2006 klo 19:03
Tehtävänannossa lukee: käyttämällä neljää peruslaskutoimitusta. Ymmärtääkseni ne neljä tarkoittavat yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskua.
57. Jukkis17.11.2006 klo 19:37
Déjà vu. Lainaan soveltaen itseäni säikeestä "2412. Kevätpulma", 24.3.2006 klo 12:01:
Eihän kokonaislukupotenssiin korottaminen ole mikään laskutapa, vaan toinen tapa merkitä kertolasku. Jos kertolasku on sallittujen joukossa, niin silloin "2 potenssiin 2*2" on tietysti sallittu.
58. Jaska17.11.2006 klo 22:24
Sakke, ongelma oli Matin arvelu, ettei se ole sallittua "kikkailua". Jukkiksen tiedotteen jälkeen veikkaan, että se on sallittua ja myös lehden ratkaisu, joten kunnia Sak(k)elle (en tiedä miten S. itse taivuttaa).
59. Matti18.11.2006 klo 01:23
Sakke, nuori mies, unohda potenssiongelmat. Jyrkin, Jukkikisen ja Jaskan kanssa olen aivan samaa mieltä. Siis veikkaanpa Jaskan tavoin, että lehden ratkaisu on sama kuin Sak(k)en. (Jaska, en minäkään tiedä.)Potenssiin korotus on kertolaskua vain niin kauan kuin korotetaan kokonaislukupotenssiin. Mutta tässähän tehdään juuri niin.
60. Juhani Heino18.11.2006 klo 02:05
Vielä toinen kikkailu - ei sanottu millaisia sulkuja pitäisi käyttää:[22-2-2,2] eli kokonaisosa 17,8:sta, siis 17. Mutta tämä kai hylätään sillä perusteella että Matin tehtävänannossa ei mainittu desimaalipilkkua.
61. Jyrki18.11.2006 klo 06:21
Jos kokonaislukupotenssiin korottaminen lasketaan peruslaskutoimitukseksi (koska se on kertolaskua), niin sitten varmaan esim. kertomaakin voidaan pitää peruslaskutoimituksena (sekin on vain kertolaskua), vai mitä?Juhani Heino: En muista koskaan nähneeni, että hakasulut tarkoittaisivat kokonaisosan ottamista.
62. Matti18.11.2006 klo 15:47
Juhani Heinon "ratkaisu" on mielestäni mainio - joskaan ei "sääntöjen" mukainen. Mielestäni desimaaliluvun kokonaisosa merkitään juuri noin.Jyrki, yritin kertomaakin käyttäen sitä 17:ää mutta ei onnistunut. Ainoa rakennuspala sitä käyttäen kai olisi (2+2)! eikä tämäkään olisi "sääntöjen" mukainen. Siis odotellaan.
63. Juhani Heino18.11.2006 klo 16:04
Jyrki, olen samaa mieltä että jos potenssi sallitaan, silloin myös kertoma ja kombinaatio (jota Jaska käytti) pitää sallia.Hakasulut opin muistaakseni jostain abstraktin algebran kirjasta. Nyt täytyy tyytyä näihin lähteisiin: http://users.skynet.be/worldofnumbers/sumpower.htm
http://www.mathpages.com/home/kmath316.htm
http://artsandsciences.virginia.edu/cue/oculus_web site/ExtractedPDF/Laszlo_Egri.pdf
On kyllä totta, että jos on laaja merkistö käytössä, voi tehdä floor-funktion - kokeilen nyt toimiiko täällä:
⌊22-2-2,2⌋
64. Jyrki18.11.2006 klo 16:43
Tuo hakasulkujen käyttö kokonaisosan merkkinä oli kyllä uutta, mutta samalla vähintäänkin hämäävää. Tuossa jälkimmäisen linkin tekstissäkin jopa samassa lausekkeessa hakasulkuja käytetään sekä suljetun lukuvälin että kokonaisosan merkkinä: [2, [f(n)]] tarkoittaa siis lukuväliä 2:sta funktioarvon f(n) kokonaisosaan, molemmat rajat mukaan lukien. (Tekstissä funktiona on neliöjuuri, mutta sen merkkiä välttääkseni laitoin tässä nyt funktiomerkinnän.)No, ei se mitään, minun puolestani saa merkitä noinkin, olipa vain jostain syystä minulle outo merkintä. Itselleni tutumpi on laskimissa ja tietokoneissa käytössä oleva fix()- tai int()-funktio (noitakin kahta käytetään vähän sekaisin joskus).
En ole löytänyt, tai oikeastaan edes yrittänyt löytää kertomaa käyttäen ratkaisua luvulle 17. Otin kertoman vain esimerkiksi siitä, että tietysti peruslaskutoimitus-termiä voi laajentaa monella tapaa - vaikkapa logaritmeihinkin, joiden yhteenlaskukin on "vain kertolaskun muoto". Mutta silti minusta peruslaskutoimitukset ovat vain ne neljä. Tiedä sitten, mikä tehtävän vastaus oikeasti tulee olemaan luvun 17 osalta, eli onko sääntöä venytetty :D.
65. Jukkis20.11.2006 klo 19:09
Alkuperäinen tehtävä lehdessä oli:"Muodosta numerot nollasta kymmeneen käyttämällä kuhunkin viittä kakkosta, peruslaskutoimitusten merkkejä ja sulkeita."
Tuossa muodossa esitettynä ("peruslaskutoimitusten merkkejä ja sulkeita") tietysti potenssiin korotus ja yli-kombinaatio on sallittuja, kertoma ja desimaalipilkun käyttö ei. Tosin niitähän ei tarvita lukujen 1-10 esittämiseen.
Seuraavassa lehdessä sitten muistetaan väärin, että tehtävässä muka "pyydettiin muodostamaan luvut nollasta kymppiin käyttämällä viittä kakkosta ja peruslaskutoimituksia". Noin sanottuna potenssin, kombinaation, kertoman ja desimaalipilkun sallittavuutta voi sitten spekuloida, kuten edellä olemme tehneet. Lehden tulkinta saadaan ehkä torstaina kun jatkotehtävän ratkaisu tulee. Tämän jatkotehtävän sanamuoto on tämmöinen:
"Tätä voi jatkaa. Ainakaan ensimmäisten 25 luvun kohdalla pärjätään viiden kakkosen voimin. Miten siis muodostetaan luvut 11-25 samalla menetelmällä?"
Että eivät siis tuotakaan osanneet selkeästi ilmaista. "Ainakaan ... pärjätään ...". Höh.
66. Jukkis23.11.2006 klo 12:50
Tekniikka ja talous -lehden ratkaisu löytyy tästä:http://www.tekniikkatalous.fi/doc.ot?f_id=1069832
Potenssejahan siellä on käytetty, vaikka niitä ei kovin äkkiä potenssiinkorotuksiksi voi tekstistä tunnistaakaan.
67. airisto23.11.2006 klo 13:09
Siinähän sai "peruslaskutoimitus" aivan uuden määrittelyn.
68. Matti23.11.2006 klo 13:44
Oli siis kuitenkin plääh-ratkaisu. Aah-ratkaisua ei ilmeisesti ole.Uudessa pulmassa pitäisi samalla tavalla muodostaa numerot 0,1,2, ... ,10 neljällä nelosellä.
69. kudos7.9.2007 klo 17:07
Tekniikka & Talous nro 29/07:Pähkinä
Paavo pyrki pari vuotta sitten Teknilliseen korkeakouluun. Pääsykoetehtävissä kysyttiin, mikä on seuraava murtoluku sarjassa 4/16, 5/52, 6/63, 7/94, 8/46, ...
xxxxxxxxxxxxxx
Mielestäni tuossa murtolukujen sarjassa on virhe. Mikä?
70. Matti7.9.2007 klo 20:11
On siinä virhe, ensimmäisen kuuluu olla 4/61.
71. Jaska7.9.2007 klo 22:31
No mikä se seuraava on?
72. Juhani Heino9.9.2007 klo 12:27
Jaska, tuo virhe antaa vinkin. Katso sitä tarkkaan.
73. iso S9.9.2007 klo 20:10
Vähän sellainen hytinä on että puolikas olisi arvoltaan lähellä oikeaa, vaikkakaan ei esitysmuodoltaan. Seuraava onkin mielenkiintoisempi tapaus. Pompsahtaisiko peräti kokonaisluvuksi?
74. Jaska9.9.2007 klo 20:16
Jaha, kiitos. Olisi pitänyt heti katsoa tarkkaan. Seuraava siis 9/27.
75. Juhani Heino9.9.2007 klo 20:41
Jaska, ei ihan - vielä on pientä laittoa. Tai sitten löysit toisen logiikan.S, ehkä osoittajallekin pitäisi tehdä sama temppu. Kokonaisluku tulee joka tapauksessa.
76. kudos9.9.2007 klo 21:00
Juhani Heino, ei pidä yrittää tehdä sellaista, jota ei voi päätellä sarjan annetuista termeistä.
77. Jaska9.9.2007 klo 21:28
Juhani Heino kehotti minua syynäilemään sitä "virheellistä" murtolukua. No tein työtä käskettyä, siinä oli nimittäjän 16 eli osoittaja neljä toiseen potenssiin. Muissa luvuissa osoittajan toista potenssia markkeeraavan nimittäjän numeromerkit on vaihdettu päinvastaiseen järjestykseen, joten loogisesti ekan luvun pitäisi olla 4/61. Tämä (vain) kuusi murtolukua käsittävä sarja on siis 4/61, 5/52, 6/63, 7/94, 8/46, 9/27. Paavoltahan kysyttiin sarjan seuraavaa lukua, jos on 9/27, niin mitä viilaamista se vielä kaipaa?
78. Juhani Heino9.9.2007 klo 22:28
Jaska, onko 9:n toinen potenssi 72?Kudos on ihan oikeassa, mutta tämä olikin mun ja S:n joutavaa pohdiskelua. Jos seitsemäs luku tulisi, se olisi joko 10/001 eli 10 tai 01/001 eli 1.
79. kudos9.9.2007 klo 22:28
Jaska, päättelysi on oikein, mutta laskutaitosi on hieman ruosteessa.
80. Matti9.9.2007 klo 23:33
Juhani Heino, millä päättelyllä seitsemäs luku voisi olla myös 1 ? En väitä vastaan - en vain tajua.
81. Juhani Heino9.9.2007 klo 23:43
Matti, kun nimittäjä kerran käännetään takaperin, loogiselta tuntuisi että osoittajalle tehtäisiin sama. Mutta kuten todettu, joutavaa pohdiskeluahan tämä on. Siinä vain on tiettyä "matemaattista kauneutta": jos kääntäminen tehdään ennen potenssin ottamista, tuloksena on 01/1 eli sama 1 kuin tapauksessa 01/001.
82. Jaska10.9.2007 klo 00:20
No taas tuli todistettua, ettei pidä riemastua kun on keksivinään jonkun jujun ratkaisun, ennen kuin on sen tsekannut, tsekannut ja tsekannut (muodissa!). Mulle tuli siis täydellinen oikosulku tuon viimeisen termin kanssa. Piti siis olla 9/18. Matti raportoinee aikanaan lehden ratkaisun, joka siis voi olla jotain muuta?
83. iso S10.9.2007 klo 09:04
Kuten todettu, lähtötiedot ovat ensinnäkin virheelliset ja toiseksi puutteelliset. Jää mielikuvituksen varaan, mitä pitäisi tapahtua kun osoittaja kasvaa kaksinumeroiseksi ja nimittäjä samalla kolminumeroiseksi.Tuntuu loogiselta ajatella että nimittäjän numerot käännetään edelleen päinvastaiseen järjestykseen, mutta pitääkö osoittajalle tehdä samoin? Yksinumeroisista on mahdoton tietää onko niiden järjestys käännetty.
Jos annettujen numeroiden nimittäjät käännetään ja murtoluvut supistetaan (ja korjataan ensimmäinen), saadaan sarja 1/4, 1/5, 1/6, 1/7 ja 1/8. Näin ajatellen tuntuu selvältä että seuraavien pitäisi olla 1/9, 1/10, 1/11...
9/18 toteuttaakin tämän: numerot kääntäen saadaan 9/81 eli 1/9. Seuraavassa päästään "oikeaan" tulokseen vain jos ei käännetä mitään: 10/100 = 1/10.
Heinon kommentin perusteella näyttää siltä että kymmenennessä luvussa on peräti neljä erilaista mahdollisuutta, riippuen siitä mitä käännetään ja missä vaiheessa. Puolet näistä tosin antaa kympin kohdalla saman lopputuloksen, mutta periaatteeltaan eri tavalla (tämä tulee esille kun sarjaa jatketaan). Lisäksi on tuo viides mahdollisuus, että jostain syystä kääntäminen lopetetaan kympin kohdalla.
Osoittaja voi olla käännetty tai kääntämätön, siis 10 tai 01. Käännettävä nimittäjä voidaan muodostaa käännetyn tai kääntämättömän osoittajan potenssina, siis 10*10=100 => 001 tai 01*01=1 => 1. Annetuissa luvuissa mikään ei kumoa yhtäkään näistä mahdollisuuksista. Käännellen voidaan siis saada tulokset 10/001=10, 10/1=10, 01/001=1 ja 01/1=1. Mikään näistä ei ole tuon "kääntäminen peruutettu" -sarjan perusteella odotettu tulos.
11 on sikäli erikoinen tapaus että se itse ja sen toinen potenssi 121 ovat palindromeja. Tulos on siis 11/121=1/11 käännetäänpä mitä vain, milloin vain, tai ollaan kääntämättä. Tässä siis palataan odotettuun tulokseen.
12 antaa mahdolliset tulokset 12/441, 12/144, 21/441 ja 21/144 (12*12=144, se käännettynä on 441. 12 käännettynä on 21, 21*21=441, se käännettynä on 144). Odotettu tulos saadaan jos osoittajaa ei käännetä mutta nimittäjä muodostetaan kääntämällä käännetyn osoittajan neliö.
Vielä 13 toimii samalla tavalla kuin 11 ja 12: luvun potenssi käännettynä on sama kuin käännetyn luvun potenssi. 13*13=169 => 961 ja 31*31=961. Vaihtelua elämään saadaan vasta 14:n kohdalla. Siinä mahdolliset tulokset ovat 14/691, 14/1861, 41/691 ja 14/1861 (14*14=196, 41*41=1681). Nyt ei odotettua tulosta 1/14 saavuteta millään vaihtoehdolla.
Jännityksellä odotamme "oikeaa" ratkaisua.
84. Matti13.9.2007 klo 20:07
T&T:n ratkaisu oli odotettu 9/18.Uusin pulma on ihan kiva. Ei kovin vaikea, mutta ei myöskään ilmeinen.
Minulla on 10 kpl 10 euron ja 10 kpl sadan euron seteleitä, sekä kaksi kirjekuorta. Panen toiseen kuoreen haluamani määrät kymppejä ja satasia, ja toiseen kuoreen loput setelit.
Onnetar arpoo ensin yhden kuoren satunnaisesti, ja sitten arpomastaan kuoresta satunnaisesti yhden setelin, jonka saan pitää.
Voinko laittaa setelit kuoriin siten, että pystyn maksimoimaan satasen todennäköisyyden, ja jos voin niin miten?
85. Juhani Heino13.9.2007 klo 20:29
Äkkiseltään tuli mieleen ratkaisu joka tuntuu oikealta, mutta en ole vielä varma. Joka tapauksessa kiva pohdittava.
86. Jaska13.9.2007 klo 21:30
Helppo, jos nolla hyväksytään "haluamakseni määräksi". Toiseen kuoreen pelkkä satanen, toiseen loput setelit.
87. Juhani Heino13.9.2007 klo 22:43
Samaan päädyin mäkin. Lasketaan sitten tulos: toisesta kuoresta tulee satanen varmasti, toisesta todennäköisyydellä 9/19. Eli (1 + 9/19) / 2 = 28/38, noin 0,737
88. iso S14.9.2007 klo 09:37
Minusta tilanne näyttää tältä. Ensimmäisessä sarakkeessa on kymppien ja toisessa satasten määrä 1. kuoressa, kolmannessa sarakkeessa satasen saamisen todennäköisyys. Rivit on lajiteltu laskevasti todennäköisyyden mukaan.0, 1: 0.737
0, 2: 0.722
0, 3: 0.706
0, 4: 0.688
0, 5: 0.667
0, 6: 0.643
0, 7: 0.615
1, 4: 0.600
1, 5: 0.595
1, 3: 0.594
0, 8: 0.583
1, 6: 0.582
1, 2: 0.569
1, 7: 0.563
2, 5: 0.549
2, 4: 0.548
0, 9: 0.545
2, 6: 0.542
1, 8: 0.535
2, 3: 0.533
2, 7: 0.525
3, 5: 0.521
3, 4: 0.516
3, 6: 0.515
4, 5: 0.505
5, 5: 0.500
4, 6: 0.500
4, 4: 0.500
3, 7: 0.500
3, 3: 0.500
2, 8: 0.500
2, 2: 0.500
1, 9: 0.500
1, 1: 0.500
0, 10: 0.500
5, 6: 0.495
5, 4: 0.495
4, 7: 0.485
4, 3: 0.484
5, 7: 0.479
5, 3: 0.479
3, 8: 0.475
3, 2: 0.467
2, 9: 0.465
4, 8: 0.458
1, 10: 0.455
4, 2: 0.452
5, 8: 0.451
5, 2: 0.451
3, 9: 0.438
2, 1: 0.431
4, 9: 0.418
2, 10: 0.417
3, 1: 0.406
5, 9: 0.405
5, 1: 0.405
4, 1: 0.400
3, 10: 0.385
4, 10: 0.357
5, 10: 0.333
5, 0: 0.333
4, 0: 0.313
3, 0: 0.294
2, 0: 0.278
1, 0: 0.263
0, 0: 0.250
Kymppien määrää 6-10 ei kannata laskea koska vaihtoehdot ovat silloin yllä olevien peilikuvia (kuorien numerot vaihtamalla samat kombinaatiot).
Heikoin vaihtoehto on se että toinen kuori jätetään tyhjäksi. Kaikki kympit kannattaa laittaa samaan kuoreen ja toiseen kuoreen mahdollisimman vähän satasia, ei kuitenkaan nollaa.
Jotenkin yllättävältä näyttää todennäköisyyden käyttäytyminen silloin kun toisessa kuoressa on 1 satanen:
1, 1: 0.500
2, 1: 0.431
3, 1: 0.406
5, 1: 0.405
4, 1: 0.400
Todennäköisyys pienenee kymppien määrän kasvaessa, mutta 4 ja 5 kymppiä poikkeavat linjasta. Jos otetaan kaikki kymppien mahdollisuudet mukaan:
0, 1: 0.737
10, 1: 0.545
9, 1: 0.500
1, 1: 0.500
8, 1: 0.465
7, 1: 0.438
2, 1: 0.431
6, 1: 0.418
3, 1: 0.406
5, 1: 0.405
4, 1: 0.400
Määrillä 4-10 todennäköisyys pienenee kun kymppien määrä pienenee. Määrillä 0-3 todennäköisyys pienenee kun kymppien määrä kasvaa. Nämä sarjat limittyvät toisiinsa. Olisi voinut luulla että suunta olisi sama kaikilla arvoilla tai että jako kahteen olisi tapahtunut vitosen kohdalla.
Todennäköisyyslaskenta on ihmeellistä tai sitten olen laskenut väärin. Siinä ei olisi mitään ihmeellistä.
89. Jaska14.9.2007 klo 20:56
Kahden kuoren jakaumassa 5/1 ja 5/9 (kympit ensin)todennäköisyys satkun saamiseen on 1/12 + 9/28. Jakaumassa 4/1 ja 6/9 vastaavasti 1/10 + 9/30. Siis: todennäköisyys 9/28 verrattuna 9/30:een parantaa satkun saamisen mahdollisuutta enemmän kuin 1/12 verrattuna 1/10:een sitä huonontaa. Muutetaan murtoluvut selvyyden vuoksi samannimiseksi ja lasketaan yhteen: 35/420 + 135/420 = 170/420, sekä 42/420 + 126/420 = 168/420. Näin äkkiseltään ihmeelliseltä tuntuva tulos saa luonnollisen selityksen.
KOMMENTOI