KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > GEOMETRIAPULMA
2979. Geometriapulma
Jukkis3.10.2006 klo 16:15
On kaksi erikokoista samankeskistä ympyrää. Sisemmälle ympyrälle piirretty tangentti leikkaa ulomman ympyrän kehän kahdessa pisteessä, joiden etäisyys toisistaan on 20 cm. a) Osoita että ympyröiden muodostaman rengasmaisen alueen (siis ulomman kehän ja sisemmän kehän välisen alueen) pinta-ala ei riipu ympyröiden koosta.
b) Mikä sen rengasmaisen alueen pinta-ala on?
Jos a-kohta ei innosta, niin ratkaise edes b-kohta, joka on paljon helpompi. Oikeastaan tämän tehtävän juju onkin siinä, miten helposti tuo b-kohdan vastaus löytyy. Joten sovitaan, että a-kohtaa ei tarvi edes ratkaista.
2. Jyrki3.10.2006 klo 17:27
Ratkaisin tuon, hyvin helppo mielestäni (sekä a- että b-kohta, tai paremmin sanottuna koko tehtävä yleistetyssä muodossaan, jossa mainitsemasi etäisyys käsitellään vaikkapa parametrina t).Mutta viisaampaa varmaan antaa muidenkin ratkoa eikä paljastaa heti alkuun...
3. airisto3.10.2006 klo 17:28
jos a-kohdan väittämä pitää paikkansa, niin 314 cm2 ?
4. Jyrki3.10.2006 klo 17:32
Airisto, mielestäni vastauksesi on oikein.
5. Jyrki3.10.2006 klo 17:44
Jos tuo "miten helposti"-mainintasi on tarkoitettu painokkaaksi, niin siihen voi todeta, että b-kohtaan on tosiaan olemassa aivan äärimmäisen yksinkertainen ratkaisutapa - niin yksinkertainen ettei se voi siitä yksinkertaisemmaksi enää muuttua :D
6. Satunnainen kävijä3.10.2006 klo 19:42
Tuosta on vain se vika, että jos ei ratkaise a-kohtaa, niin ei voi perustella, että b-kohdan ratkaisu on oikein. Matemaattisissa tehtävissä oletus, että tehtävällä on ratkaisu, ei ole oikein pätevä lähtökohta.Laivastopelin sivustolta http://www.mountainvistasoft.com/t-uniq.htm
löytyy vanhaa keskustelua, voiko tietoa, että pulmaan on yksikäsitteinen ratkaisu, käyttää hyväksi tehtävän ratkaisussa. Siellä Wei-Hwa Huang käyttää juuri tuota esimerkkiä, joten jos haluaa vielä pohtia, niin ei kannata luntata.
Itse kyllä käytän sudokuja ratkaistaessa hyväkseni tietoa, että niissä voi olla vain yjsi ratkaisu.
7. Jyrki3.10.2006 klo 19:58
Satunnainen kävijä: Jos otetaan vain tuo b-kohta Jukkiksen kehottamalla tavalla (oletetaan siis a-kohdan pitävän paikkansa), niin b-kohdan pystyy ratkaisemaan erittäin simppelillä tavalla ilman a-kohdan ratkaisua ja siinä tarvittavia kaavoja.
8. (Jyrki)3.10.2006 klo 20:48
(Nyt kun lukaisin tuon linkin mukaisen artikkelin, niin siellähän se b-kohdan ratkaisukin on mainittu. Huomattavaa tässä pohdinnassa on, että Jukkis alkuperäisessä tehtävänasettelussaan kehottaa olemaan todistamatta a-kohtaa ja antaa siis teoreeman valmiina. Tehtävä oli siis käytännössä: laske sinä lukija kuvatunlaisen renkaan ala helpoimmalla tavalla; minä Jukkis sanon, että se on jokaisen kuvatunlaisen renkaan ala.
Jos ei kuitenkaan usko Jukkiksen antaman teoreeman paikkansapitävyyttä, niin tuosta yhden tapauksen laskemisesta ei tietenkään seuraa, että sillä olisi varmistuttu teoreeman oikeellisuudesta. Siihen tarvitaan a-kohdan mukainen todistaminen.
Tapaus on vähän samanlainen kuin monesti koulujen oppikirjoissa: annetaan jokin kaava ja kerrotaan sen olevan tosi, ja oppilas sitten harjoittelee kaavan käyttämistä laskutoimituksissa. Kaavan todistamisesta ehkä huomautetaan, ettei se suju niillä tiedoilla, jotka oppilaalla siihen asti opitun perusteella on. Oppilaan on siis vain sillä hetkellä uskottava, että kaava on ok, kun joku kirjassa niin sanoo. Esimerkkinä ympyrän pinta-alan kaava: lienemme kaikki oppineet sen alun perin ulkolukutyyliin jo ensimmäisillä koululuokilla, mutta vasta vuosia myöhemmin esim. differentiaalilaskennan oppimisen myötä sille on oppinut myös johtamisen/todistuksen.)
9. Matti7.10.2006 klo 18:53
Tässä vähän samanlainen tehtävä kolmessa dimensiossa.Pallon keskelle porataan reikä. Syntyvän lieriöpinnan korkeus on 2h.
a) Osoita, että pallosta jäävän rengasmaisen kappaleen tilavuus ei riipu pallon säteestä R.
b) Mikä on ko. kappaleen tilavuus?
b) on tietysti helppo ja ratkeaa samalla reseptillä kuin ylempänä. a): han ei minulla ole tiedossa mitään "seksikästä" ratkaisua. Pitää vaan laskea standardisti erimuotoisten kappaleiden tilavuuksia. Ehkä joku tietää tai keksii jonkin "fiksun" ratkaisun.
10. Jukkis7.10.2006 klo 20:33
Joo, aikamoisella vääntämisellä a-kohta menee ja antaa saman tuloksen jonka saa nollahypoteesimenetelmällä. Ehkä a-kohtaan saisi seksiä vaikka riisumalla yhden vaatekappaleen aina kun kirjoittaa piin.
11. Matti7.10.2006 klo 20:49
Jukkis, :-)
12. Jukkis7.10.2006 klo 21:01
Äkkäsinpä että a-kohta menee varsin tyylikkäästi laskemalla tilavuus pyörähdyskappaleen integraalina. Homma tulee todistettua heti kun kirjoittaa integroitavan lausekkeen, koska siitä R supistuu pois saman tien. Integraalia ei siis tarvi edes laskea.Mmm, tosi seksikästä.
13. Matti7.10.2006 klo 23:48
Jukkis, mielenkiintoista. Vasta huomenna pystyn palaamaan asiaan.
14. Matti8.10.2006 klo 15:11
Jukkis, noinhan se meneekin tyylikkäästi, lähes päässälaskuna. Oma ajatteluni oli sen verran urautunut, että rupesin heti kirjoittelemaan erimuotoisten palikkojen tilavuuksia.Entäs tällainen: Lieriömäinen litran mitta kaadetaan täyteen vettä. Sitten sitä kallistetaan hitaasti ja valutetaan vettä pois niin paljon, että pohjaympyrästä on puolet vedenpinnan yläpuolella. Paljonko mittaan jää vettä?
Tässä on taas sama juttu. Muistan jonkun väittäneen, että tälle on olemassa tyylikäs ratkaisu, johon ei tarvita integrointia. En vain tiedä mikä se ratkaisu on.
15. Jukkis8.10.2006 klo 20:12
Vastauksen sain, ja empiirisen tutkimuksen perusteella luultavasti oikean. Mutta aika lailla piti integroida. Kun vastaus ei riipu lieriön muodosta (eli voi olla vaikka minkä korkuinen, kunhan tilavuus on litran), niin ajattelin että ehkä taas joku kikka löytyy kun laittaa korkeuden lähestymään ääretöntä, jolloin pohjan pinta-ala lähestyy nollaa. Tai päinvastoin, eli korkeus lähestyy nollaa, jolloin pohjan ala lähestyy ääretöntä. Mutta eipä siitä mitään kikkaa tunnu irtoavan. Kun ympyrä se on pienikin ympyrä.
16. Jaska8.10.2006 klo 21:24
Jos astia olisi kuution muotoinen, niin vastaus olisi 1/4 litraa. Näin ollen kun lieriön pohjan pinta-ala lähestyy ääretöntä, lähestyy lieriöön jäävä vesimäärä lukemaa 1/4 kertaa ympyrän ja neliön pinta-alojen suhde, kun ympyrän säteen ja neliön sivun pituus on sama. Tulos siis 0,196 litraa. Eihän se näin yksinkertaista voi olla, joten päättelyni täytyy mennä rytisten korpikuusikkoon. Matti tai Jukkis voinevat osoittaa miten.
17. Jaska8.10.2006 klo 21:28
P.S. Pitää olla ympyrän halkaisija = nelön sivu. Näin helposti niitä virheitä sikiää, kun aatokset eivät pysy kunnolla kasassa.
18. Jaska8.10.2006 klo 21:32
P.P.S. Ja pelkistettynä tietysti 1/4 (pii/4) = pii/16.
19. Jaska8.10.2006 klo 21:45
P.P.P.S. Ja sehän on yhtä kuin lieriön ja samankorkuisen kuusitahkoisen säännöllisen särmiön (meniksenyt oikein) tilavuuksien suhde. No ei se niin simppeliä voi olla, minun on parasta nyt vaan keskittyä ristikkoihin...
20. Jaska8.10.2006 klo 22:04
Siis se pii/4. Nyt meni jo Skytän koviksen laskutkin sekaisin, mutta näkyy iso S hoitaneen senkin puolen mallikkaammin muiden laatijoiden osalta. Levolle lasken ruojani.
21. Jukkis8.10.2006 klo 22:14
Eipä se taida tosiaan ihan noin simppeliä olla. Oikea vastaus lienee 0,2122 litraa.
22. Matti8.10.2006 klo 22:43
Jukkis, joo, 2/3pii litraa. Jaskan rajankäynnit OK-tavaraa, vaikka tällä kertaa eivät johtaneetkaan perille. Ja Skytän koviksia älä edes mainitse minulle.Tämän voi integroida monellakin tavalla. Helpoimmin se menee kai näin.
Laitetaan se suippeneva kappale pöydälle seisomaan puoliympyrä pohjana. Integroidaan pystysiivuja, kolmioita, joiden kanta on kohtisuorassa halkaisijaan, -R -> +R. Kanta on sqr(R^2 - x^2) ja korkeus k*sqr(R^2 - x^2), missä k on eräs kulmakerroin. Neliöjuuret häipyvät, ja integroitavaksi tulee vain k*(R^2 - x^2)/2. Saadaan 2kR^3/3. Laitetaan kR=h, lieriön korkeus, ja saadaan tilavuudeksi 2R^2h/3. Kun pii*h*R^2 on litra, niin vettä jää 2/3pii litraa.
Tiedä sitten, menisikö jollain tavalla vielä helpommin. Voi mennä.
23. Juhani Heino15.10.2006 klo 23:12
Muunnos Matin viimeisestä: Lieriömäinen litran mitta kaadetaan täyteen vettä. Sitten sitä kallistetaan hitaasti ja valutetaan vettä pois niin paljon, että vedenpinta osuu täsmälleen pohjaympyrän yläreunaan. Paljonko mittaan jää vettä?Tämän pitäisi olla tosiaan simppeli, ilman integrointia.
24. Jaska15.10.2006 klo 23:21
Kyllä on, etenkin kun ratkaisu on sivustolla jo aikaisemmin ilmineerattu. Siis puolet.
KOMMENTOI