Lukujono 13 - Muut aiheet - Keskustelut

↶ Takaisin aiheisiin Siirry alalaitaan ↓

7775. Lukujono 13

Olavi Kivalo24.12.2013 klo 10:39

Tiukka pähkinä joululahjaksi:

20.12.2013 klo 17:51 annetun jonon (ei OEIS:ssa)
1, 2, 4, 8, 14 17, 23, 29, 38, 39, 41 43, …
osajonot (ei OEIS:ssa) ovat
14, 17, 38, 39, 41, 50, 53, 56, 57, 59, 60, 63, …
ja
1, 2, 4, 8, 23, 29, 43, 44, 64, 65, 85, 97, …

1. Kuinkahan jono jatkuu?

2. Kyseinen jono on suomeksi "Numbers n such that the decimal representations in base 6 of 10n+1 or 10n-1 are primes"
Mitähän osajonot esittävät?

2. Jaska25.12.2013 klo 11:42

Kiitokset Pukille lahjasta, jota en ehtinyt avata aattoiltana. Vastoin varoitusta se ei tehnyt tiukkaa nytkään, koska Pukki vastasi itse kysymykseensä. Muuten olisi toki ollut perin paha. Sain jatkoksi 75/105. Olihan se hieman työläähköä kokeilemalla. Jääköön siihen, kun Pukki ei enempää vaatinutkaan.

3. Olavi Kivalo27.12.2013 klo 14:47

Edellinen oli tarkoitettu "tiukaksi". Ei siis kysytty osajonojen jatkoja, vaan pääjonon, joka on tietysti luettavissa suoraan osajonoista. Mutta Jaskalle bonuspisteet osajonojen jatkoista, jotka ovat muuten 75 ja 104.

Yritin etsiä jotain perusteita leikittelylle kantaluvuilla. Seuraava ei perustu mihinkään kyseenalaisin perustein valittuun kantalukuun vaan kaikkiin 2…10 tasapuolisesti.

Mitähän alkulukujen ominaisuutta edustaa lukujono:
n = 56, 57, 69, 78, 83, 89, 92, 95, 104, 109, 111, 123, ...

4. Jaska27.12.2013 klo 17:21

Joo, 1039/4451. Kaiketi sattui jokin lipsahdus päässälaskussa apulukujen 1080/5000 kanssa.

Nuo priimit ja komposiitit samassa jonossa ovat yleensä komplikeissejä. OK:n viimeisin keissi näyttäisi olevan Cruisen sarjaa. Ehkä mietin sitä kuitenkin vielä.

5. Olavi Kivalo28.12.2013 klo 10:52

Etten piinaisi tuolla lukujonolla ylenpalttisesti, raotan verhoa.

Jono koostuu tavallisten (10-järjestelmän) alkulukujen p(n) järjestysluvuista n ja on siis osajono luonnollisten lukujen jonosta 1, 2, 3, ....

Jonon muodostukseen kelpuutetuilla alkuluvuilla on yhteinen ominaisuus suhteessa niiden esitysmuotoon kaikissa muissa järjestelmissä 2…9.

6. Jaska28.12.2013 klo 12:13

Lonkalta heitän viimeisen numeron olevan kantaluku - 1. Ainakin binäärissä pitää paikkansa:)

7. Jaska28.12.2013 klo 12:18

Ei näämmä onnistunut lonkkaheitto:(

8. Olavi Kivalo28.12.2013 klo 14:07

Vihje: Ota mikä tahansa jonon luku n. Tsekkaa vastaava alkuluku p(n) kaikissa järjestelmissä 2…9 ja tee pitkälle meneviä johtopäätöksiä.

9. Olavi Kivalo29.12.2013 klo 17:57

Otetaan ensimmäinen eli n(1)= 56. Alkuluku p(56) = 263.

2-järjestelmässä 263 = 100000111, joka ei ole alkuluku.
3-järjestelmässä 263 = 100202, joka ei ole alkuluku.
4-järjestelmässä 263 = 10013, joka ei ole alkuluku.
…
9-järjestelmässä 263 = 322, joka ei ole alkuluku.

Sama havainto muidenkin jonon termien n(i) kohdalla, mutta vain niiden. Siis?

10. Olavi Kivalo29.12.2013 klo 21:58

Edellä onkin jo kaikki sanottu, joten todettakoon, että
56, 57, 69, 78, 83, 89, 92, 95, 104, 109, 111, 123, … on jono, jonka määrittely suomeksi voisi olla vaikka
"Number n such that decimal representation of prime(n) in none of bases 2 ... 9 is prime."

Vastaava alkulukujen jono on
263, 269, 347, 397, 431, 461, 479, 499, 569, 599, 607, 677, …
("Decimal primes whose decimal representation in none of bases 2 ... 9 is prime.")

11. Olavi Kivalo7.1.2014 klo 19:49

Huomasin juuri, että tuo jälkimmäinen onkin julkaistu OEIS:ssa jo 1999 nimellä "Primes base 10 that are never primes in any smaller base b, 2<=b<10, expansions interpreted as decimal numbers" (A052033).

12. Olavi Kivalo12.1.2014 klo 17:37

Tämä on helppo
1, 11, 12, 121, 122, 123, 1231, 1232, 1233, ...

13. Wexi12.1.2014 klo 18:09

...1234, 12341, 12342, 12343, 12344, 12345, 123451...

14. Olavi Kivalo12.1.2014 klo 18:33

Jostain syystä tuo ei ole OEIS:ssa, vaikka siellä on jono
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, …
joka rakentuu samaan periaatteeseen.

15. Matti17.1.2014 klo 15:43

IS:n maanantainumeron tehtävien joukossa on Kenken, jonka ratkaisu on 4x4 matriisi, jonka jokaisella vaaka- ja pystyrivillä esiintyvät numerot 1, 2, 3 ja 4 jossakin järjestyksessä, kukin luku siis kerran.

Jos nyt oikein laskin, erilaisia ratkaisuja löytyy 576 kpl. Mutta kuinka monta aidosti erilaista ratkaisua löytyy? A ja B ovat aidosti erilaisia, jos A ei muutu B:ksi, vaikka sen vaakarivien keskinäistä järjestystä kuinka muuttelee, ja vaikka sen pystyrivien keskinäistä järjestystä kuinka muuttelee.

16. Jaska17.1.2014 klo 18:10

Minä sain erilaisten määräksi 864: 24*9*4*1. Aidosti erilainen jäi hämäräksi. Jos ruudukon A kaksi vaakariviä vaihdetaan keskenään, löytyy muista 863:stä aina yksi, joka on identtinen A:n kanssa.

Jokaista 864 ruudukkoa kohti on kaksi muuta ruudukkoa, joiden pystyrivien etäisyys määrätyn ruudukon A rivesitä on 3. Ratkaisuesimerkki valottanee, mitä tarkoitan:

A B C
1234 1234 1234
2143 3412 4321
3412 4321 2143
4321 2143 3412

Jos Matti tarkoitti tätä, niin ratkaisuja on 864/3 = 288.

17. Jaska17.1.2014 klo 18:12

Kone siirsi B:n ja C:n omavaltaisesti pois paikoiltaan.

18. Olavi Kivalo17.1.2014 klo 21:41

Jos vaakarivien permutaatioita on 24 ja pystyrivien samoin 24 ja näistä vain yksi kummastakin hyväksytään, niin olisikohan vastaus 24*24-2*24+2=530?

19. Jaska17.1.2014 klo 23:44

Oman tulokseni 864 kenken-permutaatiota laskin seuraavasti:
Merkitsen kuvitteellisesti 24 ruudukkoon numeron 1 permutaatiot, vaihtoehdot siis vähentyvät riveittäin 4*3*2*1. Jatkossa vaihtoehdot vähenevät. Kakkosen paikkoja on kullakin rivillä vapaana 3, joihin voidaan sijoittaa sääntöä noudattaen 9 kombinaatiota. Kolmoselle jää enää 4 vaihtoehtoa, ja neloselle luonnollisesti jämtä eli yksi kombinaatio. Näin sain 24*9*4*1 = 864 permutaatiota.

"Aidosti erilainen" vaatii mielestäni Matilta täsmennystä, ellei peruste ole esittämäni etäisyys 3. Vaihdelmiahan syntyy muullakin tavoin kuin vaaka- tai pystyrivejä vaihtamalla, esim. määrätyt kaksi numeroa ruudukossa A vaihtavat paikkojaan ruudukkoon B muiden kahden numeron pysyessä enallaan.

20. Jaska17.1.2014 klo 23:47

Soir viheet..

21. Olavi Kivalo18.1.2014 klo 11:42

Tämä aitousaspekti kyllä näyttää vähentävän ratkaisuja radikaalisti. Uusi arvaus olisi 24*4=96.

22. Jaska18.1.2014 klo 14:29

Sattuipa paha kämmi. Ykkös/kakkospermutaatioiden määrä esitetyllä tavalla laskettaessa oli oikein 24*9 = 216. 1-2-3 permutaatioita ei ole kuitenkaan ole esittämäni 24*9*4, vaan 24*6*2 + 24*3*4, ja sehän on tosiaan 576. Tsekkaan vielä lähtökohtana 2x2-ruudut.

Juu, kyllä aitous pitää täsmentää.

23. Matti18.1.2014 klo 17:54

Esim

1234
2341
3412
4123

ja

2341
1234
3412
4123

eivät ole aidosti erilaisia, sillä kun ylemmän matriisin kaksi ylintä riviä vaihtaa keskenään paikkaa, saadaan alempi matriisi. Muuttelemalla vaakarivejä kaikilla mahdollisilla tavoilla saadaan 24 matriisia, joista mikään ei ole aidosti erilainen minkään muun kanssa.

24. Jaska18.1.2014 klo 19:40

Joten esittämäni ruudukot A, B ja C ovat aidosti erilaisia. Jos ratkaisu edellyttää nimenomaan kahta ruudukkoa, niin noista muodostuu kolme ratkaisua, AB, AC ja CB. Vaakarivien 23 muulla järjestyksellä eli 276 ruudukolla saadaan tietysti uusia ratkaisuja. Syntyykö toisella 288 ruudukon puoliskolla sama määrä ratkaisuja? Tutkii, kun ehtii.

25. Jaska18.1.2014 klo 20:37

Sekoilua kiireessä. Ruudukkoja ja ratkaisuja on 24:llä ABC:n vaakarivien järjestyksellä 72, kun teoreettinen maksimi on 576. Eri juttu on, jos kukin ruudukko saa esiintyä vain kerran.

26. Matti20.1.2014 klo 14:47

Aidosti erilaisia matriiseja on vain 4 kpl, niitä edustakoot

1234 1234 1234 1234
2143 2341 2413 2143
3412 3412 3142 3421
4321 4123 4321 4312

Sanotaan, että matriisit muistuttavat toisiaan, jos ne saadaan identtisiksi vaakarivien keskinäistä järjestystä muuttamalla ja/tai pystyrivien keskinäistä järjestystä muuttamalla. Kaksi matriisia siis joko muistuttavat toisiaan tai ovat aidosti erilaisia.

"Muistuttavat toisiaan" on ekvivalenssirelaatio, ja se jakaa kaikki matriisit erillisiin luokkiin, joiden sisällä kaikki matriisit muistuttavat toisiaan, ja joista jokainen on aidosti erilainen kuin kaikki luokan ulkopuolella olevat matriisit. kysymys siis kuuluu, kuinka monta näitä luokkia on.

Kussakin luokassa on tasan yksi muotoa

1234
2xxx
3xxx
4xxx

oleva matriisi. Kokeilemalla todetaan, että on vain 4 mahdollisuutta täyttää x:t siten että kussakin vaaka- ja pystyrivissä on luvut 1, 2, 3 ja 4 jossakin järjestyksessä. Ne neljä ratkaisua on esitetty alussa.

27. Olavi Kivalo20.1.2014 klo 15:01

Oma ratkaisuehdotukseni 18.1.2014 klo 11:42 perustui juuri tuohon havaintoon. Vain neljä jää kulloinkin jäljelle, kun ylimmäksi riviksi pannan vuorollaan kukin 24:stä permutaatiosta.

28. Matti20.1.2014 klo 15:14

Kyllä, juuri näin.

29. Antti20.1.2014 klo 18:12

Yksimielisyys saavutettiin.
Jos vaatimattomammille ongelmille on sijaa, seuraavasta löytyy tapaus, yksinkertaisella tavalla painotettuja alkulukuja sisältävä.

4, 9, 13, 27, 23, 41, 33, 55, 83, 51, ?
(Tässä ?>100)

30. Jaska20.1.2014 klo 18:58

Vasta Matin esimerkistä selvisi, mitä hän tarkoitti aidosti erilaisella. Tässä ratkaisumallissa on siis neljässä ruudukossa eka vaaka- ja pystyrivi sama kaikissa. Omassa ratkaisussani ehtona oli, että identtisiä vaaka- ja pystyrivejä ei ole.

Oletan edelleen ja tsekkaan ehtiessäni, että kaikki 576 ruudukkoa voidaan jakaa 192 ryhmään, kussakin siis kolme ruudukkoa, samalla konstruktiolla kuin esimerkkini ABC. Matin esimerkkiruudukot ovat niissä siis eri ryhmissä.

Olen muuten sitä mieltä, että Matin "aidosti erilaisia on vain 4 kpl" on hieman harhaanjohtaja ilman täsmennystä, että kyse on yhdestä ryhmästä. Konstruktioltaan identtisiä ryhmiä on tietysti paljon enemmän. Matin logiikalla minun mallistani voisi sanoa, että aidosti erilaisia on vain kolme.

31. Matti20.1.2014 klo 20:59

Niin, onhan se vähän hämäävästi sanottu, kun kussakin ryhmässä on 144 matriisia, ja mikä tahansa "yksi kustakin ryhmästä" -vaihtoehto antaa neljä aidosti erilaista. Mutta totta on myös, että minkä tahansa viiden matriisin joukossa ainakin kaksi muistuttavat toisiaan. Siis jokaisen aidosti erilaisten joukon maksimikoko on 4.

32. Jaska20.1.2014 klo 21:18

Antin yksinkertainen painotustapa ei alustavalla pähkäilyllä auennut. Painottaminen kai tarkoittaa valikoitumista. Siis miten juuri nuo alkuluvut jonoon yksinkertaisella tavalla valikoituvat jaollisten lukujen lisäksi. En siis vielä kuitenkaan luovuta.

Seuraava on Kenken-problematiikkaa sivuavan jonon alku. Helppo jatkaa, mutta mistä on kysymys?

1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, ?

33. Antti21.1.2014 klo 07:03

Jaskan esille ottamalla painottamisella tarkoitan seuraavaa: Jonon j:nnen jäsenen lyhyessä laskulausekkeessa j:s alkuluku kerrotaan yksinkertaisella j:stä riippuvalla luvulla, (j+1):s alkuluku kerrotaan yksinkertaisella (j+1):stä riippuvalla luvulla.

34. Jaska21.1.2014 klo 12:41

Joudun ikäväkseni toteamaan, että Antin selitys meni meni kovaa ja korkealta yli hilseen. Jos edellytetään, että "j:stä riippuva luku" on kokonaisluku, selitys ei voi pitää paikkaansa ilman jotain lisäehtoa, koska jonossa on alkulukuja. Siis tarvitaan myös yhteen- ja/tai vähennyslaskua. Jos taas kertoja on murtoluku, on sen riippuvuus j:stä liian mutkikasta minun ymmärrykselleni. Jätänkin tehtävän muiden säikeeläisten pohdittavaksi.

35. Antti21.1.2014 klo 13:15

Kertoja on kokonaisluku ja lausekkeen laskemisessa on vähennyslaskua.

36. Jaska21.1.2014 klo 16:37

Ratkaiseva helpotus oli Antin vahvistus erotusjonosta. Jatkuu 103, 89, 69, 103, 143...

Kiinnostavaa on, että sama alkuluku voi esiintyä useammin kuin kerran. Jos Antti olisi esittänyt vain jonon alkuluvut ilman mitään osviittaa, se olisi ollut tekemätön paikka melkeinpä kenelle tahansa - oletuksella ennen julkaisemattomuus. Puhumattakaan useammin kuin yhden kerran esiintyvien alkulukujen jonosta!

37. Antti22.1.2014 klo 06:14

Ongelman asettajalle helpotus oli, kun Jaska pulman ratkaisit.

38. Matti22.1.2014 klo 12:22

Laitatko Antti vielä j:nnen termin yleisen lausekkeen, niin saadaan muutkin ihmetellä.

39. Antti22.1.2014 klo 12:53

Kun b(j) = j:s alkuluku,
niin
selvitettävänä ollut a(j) = (j+1)*b(j+1) - j*b(j)

40. Jaska25.1.2014 klo 10:57

20.1. 21:18 kysyin, mistä on kysymys kenkeniäkin sivuavassa jonossa. Kenkeniin liittyy kolmas luku 9. Se on neljä lukua käsittävän jonon viimeinen: 1, 6, 8, 9. Siis?

41. Jaska26.1.2014 klo 15:26

1+6+8+9 = 24.

42. Jaska27.1.2014 klo 17:39

Niinkuin arvatakin saattaa, ovat yllä neljän alkion permutaatioiden etäisyydet 0, 2, 3, 4 vertailupermutaatiosta.

43. Jaska27.1.2014 klo 17:41

Täsmennys: permutaatioiden etäisyyksien lukumäärät.

44. Jaska30.1.2014 klo 20:41

Kokeillaan ensin ilman mitään vinkkiä jonon syntyyn, vaikka lienee vaikea(hko). Arvailun eliminoimiseksi kysytään kolmea seuraavaa lukua:

0, 0, 0, 9, 18, 27, 36, 54, 72, 99, ?, ?, ?

45. Wexi30.1.2014 klo 23:48

Hatusta:
...72, 99, 126, 153, 189...

46. Antti31.1.2014 klo 15:56

Toisesta hatusta:
... 72, 99, 135, 171, 206

47. Jaska31.1.2014 klo 16:18

Ei noussut oikeaa kaniinia kummastakaan. Erotusjonosta on kyse. Ratkaisun avain piilee alun kolmessa nollassa.

48. Jaska2.2.2014 klo 11:58

Avainta kääntämällä neliöovi aukenee.

49. Jaska3.2.2014 klo 11:38

Vaikeutena on ilmeisesti käyttämäni termi erotusjono. Paremmin sopii erotusten jono. Enempi vihjaaminen olisi jo suora ratkaisu.

50. Jaska3.2.2014 klo 23:44

Ei paljastunut neliöiden vähentäjien mysteeri vielä tänään, vaikka luvut ovat selvillä. Huomeniltana ratkaisu, ellei joku pane hanttiin.

51. Jaska4.2.2014 klo 22:45

Ratkaisu: suuruusjärjestyksessä peräkkäisistä neliöistä vähennetään kunkin neliön numeroiden summa. Seuraavat kolme ovat 121 - 4, 144 - 9, 169 - 16 eli 117, 135, 153. Kaikki neliöt, jotka eivät ole kolmella jaollisia ovat siis muotoa 3n + 1.

52. Antti5.2.2014 klo 15:17

Jaska, hyvä tehtävä. Olisi pitänyt pystyä ratkaisemaann.

53. Jaska11.2.2014 klo 22:28

Ainakin seuraavan osajonon "emojonon" täytyy olla OEIS-kamaa, ehkä tämäkin on. Täällä ei muistaakseni ole ennen ollut.

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, ?

54. Antti13.2.2014 klo 16:03

Ainakin 6 ensimmäistä on alkulukua, joka on sellaisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jolla on kokonaislukuja katetteina:

hypotenuusa ja kateetit
5, 3, 4
13, 5, 12
41, 9, 40
61, 11, 60
113, 67, 91
181, 19, 180

Loputkin saattavat olla, mutta en löytänyt kateetteja, koska uudessa Excelissä en löydä ratkaisinta.

55. Antti13.2.2014 klo 17:50

Anteeksi. 113 vaatii muut luvut kuin 67 ja 91.

56. Jaska13.2.2014 klo 19:15

Kyllä, luvut ovat 15 ja 112.

Kyse on kahden peräkkäisen neliön summajonosta, josta on poimittu alkuluvut. Seuraava on 1013. Myös jonon jaollisilla luvuilla on sama hypotenuusaominaisuus. Todista!

57. Antti14.2.2014 klo 10:03

Ja sitä seuraavat

1201, 1301, 1741.

58. Jaska26.2.2014 klo 22:32

Edellistä sivuavan ei pitäisi olla hirmuvaikea:

5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677 ?

59. Jaska26.2.2014 klo 22:37

Lisävinkkinä, että 5 voidaan jättää pois, jolloin jonon määritelmä muuttuu.

60. Jaska5.3.2014 klo 23:07

Viikko on vierähtänynnä hiljaisuudessa, joten kukaan ei panne pahakseen ratkaisua. Tämäkin on alkulukuja käsittävä osajono. Seuraava on 1297. Emojonossa ovat suuruusjärjestyksessä niiden suorakulmaisten kolmioiden hypotenuusat h, joiden toinen kateetti on h-2. Jos pudotetaan jonosta 5, on kyseessä aina pitempi kateetti.

Kuten jonon alusta voidaan olettaa, sen alkuluvut >5 päättyvät aina numeroihin 1 tai 7. Todista tämäkin!

61. Olavi Kivalo6.3.2014 klo 21:52

Olisikohan tästä todistukseksi.

Olkoot hypotenuusa c ja kateetit a ja b kokonaislukuja ja c lisäksi alkuluku.

Koska rajoite on c=b^2/4 + 1, on (b^2):n oltava jaollinen neljällä
(b^2) = 4, 16, 36, 64, 100, 144, 196, 256, 324, 400, 484, …
-> (b^2)+1 = 5, 17, 37, 65, 101, 145, 197, 257, 325, 401, …,

Kun tästä poimitaan alkuluvut, saadaan:
c = 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601,...

62. Olavi Kivalo6.3.2014 klo 22:05

Tämä jono voidaan muten tuottaa muillakin tavoilla kuten esim jonosta n*(n+1)+(n+2), n=1,2,3,....
Tästä sitten poimitaan alkuluvut.

63. Jaska6.3.2014 klo 22:36

Se on täysin OK todistus, joka siis perustuu toistuvaan numerosarjaan 4, 6, 6, 4, 0. johon + 1 = 5, 7, 7, 5, 0. Oma versio lähtee siitä, että kateetit ovat peräkkäisten parittomien lukujen tuloja: 1*3 = 3, 3*5 = 15, 5*7 = 35, 7*9 = 63, 9*11 = 99 jne. Viimeisten numeroiden sarja siis 3, 5, 5, 3, 1, johon + 2 = 5, 7, 7, 5, 1.

64. Jaska9.3.2014 klo 20:51

Jatketaan. Mistä jonosta seuraavat on plokattu (paitsi tietysti alkulukujen jonosta)?

7, 23, 47, 79, 167, 223, 359, 439, 727, 839, 959, 1087, 1223...

65. Olavi Kivalo10.3.2014 klo 19:10

Tämä kuten edellinenkin näyttäisivät olevan OEIS:ssa. Siinä missä edellinen esittää muotoa n^2 + 1 olevia alkulukuja, jälkimmäisessä alkuluvut ovat muotoa n^2 - 2 eli 2, 7, 23, 47, 79, 167, 223, 359, 439, 727, 839, 1087, 1223, 1367, …

Tosin Jaskan jonossa on ylimääräinen termi 959, joka ei ole alkuluku.

66. Jaska11.3.2014 klo 00:12

Auts, jostain syystä 959 = 7*137 on lipsahtanut plokkausvaiheessa mukaan.

OK on tietysti oikeassa, mutta tämä ei ollut hakemani ratkaisu. "Jatketaan" tarkoitti, että jatketaan suorakulmaisella kolmiolinjalla. Kyseessä on edeltävien hypotenuusojen kateettien summajonosta: 4 + 3 = 7, 8 + 15 = 23, 12 + 35 = 47, 16 + 63 = 79, jne. Niinpä 2 ei kuulu joukkoon.

Aika vänkää muuten, että kateettien 3, 15, 35 jne tekijöiden 1*3, 3*5, 5*7 jne summa = viereinen kateetti: 4, 8, 12 jne.

67. Olavi Kivalo11.3.2014 klo 08:21

Tämä jono on myös alkuluvut muotoa n*(n+2) - 1, jossa n>1, eli peräkkäisten parillisten lukujen tulo - 1.

68. Jaska12.3.2014 klo 22:22

Jatketaan samalla rektangelitriangelilinjalla vaikeammissa merkeissä. Laskin seuraavan jonon kuusi alkupään lukua käsipelillä ja panin ne sitten hakuun OEIS:ään, josta arvelin jonon löytyvän. Näin onkin, tosin jonon eka on siellä 1. Jonossa on sekä alkulukuja (yllä 5, 29, 5741, 33461) että jaollisia lukuja.

Tehtävä on päätellä/laskea mistä on kyse.

69. Jaska12.3.2014 klo 22:52

No ei noin vaikeaksi ollut päättelemistä tarkoitus tehdä. Jaolliset puuttuivat, huoh:(
Kuusi ekaa 5, 29, 169, 985, 5741, 33461

70. Olavi Kivalo13.3.2014 klo 09:16

Tämän kaveriksi sopii
3, 20, 119, 696, 4059, 23660, ...

71. Jaska13.3.2014 klo 11:04

OK suoriutui hommasta suit sait täydentämällä hypotenuusat vastaavilla lyhyemmillä kateeteilla, joihin +1 = pitemmät kateetit. Keteettien jono siis konvergoituu kohti samanpituisia, ja terävät kulmat lähestyvät 45:ttä astetta eli tasakylkistä suorakulmaista kolmiota.

72. Olavi Kivalo13.3.2014 klo 14:35

Ratkoin huvikseni yhtälöä a^2 + b^2 = c^2 antamalla pidemmälle kateetille kokonaisulukuarvoja b=a+k, jossa k=1,2,3,… Kun c>b kasvaa rajatta, saadaan loputon määrä päättymättömiä lukujonoja c(n) ja b(n) tai a(n). Näistä jotkut muutamilla pienillä k:n arvoilla ovat OEIS:ssa. Riippumatta k:n arvosta suhde c(n)/b(n) tai c(n)/a(n) lähestyy (tietenkin) raja-arvoa Sqrt2, kun n>>k kasvaa.

73. Antti14.3.2014 klo 10:36

Edellä käsiteltyä aihepiiriä lähellä on seuraava:
1, 18, 117, 694, ?

74. Olavi Kivalo14.3.2014 klo 18:32

Nämä ovat lausekkeen (Sqrt[2n^2-1]-5)/2 kokonaislukuarvoja:
1, 18, 117, 694, 4057, 23658, …

Luvut n, joilla lauseke saa kokonaislukuarvon, ovat nuo Jaskan:
5, 29, 169, 985, 5741, 33461, ...

75. Jaska14.3.2014 klo 22:52

Oma vastaukseni olisi ollut lyhyempi kateetti kateetti - 2. Antille seuraava: 7, 41, 239, 1393, ?

76. Jaska14.3.2014 klo 22:55

Siis olisin vastannut lyhyempi kateetti - 2.

77. Olavi Kivalo15.3.2014 klo 00:05

Tuohan on liian simppeliä kun siitä saa irti enemmänkin.

78. Antti15.3.2014 klo 00:27

Tai näinkin: sellaisten suorakulmaisten kolmioiden lyhyt kateetti- 2, joitten lyhyt kateetti on kokonaisluku = n ja pitkä kateetti on = n + 1 ja hypotenuusa on kokonaisluku.

Lyhyet kateetit ovat 3, 20, 119, 696, 4059, ...

79. Olavi Kivalo15.3.2014 klo 09:36

Oliko Antin tehtävä tässä:
On annettu: a = 3, 20, 119, 696, 4059, …
Kysytään: Mikä on 1, 18, 117, 694, 4057, …
Vastaus: Se on a - 2.

80. Jaska15.3.2014 klo 19:24

Eilinen 7, 41, 239, 1393... liittyy po. kateetteihin.

81. Olavi Kivalo15.3.2014 klo 20:20

Jätän tuon väliin (koska se on Antille :)

Tämäkin liittyy kateetteihin (Ei OEIS:ssa).
0, 2, 9, 60, 357, 2088, 12177, …
Mutta miksi 2:n ei oikeastaan pitäisi olla jonossa?

82. Antti15.3.2014 klo 23:29

9, 60, 357, 2088, 12177, ...
ovat niitten suorakulmaisten kolmioitten lyhyitä kateetteja,
joitten pitkä kateetti on lyhyt kateetti +3 ja hypotenuusa on kokonaisluku. 2 ei ole mainitunlainen kateetti. 0 ei ole minkään kolmion sivu.

83. Olavi Kivalo16.3.2014 klo 08:28

Loistava vastaus Antti.

Täsmennän vielä, että antamani lukujono on käypä sellaisenaan siinä mielessä, että se koostuu kokonaisluvuista (jotka ovat lyhyen kateetin pituudet). Vastaavat hypotenuusan pituudet ovat:
3, Sqrt[29], 15, 87, 507, 2955, 17223, …

Käypä (a,a+3,c)-tripletti on siis:
0, 9, 60, 357, 2088, 12177, …
3, 12, 63, 360, 2091, 12180, …
3, 15, 87, 507, 2955, 17223, …,
jossa ensimmäiset luvut tarkoittavat janaksi redusoitunutta kolmiota.

84. Jaska16.3.2014 klo 11:56

Kyseiset kolmiot voidaan siis sieventää jakamalla sivut kolmella. Ne ovat siis samanmuotoisia kuin 3/4/5, 20/21/29 jne eli vastaavat terävät kulmat ovat samanasteiset.

Kateettien erotuksen ollessa kolme on hypotenuusa aina kolmella jaollinen, ts. ei ole erimuotoisia suorakulmaisia kolmioita kuin yllä esitetyt. Todista!

85. Antti16.3.2014 klo 18:31

Jaska sanoi edellä, että ensimmäisten kolmioiden lyhyt kateetti on = toisten lyhyt kateetti /3. Koska ensimmäisten pitkä kateetti = lyhyt+1 ja toisten pitkä kateetti = lyhyt+3 =3*(ensimmäisten lyhyt+1), kolmioitten kateetit ja hypotenuusat ovat verrannolliset ja kolmiot ovat yhdenmuotoiset.

86. Jaska16.3.2014 klo 23:54

Antti, vahvistit jo todetun asian, sitä en tarkoittanut. Selvennän: jos suorakulmaisen kolmion kokonaislukukateettien erotus on hypotenuusa aina kolmella jaollinen. Ei siis ole suorakulmaisia kolmioita, joiden kateettien erotus on 3, mutta hypotenuusa muu kuin kolmella jaollinen. Todista!

87. Antti17.3.2014 klo 07:01

Käykö näin? Jaska sanoi edellä, että ensimmäisten kolmioiden lyhyt kateetti on = toisten lyhyt kateetti /3. Kyseinen lyhyt kateetti ja kolmion kumpikin muu sivu on kokonaisluku. Koska kolmiot ovat yhdenmuotoiset ja toisten kolmioiden pitkä kateetti on 3 * ensimmäisten lyhyt kateetti, myös toisten hypotenuusa on 3 * ensimmäisten hypotenuusa, 3 * kokonaisluku, siis 3:lla jaollinen.

88. Jaska17.3.2014 klo 10:29

En vieläkään onnistunut selittämään, mitä piti todistaa. Antin todistus pätee tietysti tapauksiin, joissa eiliset 11:56 perusjonot on kerrottu kolmella. Olkoon se tapaus X. Lukupareja n/n+3 on kuitenkin paljon enemmän kuin ko. ehdon täyttäviä. Esimerkki: olkoot kateetit 13 ja 16. Hypotenuusa on siis summan 169 + 256 = 425 neliöjuuri. Se ei ole kokonaisluku. Todista, että kokonaislukuratkaisuja ei löydy lainkaan perusjonoihin kuulumattomien kateettiparien joukosta. Ts. todista, että summan n + (n+1) neliöjuuri on kokonaisluku vain tapauksessa X.

89. Jaska17.3.2014 klo 10:41

Korjaan. Siis tietysti summan n^2 + (n+1)^2 neliöjuuri jne.

90. Antti18.3.2014 klo 07:50

Jätän todistamisen taitavammilleni. Sen sijaan saanen vielä pysyä suorakulmaisten kolmioitten aihepiirissä ja kysyä, millaisten kolmioitten tiettyjä sivuja ovat seuraavat:

13 17 35 73 97 203

91. Jaska18.3.2014 klo 21:38

Niin kuin kaikki parittomat 3:sta lähtien nuokin ovat lyhyempein kateettien kokonaislukumittoja. Pitempi katetti tällöin hypotenuusa -

35 myös lyhyempi kateetti: 12/35/37. 13 myös hypotenuusa 5/12/13. 73 myös hypotenuusa 48/55/73. Siis loputkin toimivat kahdessa "virkatehtävässä." Matsi alkaa juuri, joten ehdi laskeskella tarkemmin.

92. Jaska18.3.2014 klo 21:44

Putosi pois 1. Siis pitempi kateetti tällöin hypotenuusa - 1.

93. Antti18.3.2014 klo 22:39

Jaska, kaikki lyhyitä kateetteja tai kaikki pitkiä kateetteja tai kaikki hypotenuusoja.

94. Jaska19.3.2014 klo 00:01

Antti, ei pidä paikkaansa. 13 ei voi olla pitempi kateetti. Syynäilen muita huomenissa.

95. Antti19.3.2014 klo 03:09

Jaska, pitää paikkansa. Niinpä, jos 13 ei ole pitkä kateetti, kaikki ovat joko lyhyitä kateetteja tai hypotenuusoja.

96. Jaska19.3.2014 klo 11:10

Joo. näitä sattuu herkästi, kun eri ole tarkkana. Korjaankin eilisen 21:38 virheeni: 35 myös PITEMPI kateetti:12/35/37. Näin ollen Antin uusi väittämäkin on väärä.

Alkuperäinen pitää paikkansa 35:n osalta: 21^2 + 28^2 = 35^2.
Eri juttu on, että se on tapaus (3/4/5)*7. Samanlainen "lavennelma" on (140/147/203) = (20/21/29)*7.

Sälytänpä lisää todistustaakkaa halukkaille. Jaskan väittämä: Jos sama kokonaisluku n on suorakulmaisen kolmion a lyhyempi kateetti, kolmion b pitempi kateetti ja kolmion c hypotenuusa, ovat jonkin kolmion kaikki sivut jaollisia samalla luvulla.

97. Jukkis19.3.2014 klo 14:40

Mä en näistä teidän kolmiojutuista tajua paljon mitään, kun ei jaksa yrittää selvittää, mitä ihmettä tässä tapahtuu. Mutta sen verta ymmärrän, että tuo Jaskan väittämä ei varmana pidä paikkaansa.

Mutta vissiin siinä pitäis olla lisäys että kaikissa kolmiossa kaikkien sivujen pituudet pitää olla kokonaislukuja? Vai?

98. Antti19.3.2014 klo 14:58

Kiitos, Jukkis. Minustakin Jaska on erehtynyt.

99. Olavi Kivalo19.3.2014 klo 16:02

Otetaan kolme suorakulmaista kolmiota A, B ja C, joiden sivut ovat kokonaislukuja niin, että (esimerkiksi) A:n lyhyempi kateetti = B:n pidempi kateetti = C:n hypotenuusa = 20. Tällöin A:n kaikki sivut ovat jaolliset 1:llä, B:n 4:llä ja C:n 5:llä.

100. Jaska19.3.2014 klo 17:14

Pidin selviönä. että kaikki tajuaisivat kokonaisluvuista olevan kyse. Niinkuin yleensäkin ketjun lukujonoissa. No, olenhan minä muutenkin todistetusti erehtyväinen. Niin kuin Anttikin. Hänellä oli kaksi väärää väittämää, jotka kumosin esimerkeillä.

Olavi Kivalo esimerkin ymmärrän niin, että A:n lyhyempi kateetti on 20, B:n pitempi kateetti 20 ja C:n hypotenuusa 20. C:n lyhyempi kateetti on tällöin 12 ja pitempi 16, ts. kyseessä on pienimmän suorakulmaisen kolmio 3/4/5 nelikerta. Siis kolmion C kaikki sivut ovat jaolliset neljällä. Tarkoittaa, että väittämäni pitää paikkansa luvun 20 osalta. Se ei siis kumoa väittämääni.

101. Olavi Kivalo19.3.2014 klo 17:41

Sen ei ollut tarkoituskaan kumota. Halusin pikemminkin esimerkin avulla täsmentää, että esittämässäsi tilanteessa KUSSAKIN kolmiossa kaikki sivut ovat jaolliset samalla kokonaisluvulla joka, luku on eri eri kolmioissa.

102. Olavi Kivalo19.3.2014 klo 18:57

Pahus, meni pilkku väärään paikkaan.

103. Olavi Kivalo19.3.2014 klo 19:33

Toinenkin lipsahdus. Piti kirjoittaa: A:n kaikki sivut ovat jaolliset 1:llä, B:n 5:llä ja C:n 4:llä.

A on 20, 21, 29
B on 15, 20, 25
C on 12, 16, 20

Löytyykö muita tällaisia kolmiodraamoja?

104. Jukkis19.3.2014 klo 20:48

Kolmiodraamoista en tiedä, mutta sen verta tämä kolmiohomma rupesi kiinnostamaan, että tuotin tällaisen kuvan:
aijaa.com/5quK2i

Vaakasuunnassa on vasemmalta oikealle luvut x = 1...1000 eli yksi kateetti, pystysuunnassa ylhäältä alas luvut y = 1...1000 eli toinen kateetti. Jos kateetit x,y tuottaa hypotenuusan pituudeksi kokonaisluvun, niin siinä kohdassa on piste. Ihan vasemmassa ylänurkassa siis on pisteet kohdissa x = 3, y = 4 ja x = 4, y = 3.

Jänskä tähtitaivas siitä tuli.

105. Jaska19.3.2014 klo 22:37

Mainitsin jo tapauksen 35:

A 35, 612, 613
B 12, 35, 37
C 21, 28, 35

Näitä "kolmiodraamoja" on ääretön määrä.

En nyt ole oikein varma. onko OK tosissaan yhdellä jaollisuuden kanssa tässä yhteydessä. Jos on, niin sitä kovasti kummastelen. OK:n A ei siis täytä ehtoa, koska sivuilla ei ole yhteisiä alkutekijöitä. 1 ei ole alkuluku.

106. Olavi Kivalo20.3.2014 klo 00:00

Sivut ovat jaolliset vain 1:llä silloin, kun jokin sivuista on itse alkuluku. En ole kauhean tosissani tässä asiassa - enkä oikein muutenkaan. Jaskan väittämä on ihan hyvä.

Jukkiksen kuvio on kiinnostava. Se kaipaisi hieman lisää tekijän omaa tulkintaa.

107. Olavi Kivalo20.3.2014 klo 07:19

Vähän täsmällisemmin: Kun hypotenuusa on alkuluku, sivujen suurin yhteinen tekijä on 1.

108. Jukkis20.3.2014 klo 08:01

"...tekijän omaa tulkintaa"? Enpä tuota osaa sen kummemmin tulkita kuin mitä tuolla edellä sanon. Kiva sitä on katsella, siitä löytyy mm. aika lailla Kassiopeiaa muistuttava tähtikuvio. Ja jänniä kaaria, ja tietysti nuo suorat.

Kuvan teko vaati 9 riviä Matlab-koodia.

109. Jaska20.3.2014 klo 11:43

Kuvio näyttää viuhkalta, jossa aritmeettisti säännöllisin välein rakntuneiden suorien pistejonojen välissä on konaisuutena epäsäännölliseltä näyttävä, mutta osin mm. säännöllisiä kaarikuvioita muodostavia pistejoukkoja. Näennäinen sekavuus johtuu suorakulmaisten kolmioiden monimuotoisuudesta. Samanmuotoisten vastaavat pistekuviot olisivat säännöllisen näköisiä.

En pysty vastaamaan kysymykseen. minkä näköinen on Aku Ankan ensimmäinen numero. Minulla ei ole kyseistä lehteä. Jos olisi, se oletettavasti näyttäisi vanhalta ja kuluneelta.

110. Jaska20.3.2014 klo 13:46

14.3. tehtävä 7, 41, 239, 1393 .., jäi Antilta noteeraamatta. OK huomasi sinänsä simppelin ratkaisun: kateettien n ja n+1 summa tapauksessa, jossa vastaavan hypotenuusan neliöjuuri on kokonaisluku. Siis 3 + 4 =7, 20 + 21 = 41, 119 + 120 = 239 jne.
Jonon luvut ovat samalla vastaavien neliöiden erotus. Kateettien summat generoituvat seuraavasti:

41 = 6*7 - 1 (tässä 1 on OEIS:n jonon ensimmäinen luku)
239 = 6*41 - 1
1393 = 6*239 - 1
8119 = 6*1393 - 1 jne.

12 ensimmäistä lukua:

7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, 275807, 1607521, 9369319,
54608393, 318281039, 1855077841

Vastaavien kolmioiden sivut:

3, 4, 5
20, 21, 29
119, 120, 169
696, 697, 985
4059, 4060, 5741
23660, 23661, 33461
137903, 103904, 195025
803760, 803761, 1136589
4684659, 4684660, 6625109
27304196, 27304197, 38613965
159140519. 159140520, 225058681
927538920, 927538921, 1311738121

111. Jaska20.3.2014 klo 19:06

Käsittämätön oikosulku taas kerran, kun ei aattele, mitä on tekemässä. Generoinnin -1 on oikeiin vain ekassa 6*7 - 1. Jatkossa kyseiset miinustukset menevät järjestyksessä - 7, - 41, -239, - 1393, - 8119, - 47321, - 275807, - 1607521, - 9369319, - 54608393 jne. Sivut on kyllä tämän oikean miinustuksen mukaan laskettu. Puistattaa vieläkin...

112. Olavi Kivalo20.3.2014 klo 22:31

Jos vieläkin puistattaa, niin rauhoitu. Sympatiaahan tuo vain herättää.

113. Jaska20.3.2014 klo 23:00

Ei tutisuta enää, loppui kylläkin jo ennen sympatioita, kiitos vaan. Mielenkiintoisia välisummia muuten tulee, kun ko. erotusjonon lukuja ynnätään yksi kerrallaan.

114. Jaska21.3.2014 klo 11:30

Ynnäilyn tuloksia:
8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332929, 1940440, 11309768, 65018161

Huomioita tästä kiehtovasta jonosta?

115. Wexi21.3.2014 klo 12:40

Tuollaista nyt ainakin:
Tuo viimeinen luku (65018161) on listan ainoa, joka muodostuu kahdesta alkuluvusta (65018161 = 13 x 5001397).
Muissa luvuissa on "tekijöinä" alkulukujen potensseja.

116. Jaska21.3.2014 klo 17:37

Näin kävi taas. Wexi paljasti ensi töikseen jälleen kiusallisen mokani. 11:30 ei siis sekään sekään onnistunut virheittä. Oikealle lipesivät 332928 ja 1940449 ja 65918161 (kolmas numero siis 9, ei 0). Selitysyritys: Sekä näppäimistö että teksti näkyvät aika heikosti. Täytyy kai ruveta suunnittelemaan silmät ja valaistus uusiksi. Korjatut ynnäykset:

1 + 7 = 8
+ 41 = 49
+ 239 = 288
+ 1393 = 1681
+ 8119 = 9800
+ 47321 = 57121
+ 275807 = 332928
+ 1607521 = 1940449
+ 9369319 = 11309768
+ 54608393 = 65918161

Jaetaan jono kahteen osaan:

49, 1681, 57121, 1940449, 659181561
8, 288, 9800, 332928, 11309768

Nyt havaitaan, että ylempi koostuu lukujen 7, 41, 239, 1393, 8119 neliöistä. Alempi ei ihan, vaan?

117. Olavi Kivalo26.3.2014 klo 09:52

Jaskan kysymystä märehtiessä tässä pieni välimäre.

Seuraavan jonon lainalaisuus on helppo huomata, mutta kuinka jono liittyy suorakulmaisiin kolmioihin?
a(n) = 3, 4, 9, 8 15, 12, 21, ...

118. Jaska26.3.2014 klo 11:28

Näyttäisi kaksi jonoa erotuksin 4 ja 6 yhdistetyn. Voi liittyä useammallakin tavalla, esim. mahdollisia kateetteja ja/tai hypotenuusoja kaikki. Kateettipareja puolestaan 3, 4 ja 8, 15.
OK:n tarkoittamaa yhteyttä en nyt äkkiseltään keksi.

Nuo kuuden erotukset syntyvät myös peräkkäisten neliöiden summista. Se johtaa taas aatokset erityisen lumoavaan jonoon, jonka luonnollisesti kaikki haauavta palavasti esille. Hoidetaan kuitenkin ensin tuo 8, 288, 9800, 332928, 11309768... pois päiväjärjestyksestä.

Kun kyseessö eivät ole "ihan" neliöt, voidan päätellä niiden olevan joko neliä +1 tai -1. Helposti havaitaan, että 8 = 3^2 - 1 ja 288 = 17^2 - 1. Sataan saakka neliöt havainnoineet toteavat, että 9800 = 99^2 - 1. Kaksi seuravaa 332928 = 577^2 - 1 ja 11309768 = 3363^2 - 1.

Tarkastellaan jonoa 3, 17, 99, 577, 3363. Sen luvut ovat tiettyjä erotuksia. Jatka itse: 1, ?, ?, ?, ?, ?

119. Jaska26.3.2014 klo 11:31

(soori nyt valoa on liikaakin auringon paistaessa suoraan silmiin)

120. Olavi Kivalo26.3.2014 klo 20:24

Pythagorasta on pyöritelty niin paljon, että todennäköisyys, että löytäisi enää mitään kovin lumoavaa on häviävä. Siispä mitä tätäkään panttaamaan.

Jono a(n) = 3, 4, 9, 8 15, 12, 21, … on OEIS:ssa, mutta määriteltynä niin, ettei eksplisiittistä kytköstä Pythagoraan kolmikkoon (a,b,c) ole.

a(n) on pienin sellainen kateetti, että hypotenuusan ja sen toisen kateetin erotus on c(n)-b(n) = n.

121. Olavi Kivalo27.3.2014 klo 11:42

Kun laskin lisää termejä, näyttää siltä kuin olisin sittenkin keksinyt jotain uutta (ei olekaan OEIS:ssa).

Siis a(n) on pienin sellainen kateetti, että hypotenuusan ja sen toisen kateetin erotus on c(n)-b(n) = n.

a(n) = 3, 4, 9, 8, 15, 12, 21, 12, 15, 20, 33, 24, 39, 24, 39, 28, 45, …

Lumoava, vai mitä. Olisikohan se vielä oikein?

122. Jaska27.3.2014 klo 13:14

Joo, lumouduin kyllä oikeellisuudesta, mihin itse harvoin yllän.

123. Jukkis27.3.2014 klo 16:41

Olavin jonon 13 ekaa termiä on oikein, sitten lähtee pieleen. Tässä sata ekaa:

3, 4, 9, 8, 15, 12, 21, 12, 15, 20, 33, 24, 39, 28, 45, 24, 51, 24, 57, 40, 63, 44, 69, 36, 35, 52, 45, 56, 87, 60, 93, 40, 99, 68, 105, 48, 111, 76, 117, 60, 123, 84, 129, 88, 75, 92, 141, 72, 63, 60, 153, 104, 159, 72, 165, 84, 171, 116, 177, 120, 183, 124, 105, 80, 195, 132, 201, 136, 207, 140, 213, 84, 219, 148, 105, 152, 231, 156, 237, 120, 99, 164, 249, 168, 255, 172, 261, 132, 267, 120, 273, 184, 279, 188, 285, 120, 291, 112, 165, 120

124. Olavi Kivalo27.3.2014 klo 17:03

Samaa mieltä Jukkiksen kanssa. Kopioin nuo edelliset yksi kerrallaan erillisistä laskuista ja tuli virhe. Tässä kaksisataa ekaa:

3, 4, 9, 8, 15, 12, 21, 12, 15, 20, 33, 24, 39, 28, 45, 24, 51, 24,
57, 40, 63, 44, 69, 36, 35, 52, 45, 56, 87, 60, 93, 40, 99, 68, 105, 48, 111, 76, 117, 60, 123, 84, 129, 88, 75, 92, 141, 72, 63, 60, 153, 104, 159, 72, 165, 84, 171, 116, 177, 120, 183, 124, 105, 80, 195, 132, 201, 136, 207, 140, 213, 84, 219, 148, 105, 152, 231, 156, 237, 120, 99, 164, 249, 168, 255, 172, 261, 132, 267, 120, 273, 184, 279, 188, 285, 120, 291, 112, 165, 120, 303, 204, 309, 156, 315, 212, 321, 144, 327, 220, 333, 168, 339, 228, 345, 232, 195, 236, 357, 180, 143, 244, 369, 248, 175, 168, 381, 144, 387, 260, 393, 264, 399, 268, 225, 204, 411, 276, 417, 280, 423, 284, 429, 168, 435, 292, 189, 296, 447, 180, 453, 228, 255, 308, 465, 312, 471, 316, 477, 200, 483, 180, 489, 328, 495, 332, 501, 252, 195, 340, 285, 344, 519, 348, 245, 264, 531, 356, 537, 240, 543, 364, 549, 276, 555, 372, 561, 376, 315, 380, 573, 240, 579, 388, 585, 224, 591, 264, 597, 220

125. Jukkis27.3.2014 klo 17:11

Juu, samat saan.

126. Olavi Kivalo27.3.2014 klo 17:50

Osa näistä pienimmistä kateeteista syntyy samasta kolmiosta. Esim. kolmikot (3,4,5) ja (4,3,5) esittävät yhtä ja samaa kolmiota ja antavat jonon kaksi ensimmäistä termiä a(1) ja a(2). Kolmikko (8,6,10) antaa termin a(4), mutta (6,8,10), joka kuvaa samaa kolmiota, ei kelpaa jonoon, koska 4<6.

127. Jukkis27.3.2014 klo 18:33

Tein uudestaan kuvan, jonka eka versio on tuolla 19.3.2014 klo 20:48. Nyt siellä kolmioita kuvaa pisteen sijasta tähti, näkyy vähan paremmin. Ja viimeisimmän jonon generoivia kolmioita kuvaava tähti on punainen. Kiva tuo oli tehdä, lopputulos on sitten mitä on.

Täällä:
aijaa.com/GGLVON

128. Olavi Kivalo27.3.2014 klo 20:17

Nätti kuva ja ilmeisesti sisältää kosolti informaatiota, mutta…
Eikö kuvaan saisi (helpolla) koordinaatit?
Mitä johtopäätöksiä itse tekisit kuvan pohjalta?
Kuinka löydän siitä esim. nuo "kolmiodraamat" aA=bB=cC?
Mikä on "viimeisin jono", jota punaiset tähdet (kääpiöt) kuvaavat?

129. Jukkis27.3.2014 klo 21:21

Tässä on mukana jonkinlainen koordinaatisto:
aijaa.com/57Nggd

Pisteviivat on 100:n välein, viivojen pisteet 5:n välein.

Ei tässä vaiheessa enempää kommentoitavaa.

130. Jaska7.4.2014 klo 13:01

Alkua jonosta, joka ei ole tyystin vailla universaaleja mielenkiintoisuuksia:

1, -1, -1, -1, 2, 3, 5, 5, 8, 13, ?

131. Jaska8.4.2014 klo 18:11

Pitempää pötköä erotuspesästä, jossa alkulukujen jono on osana polttoainetta:

1, -1, -1, -1, 2, 3, 5, 5, 8, 13, 13, 17, 20, 21, 23, 28, 33, 34, 39, 41, 41, 46, 49, 54, 61, 63, 64, 67, 67, 69, 82, 85, 89, 90, 99, 100

132. Olavi Kivalo8.4.2014 klo 20:39

p(n)-q(n)

133. Jaska9.4.2014 klo 00:23

Joo, siis q on muu kokonaislu kuin alkuluku. Mitä yhteistä q:lla tuplalukutapauksissa?

134. Olavi Kivalo9.4.2014 klo 09:02

Mitä yhteistä on q:lla? Yhtä hyvä kysymys kuin mitä yhteistä on polkupyörällä? Sillä on sekä satula.

Näyttävät alkuluvuilta.

135. Jaska9.4.2014 klo 11:39

Jono siis sisältää järjestysluvultaan samojen alkulukujen ja muiden lukujen erotukset: 2 - 1, 3 - 4, 5 - 6, 7 - 8, 11 - 9, 13 - 10, 17 - 12, 19 - 14 jne.

Tupla syntyy, kun myös alkulukukaksosten vastinparin keskinäinen eräisyys on 2, siis kun vastinparin välissä on alkuluku. Näin ollen jompikumpi vastinparin luvuista on kuudella jaollinen.

Tuplaluvut ovat alkulukuja yhdeksänteen tuplaan 431 - 112 = 319 ja 433 - 114 = 319 = 11*29 saakka. 17 ensimmäistä tuplaa ovat:

5, 13, 41, 67, 131, 167, 191, 199, 319 (11*29), 433, 503, 667 (23*29), 685 (5*137), 835 (5*157), 859, 1033, 1159 (19*61).

16:n ensimmäisen tuplan taustalla väijyy arvattavasti väärä otaksuma, että tuplat ovat joko alkulukuja tai jaollisia lukuja muotoa 6n + 1. Hätiköityä on myös otaksua, että kaikki jaolliset luvut olisivat jatkossakin puolialkulukuja. En viitsi käsipelillä alkaa matsästää ensimmäisiä poikkeuksia.

136. Olavi Kivalo9.4.2014 klo 15:38

1159 ei kuulune joukkoon. 1033:n jälkeen tulee 1565, joka on ensimmäinen ei-alkuluku, joka ei ole muotoa 6n+1.

137. Jaska9.4.2014 klo 17:06

Kyllä kuuluu joukkoon, 6*193 = 1158.

138. Olavi Kivalo9.4.2014 klo 20:05

1159 ei ole tuplaluku.

139. Olavi Kivalo9.4.2014 klo 20:28

Joka tapauksessa tuolla lukujonolla saattaisi olla yleistä (universaalia?) kiinnostavuutta. Ainakaan se ei ole OEIS:ssa.

140. Jaska10.4.2014 klo 00:02

1159 ei kuulu jonoon lainkaan. Virhe on syntynyt, kun olen hypännyt q-jonon luvun 273 yli. Pikaisella observoinnilla sain seuraavaksi tuplaksi 1821, joka on alkuluku.

141. Jaska10.4.2014 klo 00:05

Korjataan pikaisesti pikainen näpyttelyvirhe, po. 1831, joka on alkuluku.

142. Olavi Kivalo10.4.2014 klo 09:01

Jono on seuraava:
5, 13, 41, 67, 131, 167, 191, 199, 319, 433, 503, 667, 685, 835, 859, 1033, 1565, 1645, 2087, 2695, 2969, 3199, 3329, 3743, 3949, 4135, 4625, 4639, 4831, 5549, 5629, 5663, 5741, 5807, 6031, ...

Tuosta universaalisesta kinnostavuudesta. Tämä on vain osajono aiemmasta
1, -1, -1, -1, 2, 3, 5, 5, 8, 13, 13, 17, 20, 21, 23, 28, 33, 34, 39, 41, 41, 46, 49, 54, 61, 63, 64, 67, 67, 69, 82, 85, 89, 90, 99, 100, …,
joka on OEIS:ssa (A014237)

143. Jaska10.4.2014 klo 12:16

Yön hämärissä näin jostain syystä (ei alkoholi) luvun 1831 tuplana. Oman jononi viimeistä oikeaa 1033 seuraava on siis 1565 (1931/1933 ja 366/368), joka olikin odotettu eka jaollisten tapaus 6n - 1. Jatko osoittaa luonnollisen tasapelin suuntaan, myös alkulukutuplien osalta.

144. Olavi Kivalo10.4.2014 klo 23:15

Tutkiskelin tuota Jukkiksen graafista esitystä. Yleensä graafinen esitys, silloin kun se tehdään, paljastaa jotain hyödyllistä säännönmukaisuutta, jota numeerisesta esityksestä ei helposti havaitse. Tämä kuvio on sama mikä löytyy lähes kaikista yhteyksistä, jotka koskevat Pythagoraan kolmikkoa, paitsi että Jukkis värjäsi tietyt pisteet on punaisiksi. Punaisten pisteiden on tarkoitus havainnollistaa jonoa
3, 4, 9, 8, 15, 12, 21, 12, 15, 20, 33, 24, 39, 28, 45, 24, 51, 24, 57, 40, …
mutta ne eivät paljasta mitään ainakaan minulle.

145. Jaska10.4.2014 klo 23:50

Eikös se ole alkua siitä omasta hirmu pitkästä jonostasi?

146. Jukkis11.4.2014 klo 12:01

Enpä älynnyt Pythagorasta googlailla, jolloin olisi tosiaan törmännyt ihan samanlaisiin kuviin. Ei ole tommoinen käsite kuin Pythagoraan tripletit ennen tullut vastaan.

Enkä minäkään niistä Olavin jonon lukuja kuvaavista punaisista pisteistäni mitään sen kummempaa irti saa.

147. Olavi Kivalo11.4.2014 klo 15:13

Tarkoituksenani oli lähinnä sanoa, että esitettäessä Pythagoraan kolmikko (a,b,c) graafisesti a,b-koordinaatistossa saadaan hyvin havainnollistava kuva, jossa kateettien koordinaatit asettuvat origokeskeisten c-säteisten ympyröiden piirille ja primitiivisten kolmikoiden kateettien koordinaattien monikerrat asettuvat ympyröiden symmetrisesti sijaitseville säteille. Kuva on täysin säännömukainen (kaukana tähtitaivaasta) ja siitä on helppo lukea Pythagoran kolmikon lainalaisuudet. Sensijaan kuva ei havainnollista tuota lukujonoa "pienin sellainen kateetti, että hypotenuusan ja sen toisen kateetin erotus on c(n)-b(n) = n" vaikka värittäisi sen määrittämät a,b-koordinatit.

Jos sensijaan piirretään kuvaaja a(n) = f(n), saadaan jotain käsitystä lukujonon kulusta. Osa pisteistä asettuu kahdelle eri kulmakertoimen omavalle suoralle, osa niiden alapuolelle pikkuhiljaa divergoivaan viuhkaan. Tuota jäljempää joukkoa voisi olla kiinnostava havainnollistaa lisää.

148. Jaska14.4.2014 klo 00:02

Tarkastellaan kahta pythagoralaista jonoa. Ylempi ne hypotenuusat, jotka ovat muotoa pitempi kateetti + 1. Alempi ko. kolmioiden kateettien erotukset.

5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925...

1, 7, 17, 31, 49, 71, 97, 127, 161, 199, 241, 287, 337, 391, 449, 511, 577, 647, 721, 799, 881...

Jonoissa on sekä alkulukuja että jaollisia lukuja. Väittämä 1: kummankaan jonon jaollisten lukujen alkutekijänä ei esiinny 11.
Väittämä 2: hypotenuusajonon jaollisten lukujen alkutekijänä ei esiinny 7.

Todista tai kumoa!

149. Olavi Kivalo14.4.2014 klo 19:47

Konjektuuri, että hypotenuusalukujen primitiiviset jakajat ovat kaikki muotoa 4k+1 eli 5, 13, 17, 29, ..., on jo todistettu. Yllä oleva on hypotenuusajonon osajono.

150. Jaska14.4.2014 klo 21:38

Selvähän se, tehtävä olikin tarkoitettu todistusta tuntemattomille tai muistamattomille. Alemmalle jonolle ei oletettavasti ole yhtä yksinkertaista kaavaa, täytyy siias haeskella mutkikkaampaa. Jakojäännössyklien avulla alkupään jakajat löytyvät kuitenkin helposti.

151. Jaska15.4.2014 klo 12:57

Kateettien erotusjonon 11 pienintä alkutekijää (jakajaa) lyhyempään kateettiin 171 saakka:

7, 17, 23, 31, 41, 47, 71, 73, 79, 89, 97,

Joukkoon kuulumattomat 12 pienintä alkulukua (pl. 2 ja 3) ovat siten:

5, 11, 13, 10, 29, 37, 43, 53, 59, 61, 67, 83

152. Jaska15.4.2014 klo 16:03

Lipesi oikealle, po. 19.

153. Olavi Kivalo8.5.2014 klo 10:39

Kirjoitin 26.3.2014 klo 20:24:
"Pythagorasta on pyöritelty niin paljon, että todennäköisyys, että löytäisi enää mitään kovin lumoavaa on häviävä."

Tällä asenteella esittelin 1.5. OEIS:n keskustelupalstalla löydökseni "a(n) on pienin sellainen kateetti, että hypotenuusan ja sen toisen kateetin erotus on c(n)-b(n) = n" eli lukujonon
a(n) = 3, 4, 9, 8, 15, 12, 21, 12, 15, 20, 33, 24, 39, 24, 39, 28, 45, …

Koska jono herätti kiinnostusta, sen luonnos on nyt OEIS:ssa numerolla A242219 statuksella proposed. Tämä säie toimi jälleen idean herätteenä. Kiitos siitä.

154. Antti13.5.2014 klo 12:32

4, 4, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 1, 4, ?

155. Olavi Kivalo14.5.2014 klo 10:34

Kun jono jatkuu, lähestyykö se lopulta nollaa?

156. Jaska14.5.2014 klo 16:55

Ei lähesty. Nolla on jonon eniten esiintyvä luku. Ensimmäisen järjestysluku on 21. Suurempaa lukua kuin 4 jonossa ei esiinny.
Ratkaisun olisi pitänyt aueta ainakin minulle ensi silmäyksellä, mutta harhauduin uskomaan sitä mutkikkaammaksi. Vääntelin eilen erilaisia erostusjonoja, kunnes tunnin päästä luovutin. Tänään lenkillä älysin vaihtaa yksinkertaisempaan artimetiikkaan.

157. Jaska14.5.2014 klo 16:57

Artimetiikka = taiteellinen aritmetiikka:)

158. Jaska14.5.2014 klo 17:36

Jos kutsun seuraavaa, mielestäni vähintään yhtä kiinnostavaa jonoa edellisen kontraarijonoksi, pitäisi Antin keksiä jatko pikaisimmin. Jonossa on ääretön määrä eri lukuja.

3, 4, 6, 8, 6, 9, 9, 8, 8, 10, ?

159. Olavi Kivalo14.5.2014 klo 19:38

Antin jono ei muutu jatkuessaan puhtaaksi nollajonoksi. Se on yhtä varmaa kuin alkulukujen määrän äärettömyys.

Sen sijaan nollien esiintymistiheys kasvaa. Voidaan väittää, että nollasta poikkeavien termien esiintymistiheys lähestyy nollaa asymptoottisesti.

160. Antti14.5.2014 klo 21:25

Ratkaisu: a(j) on

[(j-1)*10+1, j*10]-väliltä

({[1, 10], [11,20], [21,30], [31, 40] ...)

löytyvien alkulukujen määrä.

161. Olavi Kivalo14.5.2014 klo 23:05

Esiintymistiheyden trendistä saa luotettavamman käsityksen kun sitä tarkastelee vaikkapa sadan termin pätkissä.

162. Antti15.5.2014 klo 03:20

Tässä muutamia sadan luvun pätkiä ja kullakin esiintyvien alkulukujen määrä

10001-10100 11
20001-20100 9
30001-30100 9
40001-40100 9
50001-50100 10
60001-60100 9
70001-70100 10
80001-80100 5
90001-90100 13
100001-100100 6

163. Olavi Kivalo15.5.2014 klo 11:33

Nuo ovat oikein, mutta trendistä ei voi tehdä johtopäätöstä. Vasta, kun j on luokkaa 10^400, alkulukuja esiintyy enintään kerran sadan termin pätkissä ja esiintymiskerrat sen kun vähenevät.

Väleillä 10^k...10^k+100, jossa k=800…1000, alkulukujen esiintymiskerrat näyttävät jo tältä
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

164. Olavi Kivalo17.5.2014 klo 19:50

By the way, lumoava A242219 on nyt julkaistu ja ihailtavissa OEIS:ssa.

165. Jaska21.5.2014 klo 13:01

Edelliseni oli jaollisten lukujen eri alkutekijöiden lukumäärä kymmenjaksoissa 1-10, 11-20 jne.

Seuraava ei kai ole ollut, jos on, menköön muistitestinä.

2, 3, 11, 5, 29, 47, 59, 17, 89, 23, 53, 71, 41, ?

166. Jaska22.5.2014 klo 12:09

Eilisen jononi kaiki luvut ovat alkulukuja. Seuraavassa mukana ovat kaikki kokonaisluvut knopin ollessa sama. Kummassakin jonossa kukin luku esiintyy jonossaan vain kerran.

1, 2, 3, 4, 7, 6, 5, 8, 9, 22, 15, 16, 18, 13, 19, ?

167. Jaska23.5.2014 klo 12:53

Helpotetaan knopin löytämistä. Ensimmäisen luvun jälkeen kaikki luvut ovat pienimmät sellaiset, jotka toteuttavat knoppiehdon.

Kun alkulukujono aloitetaan luvusta 5, se muotoutuu seuraavasti:

5, 29, 47, 59, 17, 89, 23, 11, 101, 227, 89...

Jonon kaikki luvut ovat muotoa 6n - 1. Jos aloitetaan luvusta 7, kaikki luvut ovat muotoa 6n + 1: 7, 31, 43, 61, 13, 19, 73...

Tulikohan helpotuksesta vain vaikeutusta. No älliä näillä on...

168. Olavi Kivalo24.5.2014 klo 11:24

Jos ei ihan heti tule vastauksia, niin intoa paljastaa ratkaisu voisi pidätellä. Näillä keleillä voi esimerkiksi paljastaa ihonsa, ottaa aurinkoa ja uida.

169. Jaska24.5.2014 klo 13:15

Augh, pyydän anteeksi ylimitoitettua ratkojaystävällisyyttäni, joka siis voidaan tulkita ratkojien aliarvioinniksi. Palataan asiaan viikon kuluttua.

170. Jaska1.6.2014 klo 11:45

-> + <-

171. Jaska8.6.2014 klo 12:30

Ratkaisun avain on tietty ammus.

172. Jaska15.6.2014 klo 23:36

Ed. tarkoittaa, että tietyt summat luetaan oikealta vasemmalle. Oikein valitut yhteenlaskettavat täyttävät summan tietyn ehdon.

173. Olavi Kivalo18.6.2014 klo 08:17

Ok, luulen, että tajuan. Just a moment...

174. Olavi Kivalo18.6.2014 klo 10:38

Vaikuttaa liian jaskamaiselta. Lukujonojen termejä uudelleenjärjestetään omituisella logiikalla. En tiedä jaskanko sittenkään.

175. Jaska18.6.2014 klo 11:12

No jaa, voihan tätä jaskamaiseksikin kutsua, jos kyse on pelkästä vaikeudesta. Perusratkaisumenetelmähän on vanha ja koeteltu, kahden peräkkäisen yhteenlasku. Takaperin luku on puolestaan tuttua palindromiluvuista.

176. Olavi Kivalo18.6.2014 klo 12:08

Tuota juuri kokeilin, mutta lopullinen loksahdus ei tapahtunut. Paitsi leuan.

177. Jaska18.6.2014 klo 12:55

"Lopullinen loksahdus"? Minun tarkoittamani on just se, minkä summat pakittamalla suoraan näkee:

2+3 = 5
3+11 = 14
11+5 = 16
5+29 = 34
29+47 = 76
jne.

Mainituksi tulivat myös ehdot pienin mahdollinen seuraava luku ja kunkin luvun esiintyminen vain kerran. Samoja summia voi muodostua useammin kuin kerran, mikä jäi aiemmin mainitsematta.

178. Olavi Kivalo18.6.2014 klo 22:26

Olisi kiinnostavaa lukea jonkun toisenkin näkemys tuosta logiikasta. Minulla ei edelleenkään palikat loksahda kohdalleen.

Jotta voisin kritisoida itseäni enkä tätä tehtävää.

179. Jaska20.6.2014 klo 11:45

Näkemyksiä ei vielä näy. Ehkä selvempää olisikin vain kysyä, ymmärtääkö joku ko. tehtävän logiikan. Kyllä tai ei.

Oma käsitykseni ketjun lukujonojen logiikasta: niissä on yksi tai useampi yhteinen tekijä, jonka/joiden keksiminen mahdollistaa ratkaisun eli normaalisti jonon jatkamisen tehtävän idean mukaisesti.

Se ei tarkoita, että luvuilla olisi sellainen looginen järjestys, että ratkaisu on kuvattavissa täsmällisellä matemaattisella merkkikielellä. Tämän OK:n leuan loksauttajankin jatkoluvut löytyvät vain kokeilemalla. Tosin sen ei tarvitse olla umpimähkäistä toimintaa. Voi edetä alkulukujen listassa niiden suuruusjärjestyksessä.

Eri juttu on sitten se, onko tehtävä ratkaisijan mielestä hyvä tai huono. Mielipidettään voi tietysti perustella logiikalla, jolle ei ole pakko hyväksyä jonkun muun mielestä loogisia vasta-argumentteja.

Seuraavassa helpommassa eli tehtävänä tylsemmässä jonossa sama peruslogiikka (tai sen puute, miten vain), siis kahden peräkkäisen yhteenlasku:

1, 2, 3, 4, 7, 6, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 15, 14, 17, 12, 11...

180. Jukkis20.6.2014 klo 19:29

Minä en ainakaan tajunnut tuota Jaskan edellistä ollenkaan, selityksenkään jälkeen.

181. Jaska21.6.2014 klo 20:20

Olikohan se edellinen helpompi eilinen vai sitä edellinen vaikea.
Ihan kirjaimellisesti Jukkiksen lausuntoa "en tajunnut ollenkaan" en kummankaan osalta kehtaa tulkita. Katsotaan nyt kuitenkin, miltä summat 18.6. 12:55 näyttävät oikealta vasemmalle luettuina:

5, 41, 61, 43, 67

Taju on minullakin kovalla koetuksella, jos OK ja Jukkis eivät noita tunnistaneet alkuluvuiksi.

182. Matti27.6.2014 klo 00:49

Lotto on uusiutunut. Voimaan on astunut nk tuplaussääntö:

Ensin arvotaan yksi numero, nk tuplausnumero, väliltä 1 ... 39. Sitten arvotaan normaalisti 7 numeroa ja 2 lisänumeroa.

Jos lottoamassasi rivissä on tuplausnumero, ja jos rivisi voittaa, saat voiton kaksinkertaisena. Näin, jos olet maksanut tuplausmaksun 25 senttiä.

Ellet ole maksanut, saat voiton tavalliseen tapaan yksinkertaisena. (Ja jos rivisi ei voita, niin et kummassakaan tapauksessa saa mitään.)

Kysymys tietysti kuuluu, kannattaako ottaa tuplaus, ja maksaa siitä 25 senttiä? (Lotossa Veikkaus palauttaa voittoina noin 39% sisään tulleesta rahasta.)

183. Matti27.6.2014 klo 01:13

Niin, ja yksi lottorivi maksaa euron.

184. Jaska27.6.2014 klo 17:35

Ei kannata todennäköisyyden vinkkelistä pitkällä aikavälillä. Jos Matti alkaisi pelata säännöllisesti tuplavoittoa, se tapahtuisi laskennallisella palautusprosentilla 36,8.

Makuasia, kutsuuko tuota ryöstöksi jo ennestään Veikkaus Oy:n heikoimmman palautusprosentin pelissä. On se kuitenkin selvästi vahvempi puhallus kuin pieni nipistys Kenon palautuksesta (n. 50) tuplarivimaksulla pelaaville. Mutta muistakaamme, että loppujen lopuksi suomalainen voittaa aina:)

185. Antti30.7.2014 klo 15:30

3, 5, 7, 2, 11, 2, 15, 4, 19, 21, 23, 4, ?

186. Jaska31.7.2014 klo 12:52

Helppo arvaus olisi 27 eli kaksi jonoa limittäin, mutta toisessa ei olisi mitään tolkkua. Luovutan tässä vaiheessa.

187. Antti6.8.2014 klo 15:03

a(j)=Jos(OnKokLuku(j/6;j/3;Jos(OnKokLuku(j/4;j/2;2 *j+1)))
Seuraava on tosiaan 27.

188. Jukkis6.8.2014 klo 16:22

Ei sulut voi a(j):n lausekkeessa noin olla. Vaan näin:

a(j)=Jos(OnKokLuku(j/6);j/3;Jos(OnKokLuku(j/4);j/2 ;2
*j+1))

Tuo ainakin toimisi Excelissä, jos siellä olisi tommoinen OnKokLuku-funktio. Ei taida olla, paitsi tietysti jos sen sinne itse ohjelmoi.

Jos j/6 on kokonaisluku, niin a(j) = j/3.
Muussa tapauksessa: Jos j/4 on kokonaisluku, niin a(j) = j/2.
Muussa tapauksessa: a(j) = 2*j+1

189. Antti6.8.2014 klo 16:32

Kiitos, Jukkis!
OnKokLuku(a)=(Kokonaisluku(a)=a)

190. Olavi Kivalo8.8.2014 klo 10:26

Sarjassamme totaalisen keinotekoisesti muodostettuja lukujonoja, seuraava tuli vastaan:
29, 43, 61, 67, 89, 167, 227, 239, 263, 269, 281, 349, …

Kukin termi on alkuluku, joka muodostaa alkuluvun, kun siihen lisätään jokin sen omista numeroista.
Esim. 29+2=31, 43+4=47, 61+6=67 jne.

Tässä voisi kiinnostaa (tai sitten ei), syntyykö ketjuja ja kuinka pitkiä, joissa summaamalla saatu uusi alkuluku kykenee summaamalla muodostamaan taas uuden alkuluvun, ja mikä olisi ensimmäinen sellainen alkuluku ja kuinka pitkä ketju siitä syntyy.

191. Jaska8.8.2014 klo 11:43

Käsitin, että yhteenlaskettavia numeroita saa olla vain yksi. Siis esim. 101+(1+1) = 103 ei ole säännönmukainen.

Näin ollen "emoalkuluvussa" täytyy olla vähintään yksi parillinen numero (ei nolla), joka "siittää jälkeläisen." Siitä seuraa, jälkeläisen ja emon erotus on aina joko 2, 4, 6 tai 8. Oletan, että jono ilman ensimmäisen polven jälkeläisen lisääntymisehtoa on ääretön. Siis olisi todistettava, että ko. erotusten määrä kaikkien alkulukujen jonossa on ääretön.

Tähän saakkahan on kaiketi pähkäilty enimmäkseen vain kaksosten eli erotuksen 2 äärellisyyttä tai äärettömyyttä. Yhtä kiinnostava (mulle) olisi kysymys: ovatko kaikki parilliset luvut kahden peräkkäisen alkuluvun erotuksia ja onko niiden kaikkien tai osan niistä lukumäärä erotuksina ääretön vai äärellinen.

Entä onko ääretöntä OK:n tarkoittmaa "perinnöllisyysketjua?" Jos on, pitää jokaisessa sukupolvessa esiintyä parillinen numero. Lyhyeen eli kolmanteen polveen loppuu esim. 61+6 = 67, 67+6 = 73. Oma olettamus: kaikki pitemmät kuin kahden lenkin ketjut ovat äärellisiä. Kaikki siis päättyvät alkulukuun, jonka kaikki numerot ovat parittomia.

192. Olavi Kivalo8.8.2014 klo 20:28

Alkuluku, joka muodostaa alkuluvun, kun siihen lisätään jokin = yksi sen omista numeroista.

En ole nähnyt näitä äärettömyyskysymyksiä tarkastellun tässä yhteydessä.

Kun alkuluku kasvaa, todennäköisyys yhä pidempien jälkeläisketjujen syntymiseen kasvaa.

Ensimmäinen kolmen sukupolven ketju on juuri tuo
61 -> 67 ->73.
Ensimmäinen neljän sukupolven ketju on
601 -> 607 -> 613 -> 619.
Ensimmäinen kymmenen sukupolven ketju on
246899 -> 246907 -> 246913 -> 246919 -> 246923 -> 246929 -> 246931 -> 246937 -> 246941 -> 246947.

193. Antti9.8.2014 klo 08:09

2, 7, 15, 26, 40, 57, 77, ?

194. Jaska9.8.2014 klo 11:52

Antilla pehmis, jos seuraava 100. Tai sitten jokin utalakinko jekku?

195. Antti9.8.2014 klo 15:52

Jaska, helpolle on helppoa antaa laskukaava.

196. Jaska9.8.2014 klo 19:05

Sopiihan tuolle kaiketi aika montakin kaavaa. Esim. neliöt + Pascalin kolmas viistorivi: 1 + 2 yli 2, 4 + 3 yli 2, 9 + 4 yli 2 jne.

197. Antti9.8.2014 klo 22:15

Käytin seuraavaa:
a(j)=(1+2+ ... +j) + j*j

198. Jaska9.8.2014 klo 23:45

Jep, toki a+b = b+a.

199. Jaska12.8.2014 klo 19:16

En muista, onko seuraavaa täällä aikaisemmin sivuttu. OEIS:ssä on sen 46 ekaa lukua. Jatkoin 105:een saakka. Jonossa toistuu viiden sarja loppunumeroin 5, 1, 9, 9, 1. Alkuluvut p-tunnuksella.

5p, 11p, 19p, 29p, 41p
55, 71p, 89p, 109p, 131p
155, 181p, 209, 239p, 271p
305, 341, 379p, 419p, 461p
505, 551, 599p. 649, 701p
755, 811p, 869, 929p. 991p
1055, 1121, 1189, 1259p, 1331
1405, 1481p, 1559p, 1639, 1721p
1805, 1891, 1979p, 2069p, 2161p
2255, 2351p, 2449, 2549p, 2651
2755, 2861p 2969p 3079p, 3191p
3305, 3421, 3539p, 3659p, 3781
3905, 4031, 4159p, 4289p, 4421p
4555, 4691p, 4829, 4969p, 5111
5255, 5401, 5549, 5699, 5851p
6005, 6161, 6319, 6479, 6641,
6805, 6971p, 7139, 7309p, 7481p
7655, 7831, 8009p, 8189, 8371
8555, 8741p, 8929p, 9119, 9311p
9505, 9701, 9899, 90099p, 10301p
10505, 10711p, 10919, 11129, 11341

Tämä on minusta mielenkiintoinen, yksinkertaisesti generoitu kaunis lineaarinen jono. Vapaaehtoinen tehtävä: tein "varman" päätelmän jonon jaollisista luvuista, mutta se kumoutui lukuun 1859. Mikä oli päätelmäni, ja mikä on poikkema siitä?

200. Jaska12.8.2014 klo 22:30

Jaha, päätöskappale jäi oikolukematta. Ei haittaa, ei tehtävään kukaan kuitenkaan tarttunut, enkä siihen enää tartutakaan. Tarkoittamani luku on 1891. Se tuloutuu alkutekijöistä 11*13*13. Oletin ennen sen havaitsemista, että jonon kaikkien jaollisten lukujen kaikkien alkutekijöidenkin viimeinen numero on joko 1, 5 tai 9, niin kuin laita on muiden lukujen välillä 5-11341.

Kaikkien viidellä jaollisten muut alkutekijät päättyvät 105 ekan termin osalta numeroon 1. Nyt oletan, että niin jatkuu äärettömiin. Pitävää todistusta ei juuri nyt tule mieleen:(

201. Jaska12.8.2014 klo 22:47

Sekoilu nousi toiseen potenssiin eli 11*13^2. Nehän ovat jonoon kuulumattoman luvun 1859 alkutekijät. Jonoon kuuluvan 1891 oikeat alkutekijät ovat 31*61. On siis oletettava, että sekoillessani vääräksi olettamani oletus on sittenkin oikea oletus:D

Todistaminen on viisainta jättää selväjärkisille...

202. Jaska13.8.2014 klo 12:23

Sekoilun jälkeen järki alkaa palailla pätkittäin ja ehdottaa tsekkaamaan asian jonojen erotuksilla. Vertailujono olkoon 7, 14, 21, 28, 35, 42, 42, 49, 56... Valitaan siitä jonon 1, 5, 11, 10 pareiksi lähin suurempi luku, siis alkaen 5 ja 7. Ensimmäiset 7 paria:

5-7, 11-14, 19-21, 29-35, 41-42, 55-56, 71-77

Parien erotukset ovat 2, 3, 2, 6, 1, 1, 6

Erotussarja alkaa uudelleen identtisenä seuraavasta parista 89, 91. Muodostuu siis säännöllinen sykli, joten vertailujonossa ei voi olla 7:llä jaollisia lukuja.

En viitsi kokeilla, muodostuuko syklejä muistakin alkuluvuista 17, 37, 47.. ja myös numeroon 3 päättyvistä alkuluvuista 13, 23, 43. ... Olen siitä näet varma, kunnes toisin todistetaan. Alkuluku 3 voidaan sulkea pois heti "esittelyssä", koska vertailujonon luvut ovat muotoa 6n+1 tai 6n-1.

Tämähän ei kaiketi ole matemaatikoille riittävä todistus, mutta riittää minulle.

203. Olavi Kivalo14.8.2014 klo 16:01

Ei tule äkkiseltään mieleen eleganttia tapaa todistaa, että n^2+3n+1 on jaoton 7:llä tai että jakso 2,3,2,6,1,1,6 jatkuu ikuisesti tai että (-3+Sqrt[5+28n])/2 ei ole kokonaisluku tai mitään muutakaan, vaikka siltä näyttää. Numeerisesti tuo viimeisin lauseke ei ole kokonaisluku n:n arvoon 10^6 asti.

204. Jaska14.8.2014 klo 19:53

Puheena oleva jono generoituu eri tavoilla, minä lähdin kaavasta kokonaislukujen jonon kaksien peräkkäisten tulo miinus 1. Jos lähdetään ihan alusta 1*2-1 = 1, jonokin alkaa tietysti ykkösestä. Po. todistamiseen sillä ei ole merkitystä.

Yritän yksinkertaistaa. Jonon lukujen erotukset ovat 6, 8, 10, 12.... Tutkitaan niiden summien jaollisuutta seitsemällä. Havaitaan, että 6+8 = 14.
6+8+10+12+14+16+18 = 84. Jatkossa joka seitsemäs luku on seitsemällä jaollinen. On siis ilmeistä, että jos jonosta löytyy yksikin seitsemällä jaollinen luku, niitä on äärettömän paljon. Esim. po. jonon "sisarjonossa" (+2) 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91... luku 21 = 3*7 ja 91 = 13*7. Samalla toteamme, että sisarjonossa on myös kolmella ja 13:lla jaollisia lukuja.

Mikä päätelmä? Jokainen "vanhemman sisaren" luku on nuoremman yhtä mones luku -2. Luvulla 5 alkavan, ko. ynnäyksillä rakentuvan jonon yksikään luku
ei siis voi olla seitsemällä jaollinen, m.o.t.

205. Antti15.8.2014 klo 08:24

(-3+Sqrt[5+28n])/2 ei ole kokonaisluku, koska kokeilujeni mukaan (todistamattomanani tietona) Sqrt[5+28n]) ei ole kokonaisluku.

206. Antti15.8.2014 klo 08:25

Sulku liikaa, piti olla Sqrt[5+28n]

207. Olavi Kivalo16.8.2014 klo 12:15

Olisi kiva tietää Antin kokeiluista. Yritin todistaa analyyttisesti, että lauseke (-3+Sqrt[5+28m])/2 ei ole kokonaisluku olettamalla, että 5+28m on neliö joko muotoa (2x)^2 tai (2x+1)^2.

Parillisen (2x) kohdalla asia on selvä: Sqrt[2x^2] on parillinen ja kaarisulkulauseke pariton 2x-3, joten sen puolikas ei ole kokonaisluku.
Parittoman (2x+1) kohdalla koko lauseke on x-1, mutta onko olemassa sellaista kokonaislukua x, joka toteuttaa yhtälön? Ratkaisu on x=(-1+Sqrt[5+28m])/2.

Ellei luovuta tässä vaiheessa voi oletettaa, että edellisen lausekkeen 5+28m on taas muotoa (2y+1)^2. Tällöin koko lauseke on y. Ratkaisuksi saadaan tietysti
y=(-1+Sqrt[5+28m])/2 eli sama kuin edellisellä kierroksella.

Tähän voikin jo lopettaa ja todeta, että näin jatkuu ikuisesti ja julistaa, että ei ole olemassa kokonaislukua niin, että lauseke (-3+Sqrt[5+28m])/2 olisi kokonaisluku.

208. Antti19.8.2014 klo 17:24

Olavi. Etsin Excelin ratkaisimella erotukselle
(neliöjuurilauseke(n) - kokonaisluku(neliöjuurilauseke(n)))
arvoa 0, mutta lausekkeen 0:ksi tekevää n:n arvoa ei löytynyt.

209. Matti19.8.2014 klo 20:29

Antti, juuri noin minäkin tein, n= 1 ... 10 000. Ei nollaa löytynyt. Hetken mietin, miten tuon voisi yleisesti todistaa, mutta aika pian luovutin.

210. Olavi Kivalo19.8.2014 klo 21:42

Olen periaatteessa sitä mieltä, että numeerisesti ei voi todistaa vaan ainoastaan osoittaa (jopa hyvin vahvasti), että siltä näyttää. Jopa numeerisen jakson löytyminen on kyseenalainen todiste. Oma todistusyritykseni on puhtaasti analyyttinen ja mielestäni siinä mielessä uskottavampi. Kuitenkin kaukana elegantista. Kritisoikaa.

211. Jaska20.8.2014 klo 18:04

Olen eri mieltä numeerisesti todistamisesta. Lukujonot eli sarjat, joista voidaan muodostaa määräpituisia syklejä eli kiertojaksoja kelpaavat siis minulle vallan hyvin.

Jotta OK:n kaava tuottaisi kokonaislukuratkaisun, pitää tulkintani mukaan lukujonosta x^2-5 (tässä x^2 36:sta alkaen) löytyä pariton luku, joka on 28:lla eli myös kahdella ja seitsemällä jaollinen. No sehän on mahdottomuus. Tai sitten en ole ymmärtänyt OK:n kaavasta yhtään mitään.

212. Olavi Kivalo20.8.2014 klo 18:31

Todistus matematiikassa tarkoittaa, että se kelpaa kaikille.

213. Jaska20.8.2014 klo 19:11

Tietysti niin on. Ja tietysti kaikkien pitää se todistus ymmärtää.

214. Matti20.8.2014 klo 20:03

Numeerisesti voidaan osoittaa jokin konjektuuri vääräksi, jos onnistutaan löytämään vastaesimerkki. Tässä tapauksessa vastaesimerkkiä ei löytynyt, kun n<10 000. (Ja sellainen fiilis tuli, että ei löydy suuremmillakaan n:n arvoilla.)

215. Olavi Kivalo20.8.2014 klo 20:16

Jehovan todistus kelpaa harvalle. Onneksi.

216. Jaska20.8.2014 klo 23:28

Matti, vastaesimerkkiä ei löydy. Katsotaan parittomien neliöiden - 5 jonon alkua 7^2....19^2:

44, 76, 116, 164, 220, 284, 356.
Luvut ovat parillsia, mutta eivät jaollisia 7:llä. Siis ne eivät voi jaollisia myöskään 28:lla. Jaetaan luvut 7:llä. Jakojäännökset ovat 2, 6, 4, 3, 3, 4, 6. Sitten seitsemän luvun identtinen jakojäännösjakso alkaa alusta: 21^2 - 5 = 436, Syklin eli samojen seitsemän lukua käsittävien jakojäännösjaksojen jatkuminen äärettömiin johtuu siitä, että sarja 5+28m on aritmeettinen erotuksin 28. Siihen perustuen jonon 44, 76, 116... erotusten erotusten sarja on myös aritmeettinen erotuksin 8.. OK:n kaavan kokonaislukuratkaisu löytyisi vain mainituista poikkeavilla "sopivilla" erotuksilla.

Mielestäni kyseessä ei ole uskon asia. Uskokoot muut toisin ja mieluusti todistakoot, että sykli ei pyöri samoin jaksoin maailman tappiin. Joka on siis äärettömän kaukana.

217. Jaska20.8.2014 klo 23:38

Siis ... jonon 44, 76, 116... erotusten jono on aritmeettinen sarja.

218. Antti21.8.2014 klo 00:26

Olavi. Vääriä todistajiahan Jehovan todistajat ovat. Jehova ei merkitse mitään, eikä mitään Jehovaa ole. Mutta hebrealaisen tekstin Jahveh, merkitykseltään "olevaksi tekevä", on. Hän sanoi: "Tulkoon valkeus" ja valkeus tuli.

219. Olavi Kivalo22.8.2014 klo 09:40

Otetaan ihmisen suunnittelema tuote. Olkoon se nimeltään Vehje. Kaikki vehkeet todistavat ihmisen kyvystä luoda. Vehkeet ovat sekä abstrakteja että konkreettisia, jahveja sun pahveja. Ne kaikki ovat osa todellisuutta. Ihmisen kyky luoda on totta. Jokainen vehje on siitä todistus.

Otetaan esimerkki väärästä todistuksesta. Vehje nimeltään sähkökatkaisin sanoo "Naks", kun ihminen sitä painaa. "Naks" on tämän vehkeen omaa kieltä ja tarkoittaa suomennettuna "Tulkoon valkeus" ja totta vie, valkeus tulee. Mutta!

Vehje käyttäytyy niinkuin ihminen on suunnitellut omaksi parhaakseen. Valkeus ei tule katkaisijasta, vaikka tapahtuman kirjaisi paperille ja jakaisi kaikelle kansalle ja nimeäisi sen pyhäksi kirjoitukseksi. Joka näin tekee, tekee sen itseään ja samalla toisia pettäen: todistaa väärin, ei välttämättä pahuuttaan vaan todellisuutta koskevan tiedon puutteessa tai haluttomuudesta tai kyvyttömyydestä luopua itsepetoksestaan.

220. Antti22.8.2014 klo 11:17

Olavi. Totta kyllä luomiseksi sanotaan myös tekemistä yleensä. Tässä mielessä ihminen on luonut vehkeen. Mutta sanalla tekemisen mielessä ihminen ei ole sen luoja. Luotu ei ole Luoja.

221. Wexi22.8.2014 klo 11:30

...ikuisuuskysymyksiä... Luoja, luominen... jos jotain on luotu, niin ainakin luoja on luotu mielikuviin...

222. Antti22.8.2014 klo 12:19

Wexi. ..."jos jotain on luotu"...
Voi sitä, joka sanoo isälleen: "Mitä sinä kelpaat siittämään?"
ja äidilleen: "Mitä sinä kelpaat synnyttämään?"

223. Olavi Kivalo22.8.2014 klo 14:11

Matematiikassa, mutta nykyisin lisääntyvässä määrin monissa luonnontieteissä kuten kosmologiassa, hiukkasfysiikassa, evoluutiobiologiassa, kognitiotieteissä jne. työskennellään ns. perimmäisten kysymysten äärellä. Se on tieteen arkipäivää, mutta tunkeutuu myös jokapäiväiseen keskusteluun. Sitä ei pidä kavahtaa. Se on myönteinen merkki ihmiskunnan kehityksestä, ja sen myötä niihin kysymyksin aiemmin liitetyt löperyydet pikkuhiljaa eliminoituvat.

224. Olavi Kivalo23.8.2014 klo 11:04

Olen kokenut kerran tilanteen, jossa kehittämäni lukujono yhtyi erääseen OEIS:ssa aivan toiselta pohjalta kehitettyyn jonoon ja olin lähes valmis julkaisemaan sen innoissani ajatuksesta, että kaksi erilaista lainalaisuutta johtaa samaan lopputulokseen. Jonot yhtyivät täsmällisesti paljon yli sen alueen, minkä julkaistun jonon numeroarvot kattoivat. Sitten päätin tarkistaa vielä korkeammilla n:n arvoilla ja löysin kohdan, jossa jonot erosivat. Järkyttävää, mutta opettavaista. Viimeistään tuosta lähtien olen olen hyvin skeptinen numeeriseen todistukseen ja otan mieluummin kannan, että johtopäätös voi olla enintään, että "näyttää hyvin todennäköiseltä".

Ei myöskään riitä, että toteaa "mutta sehän on mahdottomuus", kun kysymys on päättymättömän lukujonon termien samanaikaisesta jaollisuudesta 2:lla ja 7:llä. Olen samaa mieltä Jaskan kanssa siitä, että jakson löytyminen todistaa jaottomuuden puolesta, mutta vain niin, että se näyttää hyvin (hyvin) todennännäköiseltä.

Olen myös sitä mieltä, että elegantti, jopa yksinkertainen, analyyttinen todistus on olemassa, mutta toinen asia on, kannattaako sen etsimiseen tuhlata ruutia, kun samaan aikan voi karauttaa kohti aivan uusia seikkailuja.

225. Antti23.8.2014 klo 11:59

1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226, ?

226. Jaska23.8.2014 klo 17:21

"Mutta sehän on mahdottomuus" oli tarkoituksella provokatiivinen heitto. Eihän se tietenkään mitään sellaisenaan todista, Seuraavan (minulle) aksiomaattisen lauseen mukaan todistaa: Kun päättymättömän aritmeettisen sarjan luvut jaetaan määrätyllä alkuluvulla, syntyy päättymätön sykli, jonka samoina toistuvissa jakojäännösten jaksoissa on yhtä monta lukua kuin ko. alkuluvun lukuarvo. Vain jos jaksoon sisältyy nolla, sarjassa on ko. alkuluvulla jaollisia lukuja.

227. Jaska23.8.2014 klo 17:51

Tarkennus unhottui. Sykliä ei synny, jos sarjan kaikki luvut ovat jaollisia jakajana käytetyllä alkuluvulla. Tällöin syntyy päättymätön nollajono.

228. Matti23.8.2014 klo 19:08

Jaska, jos aritmeettisen sarjan 10, 17, 24, 31, 38, ... termit jaetaan 7:llä, saadaan jakojäännösjono 3, 3, 3, 3, 3, ... Vai ymmärsinkö lauseesi väärin?

229. Jaska23.8.2014 klo 19:30

Et suinkaan. Lausehan jäi ihan torsoksi. Oleellinen lisäys:

Kun päättymättömän aritmeettisen sarjan luvut jaetaan niiden erotuksesta poikkeavalla alkuluvulla, syntyy päättymätön sykli....

Jos jaetaan samalla alkuluvulla kuin erotus, syntyy tietysti päättymätön putki. Jos 11, 18, 25, 32, 39 jaetaan 7:llä saadaan nelosputki jne.

230. Jaska23.8.2014 klo 19:57

Ja pitäähän tuotakin vielä täsmentää. Erotuksen ollessa sama kuin jakaja tai jakajan monikerta syntyy putki.

231. Olavi Kivalo23.8.2014 klo 20:25

Tuo "Jaskan lause" kuulostaa paitsi elegantllta myös uskottavalta. Jos se on näitä molempia, niin sen on varmaan joku jo lausunut ja se esiintyy jollain muulla nimellä. Pelkkä lause ei ole vielä todistus, joten todistuskin on tuolloin varmaan julkaistu. Enpä jaska penkoa.

232. Jaska23.8.2014 klo 21:04

Jaskaako Antin kummajaisen pengonta kiinnostaa?

233. Antti23.8.2014 klo 21:09

Annan ohjeen:

1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226, ?

a(j) = KOKONAISLUKU(f(j))

missä f on löytämistäsi odottava funktio ja j = 1, 2, ...

234. Olavi Kivalo23.8.2014 klo 21:28

Mitä tarkoittaa merkintä KOKONAISLUKU() ?

235. Antti23.8.2014 klo 22:38

KOKONAISLUKU on Excelin funktio, joka ei aina pyöristä reaalilukua lähimpään kokonaislukuun vaan pyöristää muun reaaliluvun kuin kokonaisluvun (positiivisen tai negatiivisen) aina alaspäin seuraavaan kokonaislukuun. Kokonaisluvulle funktio antaa arvoksi kyseisen luvun.

236. Antti23.8.2014 klo 22:46

Esimerkiksi
KOKONAISLUKU(2,1) = 2 ja
KOKONAISLUKU(-2,1) = -3.

237. Antti23.8.2014 klo 22:51

Ja
KOKONAISLUKU(2,9) = 2 ja
KOKONAISLUKU(-2,9) = -3.

238. Olavi Kivalo24.8.2014 klo 10:02

Näyttäisi olevan sama kuin Mathematican Floor.
Floor[2.9]=2 ja Floor[-2.9]=-3
Kiitos.

239. Matti24.8.2014 klo 14:48

Jaska, olisiko niin, että lauseesi on tosi jos ja vain jos erotus ja jakaja eivät sisällä yhteisiä tekijöitä. En minäkään nyt jaska tsekata.

240. Jaska24.8.2014 klo 19:26

Juuri niin, p-pituisten jaksojen päättymätön sykli eli ketju syntyy siis jakajan p ollessa erotuksesta poikkeava alkuluku.

241. Jaska24.8.2014 klo 20:06

Jaa, ne tekijäthän piti mainita myös, esim. ...jakajan p ollessa erotuksen tekijöistä poikkeava alkuluku.

242. Antti28.8.2014 klo 08:04

1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226, ?

a(j) = KOKONAISLUKU(f(j))

missä j = 1, 2, ...
ja f on jaksollinen funktio, funktio, ei polynomifunktio, kuten arvoista näkyy.

243. Jaska28.8.2014 klo 17:17

1. Minulla ei ole edes perusedellytyksiä pyöristysfunktion ymmärtämiseen saati ratkomiseen. Puhtaasti kokonaislukujutskat saattavat ratketa tai olla ratkeamatta. Se ei tarkoita, että Antin tehtävä ei olisi hyvä ja mielenkiintoinen asiaan perehtyneille. Hekin tarvitsevat mahdollisesti vielä lisävinkin.

2. Pankaapa hakuun prime number calculator. Alkuluvun määritys on siinä sananmukaisesti suomeksi käännettynä mielestäni harhaanjohtava, täsmennystä kaipaava?

244. Olavi Kivalo28.8.2014 klo 19:59

Näkyypi olevan Floor(tan(n)).

245. Jaska28.8.2014 klo 21:44

Löysin tuon netistä. Löysin eväin en siitä tolkkua saanut. Löysin yhteys sillä on siis minun käsityskykyyni. Himperin avaruuksiin ei mahtunut.

246. Olavi Kivalo28.8.2014 klo 23:53

Jatkuu:
,-1, 0, 7, -1, 0, 3, -2, 0, 2, -2, 0, 1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -76, -1,

247. Antti29.8.2014 klo 03:23

Hyvä, Olavi!

a(j) = KOKONAISLUKU(tan(j))

248. Jukkis29.8.2014 klo 09:00

Olisin kuvitellut että tällaista ei kelpuutettaisi OEIS:ään, mutta siellähän se näköjään köllöttää. Ja vastaavat muille trigonometrisille funktioille. Ja vastaavat ceiling-funktiota soveltaen.

Mitenköhän keinotekoisia jonoja tuonne hyväksytään? Kehitin tällaisen uuden:
1, 0, -2, 1, -2, -2, 0, -1, -2, 0, 0, -2, 0, 0, -2, 0, ....

Illalla kerron, mikä on. Saa tietysti joku keksiäkin.

249. Olavi Kivalo29.8.2014 klo 10:16

Tuskin maltan odottaa. Muista ajaa hiljaa.

250. Jukkis29.8.2014 klo 10:39

Tuosta Antin jonosta tekee kiinnostavamman OEIS:stä löytyvä kommentti, jonka mukaan jonossa esiintyy kaikki kokonaisluvut, ja jokainen niistä äärettömän monta kertaa.

Ääretön on kyllä jännä käsite.

251. Jaska29.8.2014 klo 11:54

Mikä on Antin reprodusoiman jonon numero OEIS:ssä? Haku sellaisenaan ei tuottanut osumaa. Kiitos.

252. Antti29.8.2014 klo 13:14

Näyttää olevan A000503.

253. Jukkis29.8.2014 klo 20:00

Tuo minun aamullinen oli vaan että

a(n) = floor(tan(floor(tan(n))))

254. Olavi Kivalo29.8.2014 klo 23:41

a(n) = floor(tan(…(floor(tan(floor(tan(n)))))…))

Montako kertaa voidaan toistaa, että jono ei enää muutu?
Mikä on tuo rajajono?

255. Jaska30.8.2014 klo 00:07

Onko mitään merkitystä sillä, että Antin jono alkaa luvusta 1 ja OEIS:n jono luvusta 0?

256. Olavi Kivalo30.8.2014 klo 09:18

Mikä tämä on?

2, 5, 24, 27, 46, 49, 68, 71, 90, 93, …

(liittyy edellisen)

257. Antti30.8.2014 klo 10:05

Kun j on pariton, a(j)=(j-1)/2*22+2
kun j on parillinen, a(j)=(j-2)/2*22+3

258. Olavi Kivalo30.8.2014 klo 14:56

Itse asiassa se, joka kiinnostaa, on kuinka tuo jono liittyy eilen klo 23:41 määrittelemääni lausekkeeseen.

259. Jukkis30.8.2014 klo 21:58

Ei kai tuolla a(n) = floor(tan(…(floor(tan(floor(tan(n)))))…)) mitään rajajonoa ole?

Jos floor(tan(n)) sisältää kaikki kokonaisluvut, niin myös floor(tan(floor(tan(n)))) sisältää kaikki kokonaisluvut, jolloin myös floor(tan(floor(tan(floor(tan(n)))))) sisältää kaikki kokonaisluvut, jolloin myös floor(tan(floor(tan(floor(tan(floor(tan(n)))))))) sisältää kaikki kokonaisluvut. Jne.

Vai?

260. Jukkis30.8.2014 klo 22:04

Jaskan kysymys 30.8.2014 klo 00:07:

Sehän johtuu siitä että OEIS:ssä n alkaa 0:sta, Antilla 1:stä.

261. Olavi Kivalo30.8.2014 klo 23:18

En ymmärrä tuota OEIS:ssä annettua kommenttia "Evey integer appears infinitely often. - Charles R Greathouse IV, Aug 06 2012". Siitä huolimatta laskin seuraavat:

floor(tan(n))
floor(tan(floor(tan(n))))
floor(tan(floor(tan(floor(tan(n))))))
jne

Sain seuraavaa:
0, 1, -3, -1, 1, -4, -1, 0, -7, -1, 0, -226
0, 1, 0, -2, 1, -2, -2, 0, -1, -2, 0, 0
0, 1, 0, 2, 1, 2, 2, 0, -2, 2, 0, 0
0, 1, 0, -3, 1, -3, -3, 0, 2, -3, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, -3, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0

Toisin sanoen viidennen toiston jälkeen jono ei enää muutu.

Jono 2, 5, 24, 27, 46, 49, 68, 71, 90, 93, … muodostuu ykkösten sijainnista rajajonossa.

262. Jaska31.8.2014 klo 00:19

Kiitos Jukkikselle hänen epäsuorasti Antille osoittamaani kysymykseen antamastaan tyhjentävästä vastauksesta. Sen tulkitsen tarkoittavan, että jonon voi aloittaa yhtä hyvin nollasta kuin ykkösestä. Jokin tarkoitus suorasta yksi yhteen -kopioinnista poikkeamisella on Antilla kuitenkin voinut olla.

Se siitä. Pitäisi kai ummikon yrittää vähän kiinnostua opiskelemaan tätä lattiakattojutskaa. Edes termi (netin mukaan vuodelta 1962 eli kouluaikojen jälkeen) ei ollut minulle ennestään tuttu.

263. Olavi Kivalo31.8.2014 klo 11:13

Ymmärrykseni kasvoi yön aikana. "Isotalon Kalle" on tietenkin oikeassa ja näin myös Jukkis. Mitään rajajonoa ei ole.

Tämä on yksi demonstraatio lisää, kuinka numeerisesti, liian vähällä datalla (lue: vähemmällä kuin ääretön) voi haksahtaa tekemään pitkälle meneviä johtopäätöksiä.

Rajajono löytyy kuitenkin aina, kun lähtee liikkeelle, niinkuin numeerisessa tarkastelussa joutuu lähtemään, katkaistusta lähtöjonosta. Kokeilin lisäämällä dataa. Ensin n=1...10^3, sitten n=1...10^4

Rajajono tuli vastaan kummassakin seitsemännen toiston jälkeen. Sen ykköset sijaitsevat aluksi kuten edellä, mutta alkavat sitten noudattaa toisenlaista rytmiä: 2, 5, 24, 27, 46, 49, 68, 71, 90, 93, 106, 112, 115, 122, 128, 134, …

Tällaista lukujonoa ei ole OEIS:ssä, mutta olen siinäkin samaa mieltä Jukkisen kanssa, että desimaaliluvuista pyöristämällä saadut lukujonot eivät kuulu ainakaan perinteisen lukuteorian piiriin, joka lainalaisuudet koskevat luonnollisia lukuja. OEIS voi tietysti julkaista, mitä parhaaksi näkee.

264. Jukkis31.8.2014 klo 11:34

Minä laskin Excelillä n:n arvoon 65536 asti, silloin kahdeksas ja yhdeksäs jono on samat. Mutta kyllä niillekin ero löytyy, kun mennään riittävän pitkälle kohti ääretöntä.

265. Olavi Kivalo31.8.2014 klo 11:56

Joo, välillä n=1…10^5 rajajono tulee kahdeksannella kierroksella eli yhdeksäs ei muuta sitä.

266. Jaska31.8.2014 klo 21:09

Seuraava luonnollisten lukujen jono sikisi eräästä Antin jonosta yllä siinneestä jonosta. Ei kovin vaikeaa arvata, mistä.

3, 51, 99, 147, 195, 243, 291, 339, 387, 435, 483, 531, 579...

267. Olavi Kivalo1.9.2014 klo 13:33

Tuo Greathousen väite, ja siitä johdettu Jukkiksen väite 30.8.2014 klo 21:58, että myös seuraavat floor(tan) kierrokset sisältävät kaikki luonnolliset luvut, jäivät vaivaamaan. Jo tuo, että äärellisiä rajajonoja syntyy, antaa aihetta epäillä.

Todistusyritys sille, että molemmat väitteet ovat vääriä (kuin myös hätäisesti esittämäni uskomus, etteivät ne olisi), on seuraava.

1) Tan(x), jossa x on reaalikuku (radiaania), saa kaikki arvot koko reaalilukualueella -oo…+oo.

2) OEIS-jono muodostetaan kokonaisluvuista n=0,1,2,3,… (radiaania) otetuista tangenteista Tan(n), jotka desimaaliluvut on pyöristetty alaspäin kokonaisluvuiksi.

3) Tan(x) lähestyy ääretöntä +/-oo, kun x lähestyy arvoa (2k+1)*Pi/2, jossa k on kokonaisluku.

4) Tan(n) kasvaa, kun n lähestyy kokonaisluvuksi pyöristettyä arvoa (2k+1)*Pi/2.

5) Riippumatta kulman monikerrasta eli siitä, kuinka suuri k on, erotuksen Tan(x)-Tan(n) suuruus määräytyy siitä osasta päättymätöntä desimaalilukua (2k+1)*Pi/2, joka on desimaalipilkun oikealla puolella ja erotus Tan(x)-Tan(n) on aina nollasta poikkeava ja sitä suurempi, mitä lähempänä Tan(x) on desimaalilukua (2k+1)*Pi/2.

6) Koska erotus Tan(n)-Tan(x) ei voi koskaan lähestyä nollaa, ei Tan(n) voi koskaan lähestyä ääretöntä.

7) Floor(Tan(n)) ei voi sisältää kaikkia luonnollisia lukuja.

8) Kun äärellisestä, positiivisesta tai negatiivisesta kokonaisluvusta Floor(Tan(n)) otetaan tangentti ja sen alaspäin pyöristetystä kokonaisluvusta taas tangentti ja toistetaan, lähestyvät kaikki luvut nopeasti joko arvoa 0 tai 1.

268. Jaska1.9.2014 klo 17:44

Kohta 8 uppoaa minunkin kaaliini pyöristysten ollessa aina alaspäin.

Muusta hyvin vähän tai ei mitään ymmärtävänä on helppo tehdä tyhmiä kysymyksiä. Jos kaikkia kokonaislukuja ei esiinny OEIS:n jonossa äärettömästi, niin jonkin luvun on oltava suurin (itseisarvona) niistä äärettömästi esiintyvistä. Kysymys 1. Voidaanko se suurin laskea?

Kysymys 2. Voiko jokin jono pyöristysluvuista muuttua, kun piin desimaaleja lisätään kohti ääretöntä?

269. Olavi Kivalo1.9.2014 klo 20:32

Jaskan kysymykseen 1 vastaan: En tiedä.

Numeerisesti tietysti voidaan edetä niin pitkälle kuin koneen kapasiteetti riittää.

Laskin lausekkeen Floor(Tan(n)), jossa n=Floor[(2k+1)*Pi/2], arvoja aina k:n arvoon 10^110 asti ja suurimmat vastaan tulleet olivat alle 500. (Kuriositeettina mainittakoon, että nämä muusta joukosta enemmän tai vähemmän selvästi suuremmat luvut esiintyvät jaksolla joka seitsemäs)

270. Olavi Kivalo2.9.2014 klo 10:02

Voihan olla niinkin, että mitä kauemmin kokonaislukukulma n pyörii napakoordinaatistossa, sitä suuremmmaksi tulee sen todennäköisyys osua entistä lähemmäs kulman x=(2k+1)*Pi/2 kokonaislukuosaa.

Tuo osio 6 todisteluyrityksessäni on sen epäilyttävin kohta.

271. Matti2.9.2014 klo 14:24

Jos oletetaan hypoteettisesti, että tan(n) = n ja tan(x) = n-2, niin silloin tan(n)-tan(x) = 2, eikä lähene nollaa. Silti tan(n) lähenee ääretöntä. Mielestäni tämä vastaesimerkki rikkoo osion 6 päättelyn.

272. Olavi Kivalo2.9.2014 klo 17:59

Tässä olen merkinnyt x:llä jatkuvaa muuttujaa, ja n:llä diskreettiä. Toisin sanoen x on desimaaliluku, n on kokonaisluku. Molemmat tarkoittavat kulmaa.

Kun x kasvaa portaattomasti 0:sta, se saa mm. desimaalilukuarvoja Pi/2, 3Pi/2, 5Pi/2, 7Pi/2, jne jolloin Tan(x) saa vastaavasti arvoja oo, -oo, oo, -oo, jne.

Kun n kasvaa nollasta, se saa arvot 1, 2, 3, 4, jne ja Tan(n) saa vastaavat desimaalilukuarvot. Jotta Tan(n) kelpaa lukujonoon, se on muutettava kokonaisluvuksi, tässä tapauksessa lähimmäksi alemmaksi kokonaisluvuksi Floor-funktiolla.

Kysymys on siitä, sisältääkö lukujono Floor[Tan(n)] kaikki luonnolliset luvut. Kysymys on erityisesti sitä, sisältääkö se kaikki luvut aina äärettömään saakka. Jotta Tan(n) lähestyisi ääretöntä, n:n tulee lähestyä samoja Pi/2:n monikertoja kuin ne, jotka tekevät Tan(x):n äärettömäksi. Mutta n on kokonaisluku ja x on desimaaliluku, joten ero niiden välillä on aina vähintään Abs[x-n]>0.

En löydä Matin hypoteesistä kytköstä tähän todistusyritykseeni.

273. Jaska2.9.2014 klo 23:06

Toissailtaisen jononi 3, 51, 99... , lukujen erotukset ovat 48. Jaetaan jonon luvut 32:lla. Jakojäännöksistä muodostuu sykli 3, 19, 3, 19, 3, 19... Se on tarkoittamani kosketuspinta OK:n jonoon 2, 5, 24, 27... jonka erotusjono on sama.

Erotusjonon erotusjono on puolestaan 16-pötkö. 32 on pienin 16:lla jaollinen luku, joka on suurempi kuin 19, ja 48 pienin 16:lla jaollinen 3, 19 -jakojäännössyklin toteuttava luku.

274. Olavi Kivalo3.9.2014 klo 00:02

Jos katsoo tarkemmin kuinka jononi jatkuu, huomaa, ettei erotusjono suinkaan ole tuo, vaikka alku siltä näyttää. Jatkohan menee kuten näytin kommentissa 31.8.2014 klo 11:13.

Tässä vähän lisää:
3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 13, 6, 3, 7, 6, 6, 3, 7, 6, 6, 3, 13, 6, 3, 3, 10, 6, 3, 3, 10, 6, 3, 3, 16, 3, 3, 16, 3, 3, 19, 3, 7, 12, 3, 19, 3, 7, 12, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 19, 3, 13, 6, 3, 7, 6, 6, 3, 7, 6, 6, 3, 13, 6, 3, 3, 10, 6, 3, 3, 10, 6, 3, 3, 16, 3, 3, 16, 3, 3, 19, 3, 7, 12, 3, 19, 3, 19, 3, 19, ...

275. Jaska3.9.2014 klo 00:20

En katsonut tarkemmin:(

276. Jukkis3.9.2014 klo 08:10

Jos laskee arvoilla 10^110:een asti, ja vaikka laskisi kaikilla tuota pienemmillä kokonaisluvuilla, niin eihän silloin ole tutkinut kuin vasta tasan 0 % kaikista mahdollisuuksista.

Minusta on ihan uskottavaa, että kun k menee äärettömään asti, niin löytyy (2k+1)*Pi/2 :n arvoja, jotka on mielivaltaisella tarkkuudella kokonaislukuja. Eli löytyy kokonaisluku n:n arvoja, joilla tan(n) on ihan miten suuri vaan.

Onko sana "mielivaltainen" tuossa oikein? Ei nyt parempaakaan keksinyt.

Ja nyt rupesi tuntumaan, että onkohan tuossa päättelyssä sittenkään mitään järkeä. Ehkä ajatus rupeaa tässä vähitellen kulkemaan paremmin.

277. Jukkis3.9.2014 klo 10:18

Näköjään OK jo 2.9.2014 klo 10:02 esitti aika lailla samansisältöisen ajatuksen.

278. Olavi Kivalo3.9.2014 klo 12:15

Päätin lopettaa arvailun ja kysyin viisaammilta. Neil Sloane todisti seuraavasti:

"well, tan(n) = tan(n +2Pi), right?
and as n varies, n mod 2Pi will be dense in 0 to Pi"

279. Olavi Kivalo4.9.2014 klo 11:08

Lainaan tähän, mitä on todistuksesta sanottu edellä.

Lähettäjä: Olavi Kivalo 20.8.2014 klo 18:31
Todistus matematiikassa tarkoittaa, että se kelpaa kaikille.

Lähettäjä: Jaska 20.8.2014 klo 19:11
Tietysti niin on. Ja tietysti kaikkien pitää se todistus ymmärtää.

Kelpaako tuo Neilin todistus teille kaikille ja ymmärrättekö te kaikki sen?
Oikeesti.

280. Jukkis4.9.2014 klo 11:18

En minä ainakaan oikein ymmärrä. Jotenkin tuntuu että siinä sanotaan aika lailla sama asia, jonka sanoin 3.9.2014 klo 08:10. Mutta tipun kärryiltä heti tuossa 2 mod 2Pi:n kohdalla. Ja sitten uudestaan tuon "will be dense in 0 to Pi":n kohdalla.

Vissiin siinä sanotaan että n/2Pi:n jakojäännös saa kaikki mahdolliset arvot välillä 0 ... Pi. Vissiin avoin väli, koska ei se jakojäännös voi tietenkään 0 olla. Eikä kai myöskään Pi.

Mutta varsinainen ymmärrys kyllä puuttuu.

281. Jaska4.9.2014 klo 12:59

Viittaan mainitsemaani ymmärryksen puutteeseen kysymyksellä, onko Sloanen aksioomalta haiskahtava vastaus OK:lle puolesta tai vastaan OK:n olettamukselle, että jono ei sisällä kaikkia kokonaislukuja? Ainakin QED siitä puuttuu.

Jospa se "every integer appears infinitely often" tarkoittaakin sitä rajallista määrää lukuja, jotka jonosa esiintyvät ja joiden pitäisi siis olla laskettavissa?

282. Jukkis4.9.2014 klo 13:59

Minusta "every integer" tarkoittaa kaikkia kokonaislukuja. Niitähän on äärettömän monta. Jos sanottaisiin että "every term appears infinitely often", niin sitten voitaisiin tarkoittaa rajallista määrää eri lukuja.

283. Jaska4.9.2014 klo 16:58

Niinpä tietysti. Joten veikkaan Sloanen tarkoittaneen vastauksensa vahvistukseksi OEIS:n äärettömyystoteamukselle.

284. Matti4.9.2014 klo 22:45

Jos joukko A on "dense" in (0,pi) se tarkoittaa, että jokaisen kahden välille (0,pi) kuuluvan A:n pisteen väliltä löytyy taas A:n piste. Siis A:lla ei ole välillä (0,pi) "vierekkäisiä" pisteitä. A on siis "tiheä" välillä (0,pi). Kouluesimerkin tarjoavat lukusuoran R rationaalipisteet Q. Q:n pisteitä löytyy kuinka "kapeasta" välistä tahansa aina ääretön määrä. Siitä huolimatta joukko Q on numeroituva, ja sen Lebesque-mitta on nolla.

Miten tämä liittyy tähän tan(n)-ongelmaan, siihen en ole jaksanut perehtyä.

285. Olavi Kivalo5.9.2014 klo 11:15

Väliaikatietona mainitsen, että onnistuin generoimaan keskustelun OEIS:n matemaatikkojen parissa ja asia näyttääkin olevan melko kaukana itsestäänselvyydestä. Aluksi kannanotot ovat olleet aika lakonisia sen puolesta, että jono sisältää kaikki mahdolliset kokonaisluvut, ja perusteena on viitattu ns. equidistribution teoreemaan, johon varmaan Mattikin viittaa. Tähän teoreemaan, joka koskee irrationaalilukuja, päästään sen kautta, että kokonaisluvun n paikalle voidaan yhtä hyvin sijoittaa irrationaalikuku n+2Pi, jolloin sen tangentti on pysyy samana, kuten Neil toteaa.

Seikka, että jono redusoituu pelkiksi nolliksi ja ykkösiksi on tsekattu välillä n=+-10^7 ja sitä arvioidaan ilmaisulla "fascinating if true", mutta arvellaan, että sen todistaminen, että näin tapahtuisi aina, ajautuu samankaltaisiin ongelmiin kuin monet muut mielenkiintoiset avoinna olevat konjektuurit. Toisaalta "probabilistiselta" kantilta näyttää siltä, että näin tapahtuisi.

Seuraan tilannetta, mikäli keskustelu siellä jatkuu. Itselläni ei liene siihen enää annettavaa.

286. Jaska8.9.2014 klo 12:26

Oikea merkki?

Puolialkulukuja muotoa 6n+1 on:

1 enemmän kuin muotoa 6n-1
X yhtä paljon kuin kuin muotoa 6n-1
2 vähemmän kuin muotoa 6n-1

287. Matti8.9.2014 klo 16:04

Jaska, mitä tarkoitat puolialkuluvulla?

288. Wexi8.9.2014 klo 17:42

Lainattua:

...puolialkuluku on sellainen luonnollinen luku, jolla on tasan 2 alkutekijää mukaan lukien monikerrat. Puolialkulukuja ovat siis esimerkiksi 6 = 2x3; 65 = 13x5, ja kaikki alkulukujen neliöt...

289. Antti8.9.2014 klo 17:47

Lainattua:

Yleisesti, luvun sanotaan olevan k-puolialkuluku jos sillä on tasan k alkutekijää monikerrat mukaan laskien. 1-puolialkuluvut ovat siis tavalliset alkuluvut.

290. Antti8.9.2014 klo 19:39

Jos ja kun 6n+1 muotoisia ja 6n-1 muotoisia puolialkulukuja on ääretön määrä, kummankin joukon mahtavuus on numeroituvasti ääretön, ja lukuja on näin mitattuna "yhtä paljon".

291. Jaska8.9.2014 klo 21:24

Jaa, piti kai täsmentää, että tarkoitan puolialkuluvulla k-tapausta 2 ilman kerrannaisia. Niin kuin muistaakseni aikaisemminkin tässä ketjussa. Siis kaksi alkutekijää, mutta kumpikin vain kerran.

Selvähän se, että kumpiakin on ääretön määrä. Olisi pitänyt lisätä "äärellisessä määrässä."

292. Jaska8.9.2014 klo 21:58

X ei siis ole oikea merkki, niin kuin täsmennyksestä arvata saattoi. Onko se 1 vai 2?

293. Matti8.9.2014 klo 23:53

Jatkuu Jaskan aloittamalla uudella aiheella säikeessä Lukujono 14.

↶ Takaisin aiheisiin Siirry ylälaitaan ↑

KOMMENTOI

7775. Lukujono 13

Lähettäjä: *

Teksti: *