KESKUSTELUT > MUUT AIHEET > MATEMAATTISIA PÄHKINÖITÄ
9664. Matemaattisia pähkinöitä
eol23.4.2021 klo 11:01
Aloitetaan vaatimattomasti (vaan ei ehkä kivuttomasti!) ja otetaan esimerkki nykyisestä koulumatematiikasta (valtakunnallisesta 6. luokan kokeesta): Pohdi ja päättele: Alla olevassa tienviitassa on kesäolympialaisten viimeisimpiä isäntäkaupunkeja. Päättele puuttuva etäisyys seuraavaan isäntäkaupunkiin Tokioon.
Sydney 1 500 km
Ateena 1 400 km
Peking 1 600 km
Lontoo 1 500 km
Rio de Janeiro 2 900 km
Tokio ? km
Haettu oikea vastaus löytyy IS:n nettiversiosta:
"Tämä 6. luokan valtakunnallisen kokeen matematiikan tehtävä ällistyttää – olisitko itse osannut?"
https://www.is.fi/kotimaa/art-2000007936187.html
2. Jaska23.4.2021 klo 12:52
Konsonantti 300 km, vokaali 200 km. Päässälaskutehtävä.
3. eol23.4.2021 klo 14:51
Kyllä, 300 km ja 200 km juuri noin, joten pähkinän haetuksi vastaukseksi saadaan 1200 km.Eri asia sitten on, onko tällainen pähkinä - ainakaan juuri tällaisenaan - sovelias peruskoulun matematiikan koetehtäväksi. Mielestäni ehdottomasti ei ole. Kymmeniä mielipiteitä, valtaosin kielteisiä, tästä tehtävästä löytyy ylle linkatun artikkelin jäljestä.
4. iso S23.4.2021 klo 15:13
Ei tuollainen kompakysymys todellakaan ole matematiikan tehtävä. Jos luetellaan todellisia kaupunkeja ja etäisyyksiä niihin, niin silloin etäisyyksien pitää olla todellisia ja Tokion etäisyyden jollakin tavalla laskettavissa ilman mitään vokaalisointuja.Minä päättelin näin: jos Sydney ja Lontoo ovat tienviitasta 1500 kilometrin päässä, on näiden kaupunkien välinen etäisyys enintään 3000 kilometriä. Siitä on pääteltävissä että maapallo on kammottavalla tavalla rysähtänyt kasaan eikä ihmiskunta ole mitenkään voinut selvitä tuon suuruusluokan katastrofista. Tokion etäisyydellä ei ole enää mitään väliä. Ainoat eloonjääneet ovat avaruusasemalla ja heidänkin elinaikaodotteensa kutistui dramaattisesti.
Etäisyydet on epäilemättä pystytty mittaamaan avaruudesta (tosin mahtvien pölypivien vuoksi vain 100 kilometrin tarkkuudella), mutta todellinen mysteeri on se, miten astronautit saivat tienviitan pystytetyksi? Turvallisia ja terveellisiä laskeutumispaikkoja ei varmaan ollut tarjolla.
5. eol24.4.2021 klo 23:10
Jatketaan huomattavasti matemaattisemmalla pähkinällä:Susanna on syntymäpäiväkseen ostanut suorakulmion muotoisen pähkinäsuklaalevyn, jonka pitemmän sivun pituus on P palaa ja lyhemmän sivun Q palaa, joten levyssä on yhteensä P*Q palaa. Susannalla sattuu olemaan yhteensä P*Q luokkatoveria, ja hän haluaakin tarjota kullekin heistä yhden suklaapalan. Niinpä Susanna aikoo ryhtyä taittelemaan levyä pienempiin osasiin, siten että hän valitsee senhetkisistä osasista aina yhden ja taittaa sen kahdeksi pienemmäksi osaseksi jotakin valitsemaansa "taittosuoraa" pitkin (niin että kaikki osasen sisältämät yksittäiset palat säilyvät kokonaisina). Susanna haluaa minimoida tarvittavien taittokertojen määrän.
Mikä on optimaalinen taittelustrategia, ja kuinka monta taittokertaa se vaatii?
Pyydän toistaiseksi pelkkiä hepityksiä. - Voi myös jo heti vastata "paljoakaan paljastamatta" vaikkapa ottamalla jotkin 5:tä suuremmat luvut P ja Q, etsimällä niille haetun minimin M, ja ilmoittamalla vastaukseksi kokonaislukukolmikon P, Q, D, missä D on M:n neliöjuuren likiarvon desimaaliosan 3. desimaali.
6. iso S25.4.2021 klo 11:19
P=6Q=10
D=1
Tuohon minimitulokseen voi päästä toinen toistaan useammalla tavalla taittelemalla.Helposti mieleen tulevalla tavalla mahdoillisia (ja tietyssä mielessä loogisia) tapoja on nähdäkseni 270, mutta vaihtelunhaluinen taittelija löytää tapoja paljon enemmän. Seuraavaksi mieleen tuleva vaihtoehtojen määrä on 43545600, mutta todellista erilaisten minimiin johtavien taittelujen määrää en jaksa miettiä. Jos jollakin on paljon joutilasta aikaa, mielikuvitusta ja järjestelmällisyyttä, saa kokeilla sen käytännössä...
7. eol25.4.2021 klo 12:10
P=6, Q=10, D=1 on oikeanlainen kolmikko, eli iso S:n vastaus on oikein.Minimi on todellakin saavutettavissa useammallakin erilaisella tavalla. Eniten vaihtoehtoisia "taittosekvenssejä" luonnollisesti löytyy, jos numeroidaan kokonaisen levyn kaikki palat yksikäsitteisesti, ja tulkitaan kaksi "taittoinstanssia" samoiksi jos ja vain jos ne jakavat täsmälleen saman palajoukon täsmälleen samalla tavoin kahdeksi osajoukoksi. Minunkaan tiedossani ei ole yleistä ratkaisua tähän iso S:n esille ottamaan jatkokysymykseen.
8. eol25.4.2021 klo 12:21
P.S. Vielä tuosta kolmikosta P=6, Q=10, D=1. Se on tietysti ymmärrettävä niin, että pitemmän sivun pituus on 10 ja lyhyemmän 6.
9. Matti28.4.2021 klo 01:37
P=202Q=41
D=0
10. eol28.4.2021 klo 08:28
Myös P=202, Q=41, D=0 on oikeanlainen kolmikko, joten Matillekin täydet pisteet.Annetaan muille mahdollisille vastaajille vielä tämä ja huominen päivä aikaa. Tässä vaiheessa he voivat niin halutessaan hyvin jo paljastaa myös tehtävän ratkaisun yleisen (tietysti P:stä ja Q:sta riippuvan) lausekkeen - jota tehtävän jo selättäneiden iso S:n ja Matin sen sijaan ei toivota paljastavan.
Vinkki: Säikeen ensimmäinen tehtävä oli tarkoitettu peruskoulun kuudesluokkalaisille, ja peruskoulun matematiikka - jopa pelkkä kuuden ensimmäisen vuoden matematiikka - kyllä periaatteessa hyvin riittää tämän toisenkin tehtävän ratkaisemiseen.
11. Jaska28.4.2021 klo 12:53
Peruskoulun kuudetta vastannee vanhan ajan opparin toinen luokka. En muista, oliko sillä tuon tyyppistä tehtävää. Eli minulle on nyt tarjolla ennen nauttimaton pähkinäateria puhtaalta pöydältä. Silloin tokalla luokalla olisin kaiketi saanut saman tuloksen tapauksessa 10/6 kuin nytkin: 45 taittokertaa. iso S:n tulos voisi olla desimaalin perusteella 28. En tajua, miten. Minun hammaskalustoni ei ole Jawsin luokkaa niin kuin isoS:llä ja Matilla. Tämä lounas jää siis lautaselle.
12. Jaska28.4.2021 klo 13:10
No tarkemmin funtsien pitää taitella aluksi isompia kimpaleita kerralla. Koklaan lenkillä, pääsenkö siten iso S:n lukemaan.
13. eol28.4.2021 klo 13:57
Tapauksessa P=10 ja Q=6 tarvitaan kyllä itse asiassa enemmän kuin 45 taittokertaa. (Huomaa, että kukin yksittäinen taitto siis kohdistuu levyn senhetkisistä "osasista" aina vain yhteen, eli osasia ei saa millään tavoin "niputtaa yhteen" taittoa varten.)Vaikka yllä totesin, että koulumatematiikkansa hallitseva kuudesluokkalainenkin on periaatteessa kykenevä ratkaisemaan tehtävän, niin toisaalta lähteessäni muistaakseni kerrottiin, ettei tehtävä välttämättä ole helppo akateemisesti kaikkein ansioituneimmillekaan.
14. Jaska28.4.2021 klo 17:38
Huhtikuun hyytävässä hapessa tajusin kirjoittaneeni läpiä päähäni. Katsotaan, ennätänkö päästä jyvälle (palalle) ennen Vermoa. Tuskin.
15. ++juh28.4.2021 klo 17:52
Keskikouluminäni ratkaisi tehtävän hankkimalla eri kokoisia suklaalevyjä. Aloittamalla paloittelun pienimmästä (1 x 2 palaa) ja siirtymällä aina vain isompiin yleinen kaava kävi ilmeiseksi jo muutaman levyn paloittelun jälkeen.Esimerkiksi 12 x 8 -levy vaati ei enempää eikä vähempää kuin 95 taittokertaa.
Todistusta en esitä, koska keskikouluminäni hävitti todistusaineiston. Totesi kuitenkin tehtävän olleen hyvin herkullinen.
16. eol28.4.2021 klo 18:38
Kyllä, noinhan se on: jos P=12 ja Q=8, niin M=95.
17. Ari28.4.2021 klo 20:17
Jos levy on kokoa 3*11 palaa, on ihan sama miten taittelet, ensin pitkää sivua vai ensin lyhyitä sivuja pitkin niin aina tulee sama tulos 32 taittokertaa.
18. eol28.4.2021 klo 21:57
Myös Arin lausuma pitää paikkansa. Siten jos P=11 ja Q=3, niin M=32.
19. Jaska29.4.2021 klo 13:52
Kun 10/6 minimin neliöjuuren kolmas desimaali on 1, on minimi joko 50 (7,071, 51 (7,141) tai 52 (7,211). Uskottavimmin 52, jonka kekkaamiseen rahkeeni eivät riitä. Ilmeistä on, että taittelutekniikka perustuu "ilmaispaloihin" eli tavallaan nollalla taitolla syntyviin paloihin. Itse pääsin tällä tavalla tulokseen 54, jonka neliöjuuri on 7,348.
20. Jaska29.4.2021 klo 13:59
Taisi tulla sittenkin joku fiba, täytyy laskea uudelleen.
21. eol29.4.2021 klo 16:04
Juu, kyllä siinä on täytynyt jonkinmoinen fiba käydä, sillä tapauksessa P=10 ja Q=6 haettu minimi M on vielä 54:ääkin suurempi.
22. iso S29.4.2021 klo 16:16
Jaska, miksi juuri nuo kolme vaihtoehtoa? Välillä 1-200 on 16 sellasta lukua, joiden neliöjuuren kolmas desmaali on 1. Pienin niistä on 14 ja suurin 198. Tällä ei tietenkään ole mitään tekemistä alkuperäisen ongelman kanssa.Mitä pienemmistä luvuista on kysymys, sitä suuremmalla syyllä kannattaa arvata että kolmas desimaali on 0, jos ei tiedä. Näinhän on aina silloin kun luvun juuri on kokonaisluku. Muissa luvuissa kaikki numerot lienevät yhtä todennäköisiä kolmantena desimaalina. Tällaisia juureksia esiintyy sitä harvemmassa mitä suurempiin lukuihin mennään, jolloin nollan etulyöntiasema heikkenee. Tälläkään ei ole mitään tekemistä alkuperäisen ongelman kanssa.
Kyllä, olin huolimaton ja sotkin P:n ja Q:n keskenään. Tosin sillä ei ole mitään merkitystä: tulos on sama riippumatta siitä kumpi on pitempi sivu.
23. Matias-Myyrä29.4.2021 klo 16:52
Ostin äsken 4 suklaalevyä, joissa on kussakin 6x4 palaa. En ole niitä vielä paloitellut, mutta tiedän montako naksausta vaatii saada ne yksittäisiksi paloiksi.P=6, Q=4, M=23.
24. Jaska29.4.2021 klo 16:55
Juttu on niin, että tsekkasin neliöjuuret 59:stä alaspäin, ja 1 kolmantena desimaalin eka oli 52. isoS:n ilmoitus oli siis virheellinen.Lenkillä hoksasin taas ed. oman virheeni, taittelin siinä kahdesta palasta yht'aikaa. Pölhö mikä pölhö. Varmuudella oikea tulos on 58, mutta kolmas desimaali on 5. Siinä taitetaan levy kahdeksi palaksi, isompi maksimi 6x9, pienempi 1x6. Siis reunarivi pois. Saadaan 53 + 5 = 58.
Jotenkin tuntuu, että tuosta ei alemmas ole mahkuja. Koetan saunassa keksiä todistuksen.
25. ++juh29.4.2021 klo 17:06
M = minimi = maksimi = P×Q–1.Todistus yleistajuisesti:
0 naksausta: suklaapaloja on 1 eli kokonainen levy.
1 naksaus: suklaapaloja on 2.
2 naksausta: suklaapaloja on 3.
3 naksausta: suklaapaloja on 4.
:
P×Q–2 naksausta: suklaapaloja on P×Q–1.
P×Q–1 naksausta: suklaapaloja on P×Q eli haluttu määrä.
26. Jaska29.4.2021 klo 17:25
Saunasta ei muuta seuraamusta kuin kylmä suihku. Unohtui ynnätä eka taitto. Siis 59 sekin, hah.
27. Ari29.4.2021 klo 17:44
6x4 levyn saa katkaistua paloiksi 21 naksautuksella.
28. eol29.4.2021 klo 17:52
++juh siis esitti (17:06) tuon periaatteessa 6-luokkalaisenkin hoksattavissa olevan todistuksen tarvittavien taittokertojen yleiselle määrälle P*Q-1, joka tosiaan on valitusta taittelustrategiasta täysin riippumaton. Kukin taittokerta lisää toisistaan irrallisten "osasten" (++juhin termein "suklaapalojen") määrää täsmälleen yhdellä, joten 1 osasesta päästään P*Q osaseen kun suoritetaan P*Q-1 taittokertaa.Erikoistapauksia:
10*6: 59 (iso S)
202*41: 8281 (Matti)
12*8: 95 (++juh)
11*3: 32 (Ari)
6*4: 23 (Matias-Myyrä)
29. Ari29.4.2021 klo 17:55
Saako tuohon viestin 5 tehtävään muuten jo vastata?
30. eol29.4.2021 klo 17:55
Lainaus: 27. Ari 29.4.2021 klo 17:446x4 levyn saa katkaistua paloiksi 21 naksautuksella.
Jotkin noista 21 naksautuksesta eivät ilmeisesti ole yllä annetun speksin mukaisia.
31. Ari29.4.2021 klo 18:01
Kuinka niin? Täytyy katkaista oikeassa järjestyksessä. Jos katkaisee ensin pitkän sivun suuntaisesti ja sitten pätkii neljän osan pätkät niin pääsee tuohon. Jos taas katkoo ensin lyhyen sivun suuntaisesti, saa vastaukseksi 25. Eli sinun lukemasi on näiden keskiarvo.
32. eol29.4.2021 klo 18:04
Lainaus: 29. Ari 29.4.2021 klo 17:55Saako tuohon viestin 5 tehtävään muuten jo vastata?
Juu, yleistä ratkaisua ryhdyin itse asiassa pyytelemään jo yllä 28.4. klo 08:28.
33. eol29.4.2021 klo 18:11
Lainaus: 31. Ari 29.4.2021 klo 18:01Kuinka niin?
3 + 4*5 = 23
5 + 6*3 = 23
34. Ari29.4.2021 klo 18:34
3+3*6=21Piirrä vaikka paperille niin huomaat.
35. iso S29.4.2021 klo 18:37
Lainaus: 31. Ari 29.4.2021 klo 18:01Kuinka niin?
Laskepa vielä. Pitkä sivu kuusi palaa, lyhyt sivu neljä palaa. Pitkällä sivulla on siis viisi (p-1) taittokohtaa, lyhyellä 4 (Q-1).
Kun taitetaan pitkän sivun suuntaisesti, saadaan minun järkeni mukaan neljä kuuden palan pätkää ja taittoja tulee tässä vaiheessa kolme. Sitten taitetaan ne neljä pätkää, joista tulee 4*5 taittoa. Yhteensä 23 taittoa.
Kun taitetaan lyhyen sivun suuntaisesti, saadaan edellä käytetyn jrjen (joka ei käytöstä kulunut pois) mukaan kuusi neljän palan pätkää ja taittoja tulee tässä vaiheessa viisi. Sitten taitetaan ne kuusi pätkää, joista tulee 6*3 taittoa. Yhteensä 23 taittoa. Sama se sille, Jussi tai Ville, yhteinen tulos on taitteleville.
Voi olla että ymmärrämme "sivun P/Q suuntaisesti" taittamisen eri tavalla, mutta kuten sanottu ja c todisti, molemmilla tavoilla tulee sama tulos.
Itse päädyin välituloksena samaan yksinkertaiseen kaavaan, kun halusin todistaa itselleni että järjestyksellä ei ole väliä. Lähtökohtana oli kaava (ymmärtäkää pitkät ja lyhyet haluamallanne tavalla):
(P-1) + P*(Q-1)
Poistetaan sulut:
P-1+P*Q-P
P ja -P kumoavat toisensa:
-1+P*Q
Vaihdetaan järjestys silmää miellyttävämmäksi, ei vaikuta tulokseen
P*Q-1 (hei, tuntuu tutulta: !)
Arvo ei muutu, jos lisätään -Q ja +Q
P*Q-Q+Q-1
Lisätään sulut ja vaihdetaan järjestystä
(Q-1)+(P*Q-Q)
Kerrotaan ja jaetaan jälkimmäinen osa Q:lla (eli siirretään yhteinen tekijä sulkujen ulkopuolelle
(Q-1)+Q*(P-1)
Ihan sama kaava kuin alussa, mutta Q ja P vaihtoivat paikkaa. Levy kääntyi pystyasennosta vaaka-asentoon tai päinvastoin.
36. Ari29.4.2021 klo 18:41
Eikun joo, olet oikeassa, sekosin taittelujärjestyksessä, sori
37. eol29.4.2021 klo 18:58
Näin ollen tehtävä on ratkaistu, kiitokset keskusteluun osallistujille.
38. Jaska29.4.2021 klo 18:58
Sanoin tsekanneeni desimaalit 59:stä lähtien alaspäin. Miksen 59 mukaan luettuna. Olisin välttynyt hölmöilyiltäni. Kolmas desimaali on tosiaan 1. Ja Matilla aivan oikein kolmas on 0. Ja ensimmäinen sekä toinen. Ynnä miljoonas. Tosiaan erikoistapaus, heh. Mutta niin kuin Spats Colombo henkihieverissään: Good joke!
39. Ari29.4.2021 klo 19:02
Siinähän oli tavallaan kompa kun Susannan suklaalevyn taittelujärjestyksellä ei ollutkaan väliä lopputulosta ajatellen.
40. Jaska6.5.2021 klo 14:07
Tiistaina sattui niin somasti, että kenomylly pyöräytti ilta-arvonnassa kymmenen samaa numeroa kuin edellisessä eli päiväarvonnassa. Näin käy keskimäärin noin kerran kahdessasadassa vuodessa nykyarvontatahdilla kolme arvontaa joka päivä.Oletetaan, että kymppitasoa pelaava kenottaja Kenonen sai päiväarvonnan tuloksesta etiäisen, että ilta-arvonnasta tulee 10 samaa numeroa. Kenonen on ohjelmointitaitoinen miljonääri, jolla ei siis olisi ongelmaa täydelisen järjestelmän 10/20 rahoituksessa eikä sen syöttämisessä Veikkauksen onlinejärjestelmään.
1. Kannattiko Kenosen uhkapeli, eli tuliko nettovoittoa vai pelin hinnan verran takkiin.
2. Mikä on ko. olettamuksen toteutuessa minimirivimäärä, jolla kymppitason pelaaja tietää varmasti jäävänsä plussan puolelle?
41. eol6.5.2021 klo 20:05
Selvitinpä Jaskan tehtävää varten ensin Veikkauksen (ja Wikipedian) sivuilta Kenon sääntöjä, kun ei ole tullut sitä pelattua:https://www.veikkaus.fi/fi/keno/peruspeli
https://fi.m.wikipedia.org/wiki/Keno
Eli siis: Kenossa arvotaan 20 numeroa 70:stä. Kymppitasoa (Keno-10) pelatessaan Keno-pelaaja laatii ennen arvontaa rivin, johon hän valitsee 10 numeroa kyseisistä 70:stä. Pelaajalle palautuva voitto on pelipanos kerrottuna voittokertoimella, ja tämä voittokerroin määräytyy seuraavasti sen mukaan, kuinka monta arvottua numeroa pelaajan rivissä on oikein.
10 oikein: voittokerroin on 200 000
9: 5 000
8: 200
7: 20
6: 4
5: 1
4, 3, 2 tai 1: 0
0: 1
Pyrin palaamaan asiaan eli itse Jaskan tehtävään hieman myöhemmin.
42. eol6.5.2021 klo 22:45
Seuraavasssa Jaskan tehtävän kummastakin kohdasta - tässä vaiheessa laskelmat ja todistukset sivuuttaen:1. Jos Kenonen pelaa etiäisensä mukaisella täydellä eli 10 oikein -tuloksen takaavalla hajarivijärjestelmällä ja jos tuo etiäinen toteutuu, niin Kenonen jää voitolle (ja paljon!).
2. Kun edelleen oletetaan, että etiäinen toteutuu, niin Kenonen pystyy tekemään sellaisen 6 rivin hajarivijärjestelmän, jolla hän jää varmasti voitolle. (Ainakaan vielä en kuitenkaan ole onnistunut ?sulkemaan pois sitä mahdollisuutta, etteikö samanlainen varmuus olisi saavutettavissa pienemmälläkin rivimäärällä.)
43. Jaska6.5.2021 klo 23:48
Molemmat vastaukset (tietysti) oikein. Varman 10 oikein saa pelaamalla kaikki erilaiset 184756 riviä, ja sen kerroin Veikkauksella on 200000. Valtava määrä ns. alavoittoja nostaa euron rivipanoksella nettovoitom lukemaaan 1448149 euroa.Kuusi riviä on siis minimi, minkä todistaminen ei ole kovin vaikeaa. eolin laatiman haravan takaama minimitulos on 6 + 4 kpl 5 oikein, voittosumma euron rivipanoksella 8 euroa = 2 euroa netto.
44. Jaska9.5.2021 klo 12:30
Ko. harava ja todistus. Kuusi haravariviä ovat vaakasuorassa.XXXXXXXXXX0000000000
XXXXX00000XXXXX00000
XXXXX0000000000XXXXX
00000XXXXXXXXXX00000
00000XXXXX00000XXXXX
0000000000XXXXXXXXXX
Kuudessa haravarivissä on kymmenen rastia eli kahtena lohkona 5 + 5 rastia. Nollat huomioon ottaen koknaisuudessa on siis neljä lohkoa, eli numeroituna 1-5, 6-10, 11-15, 16-20. Rastit kuvaavat rivissä pelattavia kymmentä eri kenoriviä ja nollat kymmentä muuta 20:stä. Olkoon kukin rastilohko 1 ja nolla lohko 0. Nyt voidaan haravarivit kuvata suppeammin vain neljä merkkiä käsittävillä riveillä:
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
Kuudessa rivissä ovat siis kaikki permutaatiot 4/2 (tässä / = yli) eli kuinka monessa järjestyksessä kaksi eri alkiota voivat kaikiaan olla.
Määritetään seuraavaksi kymmenen rastin eri jakaumat lohkoittain.
5, 5, 0, 0
5, 4, 1, 0
5, 3, 2, 0
5, 3, 1, 1
5, 2, 2, 1
4, 4. 2, 0
4, 4, 1, 1
4, 3, 3, 0
4, 3, 2, 1
4, 2, 2, 2
3, 3, 3, 1
3, 3, 2, 2
Havaitaan, että alimmaisessa eli eli rastien tasaisimmassa lohkojakaumassa on minimitulokseen vaadittavat 3 + 3 rastia. Koska alkiojakauma 4/2 on täydellinen ja siis symmetrinen, minimitakuu on voimassa myös järjestyksille 3, 2, 3, 2 jne. Kokeilemalla samalla neljän lohkon jakaumalla todetaan, että sama takuu on mahdoton pienemmällä rivimäärällä kuin 6. Jokaisen numeron 1-20 kohdalla on oltava kolme rastia. Viidellä rivillä se ei ole mahdollista.
45. Tarja16.9.2021 klo 08:36
Ihmettelen yhä, miksi matemaattiset tehtävät tunkevat itsensä Visa-säikeeseen eikä tämän otsikon alle. Kielelliset tehtävät hukkuvat Visa-säikeessä geometrian ja lujuusopin alle.
46. Jukkis16.9.2021 klo 09:57
Varmaan siksi kun sen säikeen nimi ei ole "Ei-matemaattisia pähkinöitä", jolloin kun sinne kuka tahansa panee minkä tahansa pähkinän, esim. kieleen liittyvän, säie putkahtaa esille, jolloin jollekin muulle tulee mieleen laittaa sinne myös matemaattisen pähkinän, koska säikeen otsikon mukaisia nekin ovat. Jonkun ehkä kannattaisi luoda tuollainen "Ei-matemaattisia pähkinöitä" -säie.
47. Tarja16.9.2021 klo 10:01
Ääh, ei kannata. Miksi minä turhaan yritän.
48. Jukkis16.9.2021 klo 10:06
Ja koska tämä säie, jonka olemassolon ainakin minä olin tyystin unohtanut, nyt putkahti esille, niin tähän tällainen helppo mutta mukava geometrinen tehtävä:Jos aijaa ei toimi, eli täällä:
https://aijaa.com/V61bH1
oleva kuva ei näy, niin saatte piirtää kuvan itse. On lattia, on vino seinä, joka muodostaa 60 asteen kulman lattian kanssa. Lattialla on pieni tynnyri, jonka halkaisija on 20 cm, se on työnnetty seinää vasten. Lattialla on keskikokoinen tynnyri, joka on työnnetty pieneen tynnyriin kiinni niin, että se koskettaa myös seinää. Lattialla on iso tynnyri, joka on työnnetty keskikokoiseen tynnyriin kiinni niin, että se koskettaa myös seinää. Mikä on keskikoisen ja ison tynnyrin halkaisija?
49. Matti16.9.2021 klo 23:17
Tarja, olet aivan oikeassa. Seuraavat matemaattiset pulmat laitan tänne. Olin tämän säikeen täysin unohtanut.
50. Matti16.9.2021 klo 23:25
Jukkiksen tehtävälle hep. Lisääkin tynnyreitä voidaan piirtää, ja säde löytyy helpolla rekursiolla.
51. Jukkis23.9.2021 klo 12:24
Johdanto: Autolla ajaessa yksi vaatimaton hupi on se kun saa ajotietokoneen eri lukemat samoiksi. Lähdöstä kulunut aika (minuutteja) tulee samaksi kuin ajettu matka (km) automaattisesti, kun siihenastinen keskinopeus on riittävän lähellä arvoa 60 km/h. Kunnianhimoisempi tavoite on saada samalla hetkellä myös senhetkinen nopeus (km/h) sekä senhetkinen kulutus ja siihenastinen keskikulutus (l/100 km desimaalipilkku pois jättäen) samoiksi. En ole tuota yrittänyt, mutta hetkellisen kulutuksen olen joskus todennut olevan sattumalta saman kuin nuo kaksi.Tehtävä: Ajoin vakionopeudella. Aina kun lähdöstä kuluneen ajan minuuttilukema muuttui (eli kun tuli seuraava tasamaäärä minuutteja kasaan), katsoin lähdöstä kertyneen km-lukeman (joka ei näytä metrejä). Lukemat menivät seuraavan taulukon mukaan, ensin minuutit, sitten kilometrit:
39 37
40 39
41 41
42 42
43 44
Kysymys: Millä nopeudella ajoin?
52. Juhani Heino23.9.2021 klo 13:29
Kiva tehtävä. Tässä pohdintaa tietyillä oletuksilla:Katsoit tilanteen täsmälleen tasaminuutilla. Silloin vain tarkka matka jää epäselväksi. Lähdetään siitä että matkaa tuli mahdollisimman paljon. Metrimäärä vaihtuisi silloin 37000-44999. Neljässä minuutissa hieman alle 8 km eli vauhtia melkein 120 km/h. Jos otetaan vakiomatka 1999 m, välituloksiin sovitettuina 37002, 39001, 41000, 42999, 44998 eli toimii.
Sitten vähiten matkaa: 37999-44000. Neljässä minuutissa hieman yli 6 km eli vauhtia yli 90 km/h. Vakiomatka 1501 m, välituloksiin sovitettuina 37998, 39499, 41000, 42501, 44002 eli taas toimii.
Vauhtia siis noin 90-120 km/h jos laskin oikein. Yllättävän iso liikkumavara.
53. Ari23.9.2021 klo 13:41
Jukkiksen 51; hep, jopa minä ilman suurempia pohdintoja tuon arvelen ratkaisseeni. :)
54. Jukkis23.9.2021 klo 15:10
Joo, 90 ... 120 km/h, minustakin yllättävän iso haarukka. Tarkat arvot: 90,030 ... 119,979 km/h.Tehtävä siis on ihan elävästä elämästä, ajaessa vakionopeussäädin oli 110:ssä, joten todellinen nopeus oli ehkä 103 km/h. Jatkokysymys: Mikä oli todellinen ajettu matka 39 minuutin kohdalla, jos oletetaan tuo 103 km/h?
55. Ari23.9.2021 klo 19:52
66,95km
56. Ari23.9.2021 klo 20:30
En kyllä ymmärrä miten siitä tehtävän 51 vastauksesta tulisi jokin muu kuin 60km/h.
57. Ari23.9.2021 klo 20:42
Niin no, kun mielessäni ajattelen noita arvoja epätarkoiksi. Tuolla 9km matkalla kun tuo muutos on pieni tuona 4minuutin aikana.
58. Jukkis24.9.2021 klo 07:41
Jos ajotietokone näyttää ajetuksi matkaksi 37 km, niin tuskin todellinen ajettu matka silloin on 66,95 km. Tehtävän 51 vastaus selviää hyvin Juhani Heinon viestistä 52.
59. Juhani Heino25.9.2021 klo 11:51
Muut säikeet ovat taas "hukuttaneet" tämän, joten jatkan sitten omaa pohdintaani. Minuuttimatka on 103/60 km. Kuten aiemmasta näkyi, 41 km on kriittinen kohta. Siitä taakse laskien 39 17/60 km ja 37 34/60 km, eli matka on vähintään 37,56666... km.Eteenpäin laskien 42 43/60 km ja 44 24/60 km. Vähiten liikkumavaraa kaikista on tuolla ensinmainitulla eli se asetetaan olemaan alle 43. Siitä taakse laskien 41 17/60 km, 39 34/60 km ja 37 51/60 km. Matka on siis enintään 37,85 km mutta vahinko että tässä tarkka arvo menee hukkaan koska todellisen matkanhan pitää olla hieman alle sen.
60. Juhani Heino25.9.2021 klo 11:59
Äh, tuossa pitäisi olla 44 26/60 km mutta ei vaikuta tulokseen. Toivottavasti muu on oikein.
61. Ari25.9.2021 klo 14:22
Ei siitä tarkkoja lukuja voi saadakaan, kun matka on +/- 1 km tarkkuudella.
62. Jukkis25.9.2021 klo 15:26
JH:lla oikein, eli matka oli välillä 37,567 ... 37,850 km, kolmeen desimaaliin pyöristettynä.
63. Jukkis25.9.2021 klo 16:36
Geometriaa. Piirrä 10 cm pitkä viiva. Piirrä ympyrä, joka kulkee viivan päiden kautta, kuitenkin niin, että ympyrän keskipiste ei ole viivalla. Mitä kauempana ympyrän keskipiste on viivasta, sitä suurempi on ympyrän säde. Piirrä toinen, pienempi ympyrä, jonka keskipiste on sama kuin ekan ympyrän ja joka sivuaa viivaa. Kuinka suuri on ympyröiden väliin jäävän alueen pinta-ala?
64. Juhani Heino25.9.2021 klo 19:33
Tässä pieni kikkailu. Joku muu saa tehdä kunnon laskelmat.Kun keskipiste on äärimmäisen lähellä viivaa, pienempi ympyrä jää lähes nollaksi ja isomman säde on n. 5 cm. Jos erotuksen pinta-ala pysyy aina samana, kuten tehtävä vihjaa, se on ?*25 cm² eli noin 78,54 cm².
65. Juhani Heino25.9.2021 klo 19:33
Näköjään täällä ei toiminut piin merkki.
66. Ari25.9.2021 klo 19:53
Näinkö?http://sanari.epizy.com/?sivu=piirtotaulu&k=47fMvs vsSgYyX9SfajYHSgYwXASfXbWhSmWPYZSlc6We
67. Ari25.9.2021 klo 20:03
Tai siis näin?http://sanari.epizy.com/?sivu=piirtotaulu&k=47fMvs vsSgYyX9SfajYHSgYwXASfXbWhSmWPYZSlcNYi
68. Jukkis25.9.2021 klo 20:35
Ei kumpikaan. "Piirrä ympyrä, joka kulkee viivan päiden kautta..."
69. Ari25.9.2021 klo 21:00
Juhanin kikkailu siis näin?http://sanari.epizy.com/?sivu=piirtotaulu&k=44fMvs vsSgVOX0SfXoX0SgVOX0SfX0X0SmTbYcSlXCYcSgbqX0SfeGX0 SgbqX0MmSfbvX0SmZRX5SleIX5
70. Ari25.9.2021 klo 21:05
Ohuemmalla viivalla saa tarkemmin:http://sanari.epizy.com/?sivu=piirtotaulu&k=2FfMvs vsSgWCX0OpSfYcX0SgWCX0SfXoX0SmUQYcSlY0YcSgceX0Sff4 X0SgcfX0SfcgX0SmaEX0Slf4X0
71. ++juh25.9.2021 klo 22:28
Ympyröiden yhteinen keskipiste, janan keskipiste ja janan päätepiste muodostavat suorakulmaisen kolmion, josta saadaan (R on ison ja r pienen ympyrän säde):R² = r² + 5², eli (R² – r²) = 25
Ympyröiden pinta-alojen erotus on
pii × R² – pii × r²
= pii × (R² – r²)
= pii × 25
72. Matti26.9.2021 klo 00:15
Entäpä jos pienempi ympyrä korvataankin ellipsillä. Suurempi rengas on ura, jonka ellipsille piirretyn tangentin pätkän sivuamispisteestä 5 cm etäisyydellä oleva pää piirtää kun sivuamispisre kiertää ellipsin ympäri. Mikä silloin on renkaan pinta-ala?
73. Jukkis26.9.2021 klo 10:58
Kun muistelin, että varmaankin tuon saman tai ainakin kovin samanlaisen on Matti ennenkin laittanut, päädyin havaitsemaan sen, että tuon minun tehtävän (viesti 63) oli Matti laittanut 22.2.2016 hieman eri sanamuodoin"Lukujono 17" -säikeeseen (no. 8709). Ja luultavasti tuo Matin uusi pähkinä, tai kovin samankaltainen, oli "Lukujono 18" -säikeessä, mutta on sieltä tuhoutunut.
74. Jukkis26.9.2021 klo 11:02
... ja muistelen, että silloin yritin sitä jollain tolkuttomalla integrointihässäkällä ratkaista, ja osoittautui (siis Matti osoitti) että vastaus löytyy ihan simppelisti.
75. Jaska26.9.2021 klo 12:58
Sama knoppi kuin maapallon ympäri pingotetun narun jatkaminen metrillä, totesin Matin em. tehtävästä.
76. Matti26.9.2021 klo 23:36
Entä jos sisempi ympyrä korvataan a) neliöllä b) konveksin alueen sulkevalla mielivaltaisella murtoviivalla c) mielivaltaisella (riittävän "sileällä") konveksin alueen sulkevalla tasokäyrällä, ja ulomman ympyrän korvaa taas tangentin pätkän päätepisteen piirtämä ura, kuten edellä? Ja joo, laskutöitä ei juuri tarvita.
77. Matti28.9.2021 klo 22:19
Vastaus kaikkiin kohtiin a), b) ja c) on sama: ympyrän pinta-ala pii*r^2, missä r=5 cm. Neliössä pinta ala muodostuu jokaiseen nurkkaan syntyvästä ympyrän neljännessektorista. Sivua pitkin liikuttaessa pinta-alaa ei tule lainkaan lisää. Murtoviivan tapauksessa sektorit tulevat jokaiseen nurkkaan. Tangentinpätkät kiertyvät yhteensä täyden ympyrän. Ja tasokäyrää voidaan approksimoida murtoviivalla mielivaltaisen tarkasti, kun kulmia lisätään (jokaista epsilonia kohti löytyy murtoviiva, joka alittaa annetun kriteerin, mikä se sitten olikaan).Asiaa voidaan tarkastella myös seuraavasti: tangentinpätkän jokainen infinitesimaalinen liikahdus voidaan jakaa kahteen osaan: kiertoon ja tangentin suuntaiseen etenemiseen. Näistä ensimmäisen integraali on täysi ympyrä, siis 2*pii, ja jälkimmäinen ei lisää pinta-alaa lainkaan.
Kolmessa dimensiossa ympyrätapaus kai muuttuisi seuraavaksi tehtäväksi, joka on vanha tuttu: pallon läpi porataan keskeisesti reikä. Keskelle syntyvänvän onton lieriön korkeus on 2h. Mikä on jäljelle jäävän renkaan tilavuus. Vastaus on (muistaakseni) (4/3)*pii*h^3, siis sama kuin h-säteisen pallon, eikä se siis riipu sen enempää pallon kuin reiänkään säteestä. Olen yrittänyt siirtää yllä olevaa metodia tähän 3-dimensioiseen tapaukseen, mutta turhaan.
78. Matti28.9.2021 klo 23:17
Tangentinpätkä kiertyy yhteensä täyden ympyrän ...
79. Matti29.9.2021 klo 00:51
Välillä helpompikin tehtävä. a) Ville ajaa autolla nopeudella 60 km/h. Hän huomaa, että kaistalle on pysähtynyt auto, ja ohi ei pääse. Millä etäisyydellä esteestä viimeistään Villen on tehtävä äkkijarrutus, että törmäys vältetään?b) Nyt Ville ajaa moottoritiellä nopeudella 120 km/h. Hän huomaa, että edessä joku torvelo ajaa mopoautoa nopeudella 60 km/h, ja ohi ei pääse. Millä etäisyydellä viimeistään Villen on nyt aloitettava äkkijarrutus, jotta kolarilta vältyttäisiin. a) ja b) kohdissa Villen nopeusero esteeseen on siis sama, 60 km/h. Villen auton hidastuvuus täysjarrutuksessa on 0,6g eli 6 m/s^2.
80. Jukkis29.9.2021 klo 13:41
b):stä näyttäis tulevan kokonaisluku kertaa a). Jos b):ssä aloittaa jarruttamisen a):ssa saadulla etäisyydellä, niin millä nopeudella törmää mopoautoon?
81. eol29.9.2021 klo 17:10
En missään tapauksessa menisi sanomaan, että Jukkis olisi mielestäni vastauksessaan Matin tehtävään jotenkin väärässä, mutta kyllä minusta a-kohdan tulos on kokonaisluku kertaa b-kohdan tulos.
82. Jukkis29.9.2021 klo 21:05
Huh, niin tietysti. Huh. Kylläpäs taas.
83. Matti29.9.2021 klo 21:53
Minä sain kyllä saman tuloksen kuin Jukkis, b)/a) on kokonaisluku.
84. eol29.9.2021 klo 22:02
Niin, kyllä myös minun laskelmani antoi sen(kin) tuloksen. Siksi en yllä uskonutkaan Jukkiksen olevan millään lailla väärässä.
85. Jukkis30.9.2021 klo 07:56
Voisin tietysti nyt sanoa, että juu-u, niinhän mä just sanoin. Mutta kenties esittämästäni jatkokysymyksestä voi päätellä, että taisi olla väärä kokonaisluku, koska oikean kokonaisluvun kanssa kysymys on hiukka hönö. Jep, jäi siinä pikaisesti laskiessa äkkäämättä, että b-kohdan moottoritielle eksynyt viritetty mopoauto kulkee kuuttakymppiä myös takaatulijan jarrutuksen aikana.
86. Matti30.9.2021 klo 13:28
Eikös se näin mene. Relevantit nopeudet ovat 120 km/h, 60 km/h ja 0. Merkitään niitä seuraavasti: 2v, v ja 0.Kaava on tuttu v=sqrt(2as), siitä s=v^2/2a. Tässä g on maan vetovoiman ja a Villen kiihtyvyys. (Moottoritiellä Villen kiihtyvyys on tietysti lähellä ääretöntä, kun hän äkkää torvelon mopoautoilijan kaistallaan, mutta se on taas toinen juttu.)
Jarrutusmatka nopeudesta v pysähdyksiin on s(60)=v^2/2a, joka on a)-kohdan vastaus. Matka nopeudesta 2v pysähdyksiin on s(120)=4v^2/2a. Näiden erotuksena saabaan b)-kohdan vastaus, 3v^2/2a. Siis b)=3*a).
87. Matti30.9.2021 klo 13:32
Höh, siis "tässä s on tarvittava jarrutusmatka ja a Villen kiihtyvyys."
88. eol30.9.2021 klo 13:56
Matti, b-kohdassa jarrutusta ei välttämättä tarvitse aloittaa noin aikaisin. Nimittäin jos takaatulija niin tekisi, niin hänen nopeutensa olisi 60 km/h jo siinä vaiheessa, kun hän ehtii siihen kohtaan, missä mopoauto oli jarrutuksen aloitushetkellä. Mutta takaatulijan jarrutuksen aikana mopoauto on ehtinyt jo huomattavasti edemmäs.
89. Jukkis30.9.2021 klo 14:42
Ymmärtääkseni eol sanoo tuossa samaa, jonka minä sanoin viestin 85 lopussa. Ettäpä oho, noinko Matilla on sama ajatusharha, joka minulla oli viestiä 80 kirjoittaessa?
90. Matti30.9.2021 klo 21:30
eol ja Jukkis, mikä on teidän ratkaisunne?
91. eol1.10.2021 klo 02:29
Todetaan aluksi, että tehtävänannossa ei kysytä jarrutuksen vaatimaa matkaa vaan sitä etäisyyttä mopoautoon, jonka kohdalla ?Villen on viimeistään aloitettava jarrutus. - Nimenomaan b-kohdassa nämä kaksi ovat eri asioita!a) Tarvittava etäisyys a-kohdassa saadaan Matin esittämällä tavalla, eli se on v^2/2a.
b) Tarvittava etäisyys b-kohdassa on sama kuin a-kohdassa. Tämä voidaan joko päätellä tai laskea vaikeamman kautta. Päätellään ensin ja lasketaan sitten.
i) Sekä a- että b-kohdassa autot alunperin lähestyvät toisiaan nopeudella 60 km/h aina siihen asti kunnes Ville aloittaa jarrutuksen. Sen jälkeen sekä a- että b-kohdassa autojen keskinäinen lähestymisnopeus hidastuu tasaisesti hidastuvuudella 6 m/s^2. Näin ollen a- ja b-kohtien tehtävät ovat oleellisesti samat.
ii) Laskemalla lasketaan sitten b-kohta. Aika, joka Villeltä kuluu jarrutuksen alusta nopeuteen v on
t = (2v - v)/a = v/a.
Tässä jarrutusajassa t Ville etenee matkan
s = 2vt - at^2/2 = 2v^2/a - v^2/2a = 3v^2/2a.
Samassa ajassa t mopoauto etenee matkan
d = vt = v^2/a.
Villen on siten aloitettava jarrutus viimeistään silloin kun autojen välinen etäisyys on
s - d = 3v^2/2a - 2v^2/2a = v^2/2a.
92. Matti1.10.2021 klo 10:37
Noin minäkin sen laskin, kun korjasin virheeni. Etäisyys on siis sama kuin a)-kohdassa. Minusta tuo on kovin intuition vastainen tulos, koska jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden neliöön. Mutta se siitä tuli, vaikka kuinka väänsi.
93. Jukkis1.10.2021 klo 20:56
Eli tehtävä olikin paljon parempi kuin sitä antaessa luulit.
94. Matti1.10.2021 klo 22:28
Toden totta.
95. ++juh1.10.2021 klo 23:07
Liikehän on suhteellista ja tapahtuu jonkin pisteen suhteen. Valitaan pisteeksi mopoauton kuljettaja. Mopoauto on häneen nähden paikallaan. Takaa tuleva auto lähestyy mopoautoa aluksi 60 km tuntivauhtia, alkaa jossain vaiheessa jarruttaa ja jää lopuksi paikalleen, joten b-kohdan vastaus = a-kohdan vastaus.M.O.T. (?)
96. Matti2.10.2021 klo 20:58
Tämä on sama kuin eol:n (91) ratkaisu i). Siirrytään koordinaatistoon, joka on kiinnitetty mopoautoon.
97. Matti2.10.2021 klo 23:26
Niityllä on korkea ympyräpohjaisen lieriön muotoinen viljasiilo. Pohjan säde on R. Siilon juureen on kiinnitetty lampaan lieka, jonka pituus on pii*R. Kuinka suurelta pinta-alalta lammas voi syödä ruohoa?
98. Jaska2.10.2021 klo 23:47
Sama on ollut ennenkin?
99. Matti3.10.2021 klo 15:27
OK, olisikohan siinä hukkuneiden säikeiden joukossa. Mutta saahan tämän ratkaista uudelleenkin - jos huvittaa. Tehtävä on ratkaisutavaltaan sukua pulmalle 76.
100. Jaska3.10.2021 klo 18:02
Siinä vanhassa oli lammas ja lieka, mutta siilon sijasta pyöreä lammikko. Ratkaisu ei nyt tule mieleen.
101. Matti3.10.2021 klo 18:23
Piti laittaa siilo, jotta liekaa ei voisi pingottaa lammikon ylitse.
102. Ari4.10.2021 klo 12:14
Kieltämättä haastava tehtävä. Kun lieka koskettaa siiloa ja lammas lähestyy edelleen lieka tiukalla siilon reunaa, matka kiinnityskohtaan lyhenee eli suora matka on vähemmän kuin pii*R.
103. Jukkis4.10.2021 klo 13:35
Sain sellaisen vastauksen että lampaan syöntialan ja lieriön pohjan alan suhde on luku, jonka kolmas, neljäs ja viides desimaali on 467.
104. Ari4.10.2021 klo 13:46
Kiinteä arvo riippuu paljolti siitä mikä on R: n arvo?
105. Jaska4.10.2021 klo 17:38
Voitko Ari selventää. Minusta Jukkiksen ratkaisu eli suhdeluku on se kiinteä arvo. Eli sama millä R:n arvolla hyvänsä.
106. Matti4.10.2021 klo 21:09
Sain pinta-alaksi A = pii*R^2*(pii + pii^2)/2, siis 6,5055985. Tämä ei stemmaa Jukkiksen 103 ratkaisun kanssa. Se ei silti tarkoita, että oma ratkaisuni olisi oikein. Sen on tässä saanut oppia. Jukkis, miten ratkaisit?Sain lampaan laidunta-alueeksi vähän katiskaa muistuttavan kuvion. Siinä on puoliympyrä jonka keskipiste on liean kiinityspiste siilon juuressa, ja säde pii*R. Halkaisija rajoittaa kahta osa-aluetta, jotka ovat toistensa peilikuvia. Symmetria-akseli on suora liean kiinnityspisteestä siilon keskipisteeseen, ja edelleen siilon kehälle. Piirtäisin kuvan, jos osaisin käyttää aijaata.
107. Matti4.10.2021 klo 21:47
Täsmennän vielä, että tulokseni on pii*R^2*6,5055985.
108. Jaska4.10.2021 klo 23:56
Jos piirretään liean kiinnityspisteestä ympyrä, jonka säde on lieka, niin sen pinta-ala on neljä kertaa suurempi kuin siilon pohjan pinta-ala. Lampaan syöntialan täytyy olla pienempi kuin 3/4 ison ympyrän pinta-alasta. Minusta se ei stemmaa tuon 6,5055985 kanssa. Missä päättelen väärin?
109. Jukkis5.10.2021 klo 09:21
Päättelet väärin siinä että jos R=1, niin lieriön ala = pii ja pii*R-säteisen ympyrän ala = pii^3. Eli isomman ympyrän ala on pii^2 kertaa lieriön ala.En ole löytänyt omasta laskustani vielä virhettä, mutta en oo paljon ehtinyt etsiäkään. Pitää vielä tutkia jahka ehtii.
110. Jaska5.10.2021 klo 11:14
Yöllistä sekoilua taas. Annoin liean pituudeksi 2R.
111. Jukkis5.10.2021 klo 11:32
MInulla on omassa tuloksessa tietysti liekasäteisen puoliympyrän ala (pii^3*R^2)/2. Ja sitten laskin ihan integroimalla loppuosan, ja sain (pi^3*R^2)/6. Jolloin koko alaksi tulee 8,22467*pii*R^2. Epäilen kyllä vähän että integroinnin periaate ei mulla ole ihan oikein. MIkäs Matti se sun menetelmä taas onkaan?
112. Jukkis5.10.2021 klo 12:56
Tämmönenhän se alue on:https://imgur.com/a/Gzx15ZZ
113. Matti5.10.2021 klo 15:02
Hieno kuva. Saako sitä numeerisesti integroitua?
114. Jukkis5.10.2021 klo 16:02
x:n ykköstä pienemmillä arvoilla syöntialueen rajan yhtälö y-akselin positiivisella puolella onx = cos(a)-(pii-a)*sin(a)
y = sin(a)+(pii-a)*cos(a)
missä a = kulma origosta siihen lieriön reunapisteeseen, josta lieka lähtee tangenttina erkanemaan. a saa tietysti arvot 0 ... pii.
Saiskohan Wolfram Alphalla tuon integroitua?
115. Jukkis5.10.2021 klo 16:45
No Excelillähän sen sai integroitua. Minulla tuolla edellä on luku 8,22467, Excel antaa 8,2219. Että saattaapa olla, että minulla on oikeampi vastaus kuin Matilla.
116. Matti5.10.2021 klo 21:31
Hyvä että en ruvennut kinaamaan. Jukkiksella kolme oikeaa numeroa alussa, pakko olla oikein! Jukkis arveli, että integroinnin periaate ei ollut hänellä ihan oikein - minulla ei ollut. Närästää kun itse ehdottamiani tehtäviä en saa ratkaistua oikein.
117. Jukkis6.10.2021 klo 18:25
Tee matemaattinen lauseke, jossa on kolme yhdeksikköä, ei muita numeroita, ja jonka arvo on 20.
118. Matti7.10.2021 klo 00:04
Minulla oli aivan triviaali laskuvirhe. Metodi oli oikein, ja tulos oli (5/6)*pii^2=8,2247. Jukkiksen integroima tulos on (2/3)*pii^2, mutta numeerinen integrointi antaa siis oikean 8,2247. Joku lapsus tarkassa arvossa Jukkiksella varmaan.Se mun käyttämä metodi, "visual calculus", menee näin. Kiristetyn liean loppuosa siilosta lampaaseen on tangentinpätkä. Siirretään se suuntansa ja suuruutensa säilyttäen alkamaan liean kiinnityspisteestä siilon juuresta. Sen pituus on R(pii -a), kun kun lieka on kiertynyt kulman a verran. Nyt on laskettava integraali:
a käy 0 to pii [R^2*(pii-a)^2 da]. Siihen ynnätään vielä puoliympyrän ala, kun säde on pii*a. Laskut jäävät siis huomattavan yksinkertaisiksi.
Mun kuvio on Jukkiksen kuvio kierrettynä kulman pii/2, mutta en nyt jaksa muuttaa omaani yhteensopivaksi.
119. Juhani Heino7.10.2021 klo 00:16
Jukkikselle rankka kikkailu: 9+9+!sqrt(9)Viimeisessä osassa ensin otetaan neliöjuuri 9:stä. 3:lle otetaan sitten väärinjärjestysten määrä (derangement) joka on 2. Se tarkoittaa että kun on kolme alkiota, niiden järjestyksistä 123, 132, 213, 231, 312 ja 321 vain 231 ja 312 ovat sellaisia joissa kaikki alkiot ovat eri paikassa kuin alkuperäisessä järjestyksessä 123.
120. eol7.10.2021 klo 02:13
Astetta vähemmän rankkana kikkailuna pitäisin seuraavaa:sqrt(9)!!/(sqrt(9)!*sqrt(9)!)
= 6!/(6*6)
= 720/36
= 20
P.S. Jos neliöjuuren ja kertoman lisäksi sallitaan binomikerroin (n yli k), niin 20 saadaan kahdella yhdeksiköllä seuraavasti:
(sqrt(9)! yli sqrt(9))
= (6 yli 3)
= 6!/(3!*(6-3)!)
= 6!/(6*6)
= 720/36
= 20
121. Jukkis7.10.2021 klo 07:54
Matti, tuolla viestissä 111 oleva (pi^3*R^2)/6 on siis tulos, jonka sain kun integroin y-akselin positiivisella puoliskolla. Eli koko loppuosa sen puoliympyrän lisäksi on (pi^3*R^2)/3, jolloin koko ala on 5*(pi^3*R^2)/6. Kieltämättä huonosti ilmaisin tuolloin. Integraali tietysti oli sama kuin sinulla, enkä ihan tajua tuota että metodi olisi joku "visual calculus", kun ihan pinta-alan perusintegrointihan tuo on.
122. Matti7.10.2021 klo 23:32
Vielä pari sanaa. Vaikka ei ihan päässälaskuun johdakaan, koska nyt tangentinpätkän pituus muuttuu, visual calculus helpottaa laskuja aivan oleellisesti. Nyt tarvitsee integroida vain toisen asteen polynomi, eikä johtaa ja laskea parametrimuodossa lausutun käyrän sulkemaa pinta-alaa, trigonometrisine funktioineen. Tietysti jos käytettävissä on Wolfram alpha tms. niin tilanne on toinen. Mutta niin tai näin, Jukkis antoi ensimmäisenä oikean vastauksen.
123. Jukkis8.10.2021 klo 09:35
Tuohon yhdeksikköpähkinään löytyy vielä ainakin pari muuta vastausta. Keksiikö kukaan?
124. Jukkis8.10.2021 klo 09:41
Toi J. Heinon derangement-juttu oli mulle jotain ihan uutta. Nyt tiedän mm. että !n saadaan pyöristämällä n!/e lähimpään kokonaislukuun. Kaikkea sitä.
125. ++juh8.10.2021 klo 14:22
Jos desimaaliluvun etunollan saa jättää pois:(9 + 9) / .9
Lukujärjestelmän vaihto (yhteenlaskun jälkeen):
(9 + 9)?
126. ++juh8.10.2021 klo 14:26
Kysymysmerkki on alaindeksi-9.
127. Jukkis8.10.2021 klo 14:37
Nuo kaksi mullakin oli mielessä. Ei taida löytyä enempää kikkailuja?
128. Jukkis8.10.2021 klo 20:15
Tämmöinen pikkutehtävä. MIkä on tämän lausekkeen arvo:https://imgur.com/a/uQYgoNq
Koska meitä taitaa olla peräti viisi henkeä, jota tällaiset saattaa kiinnostaa, niin hepitystä vaan alkuunsa.
129. eol8.10.2021 klo 21:09
Hep. Laskemani ratkaisun 20. desimaali on 0.
130. Jukkis8.10.2021 klo 21:14
Niin näyttää olevan.
131. ++juh8.10.2021 klo 21:47
Hep, ja 21. desimaali on 4.
132. Jaska8.10.2021 klo 22:55
Hep, joskaan en ole varma oikeellisuudesta. Kuuden ekan desimaalin summa 21.
133. Matti8.10.2021 klo 23:59
Komppaan Jaskaa, joka ei pyöristänyt. Kultainen leikkaus, Fibonazzi.
134. Juhani Heino9.10.2021 klo 13:30
Hep. Vaikka olenkin viides, en uskalla laittaa kaavaa joka sinänsä on simppeli, vaan laitan 19. desimaalin joka on 2. Eli 20:nnen desimaalin kohdalla on tyylikkäästi 20.
135. ?atti9.10.2021 klo 20:25
Höh, siis tietysti Fibonacci.
136. Matti9.10.2021 klo 21:06
Entäpä mikä on seuraavan raja-arvo: 1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(1+1/(... )))... Hepittäkää.
137. ++juh9.10.2021 klo 21:18
Hep.
138. eol9.10.2021 klo 21:28
Hep: Matin tehtävän ratkaisun 22. desimaali on 5.
139. Juhani Heino10.10.2021 klo 00:09
Hep. Seitsemän ekan desimaalin summa on 30.
140. Jukkis10.10.2021 klo 19:42
Matin laittama kenties hiukka havainnollisemmin:https://imgur.com/a/b6vLqpv
No mitenkäs tälle ja minun laittamalle https://imgur.com/a/uQYgoNq sitten lasketaan lukuarvo?
141. Matti10.10.2021 klo 20:10
Tai ainakin toiselle niistä. Jukkis kiitos kuvasta!
142. ++juh10.10.2021 klo 20:22
Huomataan "triviaalisti", että Jukkiksen lauseke voidaan ilmoittaa yhtälönäx = sqrt(1 + x)
ja Matin lauseke yhtälönä
x = 1 + 1 / x
Kummastakin saadaan sama toisen asteen yhtälö x² – x – 1 = 0,
jonka (positiivinen) ratkaisu on (1 + sqrt(5)) / 2.
Likiarvon laskin linuxissa näin (30 desimaalilla):
$ echo "scale=30; (1+sqrt(5))/2" | bc -l
1.618033988749894848204586834365
143. Juhani Heino10.10.2021 klo 23:56
Tuota kultaista leikkausta on kutsuttu myös irrationaalisimmaksi luvuksi, tällä perusteella:Matin näyttämä ketjumurtoluku voi kuvata mitä tahansa lukua. Viivan alle tulee aina jokin luku plus yksi jaettuna seuraavalla iteraatiolla. Jos tuo jokin luku on iso, silloinhan siihenastinen kehitelmä on hyvä likiarvo, koska tämä kohta vaikuttaa tulokseen niin vähän. Esimerkkinä jostain saatu 0,2105 eli 2105/10000. Tästä lähdetään rakentamaan: 0+1/(4+1/(1+1/(3+...
Kolmosen jäljiltä jakojäännös on niin pieni että se johtaisi tosiaan yllämainittuun isoon lukuun. Niinpä tähänastista voidaan ryhtyä laskemaan "takaisinpäin". 1+1/3 = 4/3. 4+3/4 = 19/4. 0+4/19 = 4/19 joka on siis hyvä likiarvo 0,2105:lle.
Koska kultaisessa leikkauksessa viivan alla oleva luku on aina yksi eli pienin mahdollinen, se on aina mahdollisimman kaukana mistään murtoluvusta.
144. Jukkis11.10.2021 klo 13:34
Jos kuvan https://imgur.com/a/bsCbqjT
vastusketju jatkuu äärettömiin ja kaikkien vastusten resistanssi on 1 ohmi, niin mikä on napojen A ja B välinen resistanssi?
145. Jukkis11.10.2021 klo 13:42
Olkoon tuo edellinen a)-kohta. b)-kohta: Jos vastuksien paikalla onkin 1 faradin suuruiset kondensaattorit, niin mikä on napojen A ja B välinen kapasitanssi?
146. eol11.10.2021 klo 18:39
Hep sekä a- että b-kohdalle. Vastausten lukuarvot (ohmeissa/faradeissa) ovat eri suuret, mutta niiden 7. desimaalit ovat samat.
147. Ari11.10.2021 klo 20:41
Jukkis, noin 1.6ohmia.
148. Ari11.10.2021 klo 20:46
Sittenkin lähemmäs 1.5 ohmia.
149. Jukkis11.10.2021 klo 20:52
Mikä on a- ja b-kohtien vastausten tulo?
150. Ari11.10.2021 klo 21:20
Pyöreästi:a) 1.5ohmia
b) 0,666Faradia
a=1/b
b=1/a
151. Jukkis11.10.2021 klo 21:24
Eipä se Ari ihan noin ole.
152. Juhani Heino11.10.2021 klo 23:11
Voi olla että hahmotan väärin, kun aikanaan valitsin väärin enkä lähtenyt opiskelemaan insinööriksi, mutta vastuslaskujen periaate on tuttu ja heitän siten a-kohtaan että 8. desimaali on 8. Nyt pitää käydä vilkaisemassa miten kondensaattorit pitää laskea.
153. Ari11.10.2021 klo 23:33
Ei pidä pettyä jos arvo ei vastaa aivan tarkkaan ilmoitettua, nimittäin tarkkuusvastusten arvo on 0.1% ja tarkkuuskondensaattoreissa tarkkuus 1-2%.Jos ei tätä voi hyväksyä, ei kannata ryhtyä alalle.
154. Juhani Heino11.10.2021 klo 23:34
Näköjään kaava sinänsä on selkeä, mutta mulla oli vaikeuksia muljauttaa tähän tilanteeseen sopivaksi. Pystyn kuitenkin vahvistamaan että mullakin 7. desimaalit ovat samat, ja 8. desimaali on jälleen 8.
155. Matti12.10.2021 klo 02:16
++juh antoi oikean vastauksen 30 desimaalilla tämän säikeen puheenvuorossa 142.
156. Matti12.10.2021 klo 02:20
Siis siihen a)-kohtaan. Täytyy tuo kapsitanssivaihtoehto miettiä huomenna. Samoja latuja senkin ratkaisu edennee.
157. Matti12.10.2021 klo 02:23
Sitten on vielä induktanssivaihtoehto.
158. Ari12.10.2021 klo 07:20
Matti, induktanssi menee samalla kaavalla kuin resistanssikin.
159. Matti12.10.2021 klo 09:11
Ari, niinpäs tosiaan tekeekin.
160. Jukkis12.10.2021 klo 10:19
Juu, se kultainen leikkaus tähänkin änkee:https://imgur.com/a/4W1lBYb
Entäs konkat? Ja saatujen kahden vastauksen tulo?
161. eol12.10.2021 klo 11:52
Tulo on 1.
162. eol12.10.2021 klo 11:54
... kun laadut (ohmit ja faradit) jätetään pois.
163. Jukkis12.10.2021 klo 11:59
Jos et olisi laittanut viestiä 162, olisin vastannut että vastaus on väärin. Ja väärinhän se on edelleen.
164. Jukkis12.10.2021 klo 12:29
... tai siis vastaus on vähemmän väärin tuon viestin 162 jälkeen.
165. ++juh12.10.2021 klo 13:45
Tulo on 1 sekunti.Lukuarvoilla: b = 1/a = a – 1.
166. Jukkis12.10.2021 klo 13:58
Kyllä, 1 sekunti. Muistelen kun aikoinaan oli järisyttävää oppia, että kun resistanssi kerrotaan kapasitanssilla, niin saadaan aika, ja että tietyissä yhteyksissä tuota aikaa kutsutaan aikavakioksi, ja että aikavakio tarkoittaa ihan oikeaa oleellista ominaisuutta joissakin piireissä, joissa vastus ja kondensaattori on kytketty toisiinsa.
167. Jukkis12.10.2021 klo 13:59
Jos joku vielä haluaa ihan itse miettiä kondensaattoriketjua, niin ei sitten katso tätä kuvaa:https://imgur.com/a/JESEfzn
168. Jukkis12.10.2021 klo 14:31
Ja kun nyt vauhtiin päästiin, ja kun noissa ristikkosäikeissäkin harrastavat "eläkeläinen muistelee" -typpistä horinaa, niin miksei tässäkin. Sitten myöhemmin maailmankuva järisi lisää, kun sai oppia että kun induktanssin yksikkö henry kerrotaan taajuuden yksiköllä hertsi, saadaan ohmeja. Ja kun kapasitanssin yksikkö faradi kerrotaan taajuuden yksiköllä ja otetaan saadun tuloksen käänteisluku, saadaan ohmeja. Ja siten kun tehdään piiri, jossa on vastuksia, keloja ja kondensaattoreita ja syötetään sinne vaihtojännite, niin piirissä esiintyvien volttien, ampeerien ja ohmien laskeminen on täysjärkistä hommaa vain jos analyysissä käytetään kompleksilukuja.
169. Matti12.10.2021 klo 21:58
Kysytään nyt vielä tämä klassikko. Ruutuvihkon sivua jatketaan kaikkiin neljään suuntaan kohti ääretöntä. Ruudut erottavat pysty- ja vaakaviivat ajatellaan johtimiksi, jotka on kaikissa risteyskohdissa tinattu yhteen.Johtimet ovat vastuslankaa, jonka resistanssi on 1 ohmi/ruudun sivu. Mikä on kahden vierekkäisen risteyspisteen välinen vastus?
170. Matti12.10.2021 klo 23:28
Vielä tällainen. Jukkiksen tehtävässä (128) oli lukusarja 1, 1, 1, 1, ... Entä jos siihen istutetaankin lukusarja 2, 4, 16, 256, ... Hepitetään taas.
171. Jukkis13.10.2021 klo 11:11
Jälkimmäiseen hep. Vastuhilan vastauksen muistan (mutta en välttämättä ratkaisukeinoa), ja netistähän se löytyy, mutta sitten kun asiaa netissä tutkii enemmän, niin mennään kyllä niin syviin vesiin, että taidan jättää asian siihen, että Matti kerrot ennen pitkää sen sinun luultavasti ihan simppelin tavan saada tulos selville.
172. Jukkis13.10.2021 klo 11:26
"Vastuhila", heh, tämän sanan haluaisin ristikkoon.
173. Jukkis13.10.2021 klo 13:00
https://xkcd.com/356/
174. Jaska13.10.2021 klo 13:35
Veikkauksen pitkävedon kohteena on myös kenon parillisten numeroiden lukumäärä per arvonta. Viime sunnuntain päiväarvonnassa tulos oli 5 parillista. Sen kerroin on 110. Mikä on laskennallinen palautusprosentti?
175. eol13.10.2021 klo 20:05
Matin 2, 4, 16, 256, ... -tehtävälle hep.Jaskan tehtävän kenoarvonnassa siis arvotaan 20 eri numeroa väliltä 1, ..., 70. Kun sitten pitkävedossa pelataan arvontatulosta "5 parillista" kertoimella 110, niin palautuvan summan odotusarvo prosentteina pelipanoksesta on
110 * (35 yli 5) * (35 yli 15) / (70 yli 20)
= noin 0,71645
= noin 71,6 %
176. Jaska14.10.2021 klo 13:24
Kyllä, eli: 110 * 1.054 386 283. 917.120 / 161 884 603 662 657 876Kertoimessa huomio kiintyy sen sanoisinko törkeään pienuuteen. Sama yhteiskerroin 110 on tuloksilla 0-5 ja 16-20 parillista. Laskin kerran 10 parillista palautusprosentin, se oli 80:n huippeilla. Ei siis ole järkevää pelata tuloksia 5 ja 16, ja aivan typerää niitä pienempiä/isompia.
Pakko ihmetellä Veikkauksen motiivia kerroinmäärittelyssä. Onko syy pelko, että todennäköisyyksiä noudattavat kertoimet houkuttelevat liikaa peliä? Sehän on eliminoitavissa turvarajoilla, jotka rajoittavat nytkin voittosummia kenossa. Esim jos oikeaan riviin sisältyisivät numerot 1-10, yhtiö ei suinkaan maksaisi kaikille kymppitasolla 1-10 pelanneille kahtasataa tonnia. Osuudet jäisivät paljon pienemmiksi.
177. Jukkis14.10.2021 klo 15:01
"Ei siis ole järkevää pelata tuloksia 5 ja 16". No eikös tuota 5:ttä ollut ihan järkevää pelata sunnuntaina, kun sillä kerta voitti. Jos pelasi jotain muuta, niin ei voittanut. Tosin yhtään en kyllä ymmärrä mistä tässä puhutaan. Mitä tuo 71,6 % tarkoittaa? Jos tarkoittaako kerroin 110, että jos palasi eurolla niin voitti 110 euroa? Vain mitä?
178. Jukkis14.10.2021 klo 15:02
Jos tarkoittaako ---> Ja tarkoittaako
179. Jukkis14.10.2021 klo 15:04
No voi helevetti nyt taas. Vain mitä ---> Vai mitä ja jos palasi ---> jos pelasi
180. eol14.10.2021 klo 15:35
Kerroin 110 tarkoittaa, että jos pelaa eurolla tulosta "5 parillista", niin oikeaan osuessaan saa takaisin 110 euroa (eli tarkkaan ottaen jää 109 euroa voitolle). Palautusprosentti 71,6 % tarkoittaa, että kun pelataan tulosta "5 parillista", niin takaisin saatavan rahasumman oletusarvo on 71,6 % pelipanoksesta.
181. eol14.10.2021 klo 15:38
Korjaus: "oletusarvo" po. odotusarvo.
182. Jukkis14.10.2021 klo 17:03
No sitten en kyllä ollenkaan ymmärrä tuota Jaskan "Ei siis ole järkevää pelata tuloksia 5 ja 16". Miten ahne ihmisen pitää olla, kun 110-kertainen voitto "ei ole järkevä"? Ja ei kai tuo palautusprosentti voi yli sadan mennä, ja tuskin edes kovin lähelle sitä, joten miksi 71% on niin kamalan huono?Joku ehkä päättelee nyt ihan oikein, että en ole pahemmin ollut kasvattamassa esim. sitä vähälevikkisen kirjallisuuden ostotukeen ja kirjastoille maksettavaan kulttuurilehtien tilaustukeen suunnattua miljoonan euron pottia, joka nollattiin, ja sitten ei kai nollatakaan. Vaikka aika paljon olen sitä tukea kirjaston kautta hyödyntänyt. Pitäisköhän hävetä kun on tällainen siivelläeläjä?
183. Jaska14.10.2021 klo 17:11
Toki pitkävedon pelaaminen palautusprosentilla 70 on odotusarvoltaan parempi kuin esim. lotto. Mutta se on huonompi verrattuna kaikkiin muihin Veikkauksen pitkävetokohteisiin. Pelin alkaessa 1993 se oli 80, nykyisin urheilukohteissa keskimäärin selvästi enemmän, joskus yli 90.Onnenpeleissä Veikkauksella ei ole intressiä houkutella pelaajia yhtä korkealla palautusprosentilla, koska matalammatkin näkyvät kelpaava, kun kerran kohde listalla pysyy. Prossan pitäisi kuitenkin olla kaikilla tuloksilla sama 80. Jos olisin pelinjärjestäjä, antaisin omat kertoimet myös tuloksille 5 ja 16 parillista. Jos oikeaan 20 kohteen riviin tulee näitä pienempiä/suurempia määriä, siirtäisin jakamatta jäävän voittosumma myöhempään kierrokseen, jota tietysti mainostaisin tuplakertoimilla. Niinhän lottopeleissäkin tehdään.
184. Jukkis14.10.2021 klo 17:39
No jos se prosentti olisi 80, niin olisko 5 parillisen kerroin silloin123? Näin lasken viestin 175 perusteella. En edelleenkään tajua, että jos ei ole mitään järkeä voittaa 110 euroa eurolla, niin miten se, että jos sillä voittaisikin 123 euroa, nousisi jotenkin ihan eri järkevyystasolle. En vissiin rahapelaajien aivoituksia ymmärrä yhtään.
185. Jaska14.10.2021 klo 19:05
Ne aivoitukset perustuvat suuriin linjoihin. Eivät siis yhteen erityistapaukseen eli pelivoittoon, jonka todennäköisyys on 1 sitten kun voittorahat ovat taskussa. Mutta sitä voi olla edeltänyt kymmeniä, satojakin pelikertoja, joissa pelaaja on hävinnyt Veikkauksen Molokin kitaan yhteensä enemmänkin kuin 110 euroa. Mikä sinänsä on ihan mukava juttu. Oopperan ystävät kiittävät.
186. Matti14.10.2021 klo 21:51
Vastuhilan ratkaisu. Valitaan kaksi risteyspistettä, A ja B, joiden etäisyys on 1 ruudunleveys. Syötetään pisteeseen A virta J. Se leviää symmetrisesti neljään eri suuntaan. Virta A:sta B:hen on siis J/4. (Käytän virran voimakkuudelle symbolia J perinteisen I:n sijaan, että ei mene sekaisin ykkösen kanssa.)Sitten lopetetaan virran syöttö A:han, ja imetään B:stä virta J. Nyt virta A:sta B:hen on taas J/4. Sitten superponoidaan nämä kaksi tapausta ja havaitaan, että summavirta on J/2.
Koska välin vastus on 1 ohmi, jännite-eroa syntyy 1/2*J. Kun merkitään koko vastusverkon resistanssia A:n ja B:n välillä X:llä, saadaan jännite-erolle myös lauseke X*J. X on siis 1/2 ohmia.
187. Matti14.10.2021 klo 22:14
Tehtävän 170: 2, 4, 16, 256, ... ratkaisu. Pitäisi siis laskea raja-arvo lausekkeellesqr(2+sqr(4+sqr(16+sqr(256+sqr ...)))...
Algebrallisella manipuloinnilla (otetaan sqr2 lausekkeen yhteiseksi tekijäksi) saadaan lauseke muotoon
sqr2*A, missä A on Jukkiksen 128 kuvan lausekkeen arvo, (1+sqr5)/2. Tehtävän ratkaisu on siis (1+sqr5)/sqr2 eli neljällä desimaalilla 2,2882.
188. eol14.10.2021 klo 22:33
Tuo vastushilan ratkaisu lienee mutatis mutandis siirrettävissä 3-ulotteiseen tapaukseen, jolloin vastaavanlaisessa äärettömässä kuutiomaisessa hilassa kahden vierekkäisen solmupisteen välinen resistanssi on siten 1/3 ohmia.
189. Matti14.10.2021 klo 23:13
Kyllä, näinhän se näkyy menevän. Yleistys useampiin dimensioihin on suoraviivainen. Jos kohta vailla mielenkiintoa.
190. Jukkis15.10.2021 klo 11:54
Niihin syviin vesiin vastuhilan kanssa pääsee, kun katselee tätä kolmeosaista artikkelisarjaa:https://www.mathpages.com/home/kmath668/kmath668.h tm
191. eol15.10.2021 klo 17:18
Tuon Jukkiksen juuri edellä mainitseman artikkelisarjan ensimmäisen artikkelin 6. tekstikappaleessa kritisoidaan 2-ulotteista neliörakenteista vastushilaa koskevan tehtävän yksinkertaista, Matinkin esittämää ratkaisutapaa seuraavasti:"The fundamental problem with the simple argument, as stated above, is that it relies on the notion of forcing current into a node of an infinite grid, without satisfactorily explaining where this current goes."
Minun ymmärtääkseni sähköopillisesta näkökulmasta katsottuna on kuitenkin aika selvää, että minkäänlaista ongelmaa ei ole. (En tosin lukenutkaan tekstiä juuri tuon pitemmälle.)
192. Matti15.10.2021 klo 17:39
Tuo on pelkkää nirppanokkailua. Virtahan vie varauksen tietenkin äärettömyyksiin, siine kyllä mahtuu! Insinööriajattelussa pitää olla vähän luova. Kyllä sen huomaa, milloin oletus johtaa mahdottomuuksiin ja milloin ei.
193. Matti15.10.2021 klo 20:03
Vielä: Kovin kannetaan Jukkikisen linkissä huolta siitä, että jännite reunoja lähestyttäessä kasvaa yli rajojen, ja samoin tekee diskreettiä Laplacen yhtälöä käytettäessä reunaehto jännite rajalla. Vaan ei tähdennetä sitä, että koko idea äärettömästä vastushilasta on jo itsessään mahdoton. Siitähän kaikki em. murheet johtuvat. Suurpiirteisyys ja vaisto vievät tässä kyllä perille.Muuten meno linkissä meni yhä hurjemmaksi, mitä pitemmälle edettiin, niin että piti hatusta kiinni pitää. En lähde sitä opiskelemaan, vaikka käytetyt matemaattiset metodit sinänsä tuntuivatkin tutuilta.
194. ++juh15.10.2021 klo 22:33
Eikö tuo "fundamentaalinen probleema" vältetä ilman suurpiirteisyyttä ja vaistoa vaikka näin:a) Jos virran J "pakkosyöttämisen" sijasta solmuun A vain lisättäisiin (äärellinen) positiivinen varaus +Q, niin se alkaisi levitä tasaisesti verkkoon aiheuttaen ajasta riippuvan virran J(t), josta A:sta B:hen menisi J(t)/4.
b) Jos (a-kohdan sijasta) solmuun B vain lisättäisiin negatiivinen varaus –Q, niin se alkaisi levitä tasaisesti verkkoon aiheuttaen virran –J(t), josta suoraan A:han menisi –J(t)/4 eli A:sta B:hen menisi J(t)/4.
c) Jos (a- ja b-kohtien sijasta) A:han lisättäisiin varaus +Q ja samaan aikaan B:hen varaus –Q, niin superpositioperiaatteen mukaan A:sta B:hen menisi virta J(t)/2.
=> Pisteiden A ja B välinen jännite U(t) = r J(t)/2, jossa r on vastuslangan AB resistanssi (= 1 ohm).
Toisaalta U(t) = R J(t), jossa R on pisteiden A ja B välinen kokonaisresistanssi.
=> U(t) = R J(t) = r J(t)/2, joten R = r/2 = 1/2 ohm.
195. Matti16.10.2021 klo 00:11
Sikäli kun ymmärsin, eikös tuo ole sama asia kuin aiemmin esittämäni. Sama p, mutta eri paketissa. Ja mitään fundamentaalista ongelmaa ei ole, se on vähän niin kuin väkisin generoitu.
196. ++juh18.10.2021 klo 12:36
Sama asiahan se tietysti on.Mutta Jukkiksen linkittämässä jutussa kyseenalaistetaan ratkaisumalli, jossa verkkoon syötetään virtaa, koska se vaatisi äärettömän jännitteen. Kirjoittaja siis pohtii, onko oikein ratkaista mahdottoman verkon tehtävä mahdottomalla tavalla.
Mutta ääretöntä jännitettä ei tarvita, jos virran syötön sijaan verkon solmuun lisätään positiivinen (negatiivinen) varaus. Se alkaa levitä verkkoon itsestään eli solmu alkaa syöttää (imeä) virtaa – virtahan on varauksen liikettä.
197. Jukkis18.10.2021 klo 18:13
Perusmatikkaa tähän väliin. Sievennä tämä mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon: https://imgur.com/a/ENjiqsp
198. eol18.10.2021 klo 19:58
Hep (ainakin aika yksinkertaiseen muotoon).
199. Matti18.10.2021 klo 20:10
Hep (lisäkommentti kuten eolilla).
200. Matti18.10.2021 klo 22:13
Vielä epilogi vastuhilatehtävään. Jukkiksen linkki kertoo, että vastus neliön diagonaalinurkkien välillä on 2/pi, ja shakkihevosen askelen pisteiden välillä 4/pi -1/2. Jännää. Ja mistä se piikin sinne taas putkahti.
201. ++juh19.10.2021 klo 00:28
Kirjoitin yo:ksi keväällä 1979, mutta suureksi häpeäkseni ja matikanopeni äärimmäiseksi pettymykseksi sain pitkän matikan kokeesta vaivaiset 58 pistettä 60:stä, koska mokasin helpossa läpihuutopilipalitehtävässä ja unohdin tarkistaa nimittäjän nollakohdat. Harmittaa vieläkin vietävästi!Tuolloin tehtävät malliratkaisuineen julkaistiin seuraavan päivän Hesarissa – ja ehkä muissa maakuntien päälehdissä. Yhden loppupään todistustehtävän malliratkaisu oli melko pitkä, ja ratkaisun lopussa oli maininta "tai matemaattisella induktiolla" tms.
Matikanopeni kertoi kokeen päätyttyä kolmen jälkeen iltapäivällä, että hän oli nopeimpien abien vastaukset tarkastettuaan jo puolen päivän jälkeen ilmoittanut ylioppilaslautakuntaan, että yksi hänen oppilaistaan oli ratkaissut yhden tehtävän malliratkaisua elegantimmin matemaattisella induktiolla. Minä olin tuo oppilas – ja sain tehtävästä täydet 6 pistettä.
Pitkän matikan tehtävät ovat sivulta http://matemaattinenyhdistys.fi/yo/
Tehtävässä piti muistaakseni todistaa jokin epäyhtälö ja itse muistelen, että kyse oli jollain tavoin kokonaisluvuista. Matikanyhdistyksen kevään 1979 todistustehtävissä ei ole kuitenkaan ole kokonaislukuehtoa. Tehtävässä 9 pitää osoittaa epäyhtälön paikkansapitävyys, joten luultavasti kyse on siitä. Itse en enää ainakaan suoralta kädeltä keksi, millä tavoin ratkaisin tehtävän matemaattisella induktiolla.
Minulle tulee vain Hesarin painettu lehti, joten voisko joku digitilaaja vahvistaa, että matikanyhdistyksen sivujen tehtävät ovat samat kuin Hesarissa julkaistut?
Jos matikanyhdistyksen sivuilla on sama tehtävä, niin miten tehtävä ratkaistaan matemaattisella induktiolla?
202. Ari19.10.2021 klo 08:29
Onko kyseessä tämä?:https://youtu.be/QL6LKiYoWXQ
203. Jukkis19.10.2021 klo 09:00
Lainaus: 201. ++juh 19.10.2021 klo 00:28Kirjoitin yo:ksi keväällä 1979, jne.
-------------------------------------------------- -
Samat tehtävät. Ratkaisut tässä: https://imgur.com/a/F0pwFzc
Tekstin epäselvyys periytyy sellaisenaan Hesarin aikakoneesta.
204. ++juh19.10.2021 klo 12:51
Muistikuvani ovat näköjään sekoittuneet. Lukiossa me "harjoituskirjoitimme" matikan yo-kokeen joka syksy ja kevät heti, kun oikeista kirjoituksista sai poistua (ehkä klo 10 tai klo 12) ja tehtävät tulivat julkisiksi.Syksyn 1978 kokeen 8. tehtävähän ilmiselvästi haluaa tulla ratkaistuksi matemaattisella induktiolla, koska muuttujana on kokonaisluku.
205. Jukkis19.10.2021 klo 14:01
Eipä siinä induktiota ole käytetty: https://imgur.com/a/OYse6p1
206. ++juh19.10.2021 klo 14:54
Julkaistuissa malliratkaisuissa sitä induktioratkaisua ei kerrottu vaan se kuitattiin tekstillä "tai matemaattisella induktiolla" tms. Eikö moista tekstiä noissakaan malliratkaisuissa missään kohtaa ole?Höh! Olenko sitten vain nähnyt unta, että olisin ratkaissut jonkin yo-tehtävän matemaattisella induktiolla, mitä matikanopeni olisi kehunut elegantiksi ja kertonut ilmoittaneensa sen yo-lautakunnalle, ja vieläpä lukenut tuon tekstin Hesarin malliratkaisuista.
207. Jukkis19.10.2021 klo 15:13
Ei induktion häivääkään ole. Joskus tosiaan käy niin, että muistaa 42-43 vuoden takaisia asioita epätarkasti.
208. Jukkis19.10.2021 klo 15:42
Rupesin muistelemaan, että hyllyssähän mulla noita tehtäviä on kirjamuodossa, ja kun tarpeeksi kaiveli, niin löytyi tehtävät vuosilta 69-79. Menin läpi ratkaisut, ei mainittu induktiota kertaakaan. Tosin kirjassa on paha bugi, Ctrl-F ei toimi, joten voi olla että meni ohi, luultavasti kuitenkaan ei mennyt ohi.
209. eol19.10.2021 klo 15:58
Kyllähän tuo 8/1978S toki induktiollakin ratkeaa, vaikka mallivastauksessa siis käytetäänkin geometrisen sarjan summan kaavaa. Tosin induktioon nojautuminen nähdäkseni käytännössä johtaa siihen, että ratkaisusta tulee pitempi ja myös monimutkaisempi.
210. Jukkis19.10.2021 klo 17:52
Minusta tuossa induktion käyttö ilman että ensin käyttää geometrisen sarjan kaavaa on älytöntä. Ja sitten kun sitä geometrisen sarjan kaavaa on käyttänyt, niin induktion käyttö muuttuu älyttömäksi.
211. ++juh19.10.2021 klo 18:01
Jos tosiaan ratkaisin tuon 8/1978S:n induktiolla, niin ehkä matikantunneilla oli vähän ennen koetta käsitelty induktiota ja aloin innolla ratkaista tehtävää tuoreimmassa muistissa olevalla menetelmällä, jonka tiesin osaavani hyvin.Sen sijaan sarjojen kaavat eivät jostain syystä tarttuneet muistiini eivätkä ole koskaan kuuluneet aktiiviseen työkalupakkiini. Nytkin tuijottelin malliratkaisua pitkään yrittäen ymmärtää, miten summasta syntyy ensimmäisen yhtäsuuruusmerkin oikealla puolella oleva "himmeli", ennen kuin älysin lähteä hakemaan sarjojen kaavoja.
Eikö jo tuolloin pääkaupunkiseudulle jaettu Hesarin myöhempi painos kuin se, joka lähetettiin jo aiemmin maakuntiin? Joten olisiko viimeisen painoksen malliratkaisuihin lisätty induktio-teksti, ja arkiston skannaus olisi maakuntapainos.
212. eol19.10.2021 klo 18:27
Jos geometriset sarjat ovat hallussa ja summakaava muistissa tai edes saatavilla, niin totta kai sitä kannattaa minustakin tuossa tehtävässä käyttää. Induktiota pidän primitiivisempänä mutta yleiskäyttöisenä työkaluna, ja kyllä sillä esimerkiksi tuo tehtävä ratkeaa ongelmitta, vaikkakaan ei mielestäni erityisen elegantisti.
213. Jukkis19.10.2021 klo 20:28
Näköjään Ranta-Ekbom: Matematiikan taulukot -kirjassa ei ole geometrisen sarjan summakaavaa annettu. Tuota kirjaa sai käyttää yo-kirjoituksissa. Joten tosiaan jos ei ollut tuota kaavaa jäänyt päähän, niin ehkäpä sitten yritti induktiolla. Yritin nyt, mutta ei kyllä lähde. Vaikuttais menevän ihan tolkuttomaksi, en usko, että siitä kovin eleganttia saa.Mainio tuo taulukkokirja, löytyy mm. taulukoituna 1350 viisinumeroista satunnaislukua. Ja tietysti trig. funktioiden arvot ja niiden logaritmit, joita taulukoita käyttäen aikoinaan laskin kotipihan koordinaattien mukaiset auringon nousu- ja laskuajat.
214. eol20.10.2021 klo 14:33
Koetetaanpas nyt ratkaista tuo eilinen 8/1978S induktiolla. MerkitäänS(n) = 1/3 + 1/3^2 + ... + 1/3^n
P(n) = (3^n - 1)/3^(n+1)
Q(n) = (3^n - 1)/3^n
jolloin todistettava lause on
P(n) < S(n) < Q(n) kaikille n = 1, 2, ...
Induktion perusta: P(1) = 2/9 < S(1) = 1/3 < Q(1) = 2/3.
Oletetaan sitten, että P(k) < S(k) < Q(k) jollekin positiiviselle kokonaisluvulle k. Nyt riittää, että tämän induktio-oletuksen myötä pystytään todistamaan sekä P(k+1) < S(k+1) että S(k+1) < Q(k+1).
a) P(k+1) = (3^(k+1) - 1)/3^(k+2) = 1/3 - 1/3^(k+2) < 1/3 < S(k+1).
b) S(k+1) = S(k) + 1/3^(k+1) < Q(k) + 1/3^(k+1) = (3^k - 1)/3^k + 1/3^(k+1) = (3^(k+1) - 3 + 1)/3^(k+1) = (3^(k+1) - 2)/3^(k+1) < (3^(k+1) - 1)/3^(k+1) = Q(k+1).
Tässä voi vielä huomata sen, että induktio-oletusta itse asiassa tarvittiin vain b-kohdassa.
215. Jukkis20.10.2021 klo 15:56
No joo, olishan tuon voinut itsekin osata.Viestin 197 vastaushan on ln(n!)/ln(a). Luonnollisen logaritmin tilalla tuossa voi olla mitä tahansa kantalukua oleva logaritmi.
Sitten: On 9-numeroinen luku abcdefghi, jossa esiintyy kaikki numerot 1-9.
Pätee:
ab on jaollinen 2:lla
abc on jaollinen 3:lla
abcd on jaollinen 4:llä
abcde on jaollinen 5:llä
abcdef on jaollinen 6:lla
abcdefg on jaollinen 7:llä
abcdefgh on jaollinen 8:lla
abcdefghi on jaollinen 9:llä
Mikä on tuo luku?
216. eol20.10.2021 klo 18:44
Hep. Ilman ohjelmointia löytyi. Kyseisen luvun neliöjuuren 4., 5. ja 6. desimaali ovat 488.
217. Jaska20.10.2021 klo 21:29
Järjestyslukunsa mukaisten numeroiden summa on erään alkuluvun neliö.
218. Jaska20.10.2021 klo 21:53
Minulla on duaaliratkaisu, jossa kaksi ekaa numeroa vaihdetaan keskenään. Niiden desimaalit ovat 0509305 ja 4668766. Ratkaisuja on siis ainakin kolme.
219. Jaska20.10.2021 klo 21:58
Korjaan. vähintään neljä, koska kaksi ekaa numeroa voidaan aina vaihtaa keskenään.
220. Matti20.10.2021 klo 22:16
Jatketaan logaritmifunktion manipulointia. Mikä on seuraavan lausekkeen arvo, kun merkitään: n-kantainen logaritmi p:stä on log(n,p):log(a,b)*log(b,c)*log(c,d)*...*log(y,z)*log(z,a)?
221. eol20.10.2021 klo 23:38
Hep Matinkin tehtävään.
222. Jukkis21.10.2021 klo 09:27
Matille hep.Jaskan abc... -luvun ratkaisun oikeellisuutta vahvasti epäilen.
223. Jukkis21.10.2021 klo 11:21
... ja nyt kun kirjoitin ohjelman, joka hakee luvun, olen varma että Jaska on hakoteillä. Vain yksi ratkaisu on.
224. Matias-Myyrä21.10.2021 klo 11:26
Minäkin tein äsken ohjelman, joka hakee Jukkiksen (215) ongelmaan ratkaisun. Vain yksi luku löytyi ja eol:n (216) antamat desimaalit täsmäävät. Neliöjuuren kolmas desimaali on 5.
225. Jukkis21.10.2021 klo 11:42
Matin log-tehtävän vastauksen 4569:s desimaali on 0.
226. Jaska21.10.2021 klo 12:01
Olin eilisillalla muissa tehtävämaailmoissa. Eli ratkoin eri tehtävää. Sijoittuen tapaus serebraalihäiriötoimintotilastossani kärkipäähän.Mutta sehän poiki uuden tehtävän, josta olen jo antanut vihjeetkin. Siis mikä tehtävä ja mitkä kaksi ratkaisua? Panen nyt Jukkiksen tehtävän sille tarkoitettuun mietintämyssyyn.
227. TH21.10.2021 klo 12:06
Sinulle on annettu peukaloitu kolikko, jota heitettäessä tulee klaava todennäköisyydellä p. Miten voit kyseisellä kolikolla suorittaa puolueettoman arvonnan?
228. eol21.10.2021 klo 12:48
Jukkiksen abcdefghi-tehtävästä: Itse asiassa ilman ohjelmointiakin hakuavaruutta pystyi rajailemaan niin paljon, että kaikki mahdollisiksi jäävät vaihtoehdot saattoi käydä läpi. (Jos ei kukaan muu, niin minä varmaan avaan yksityiskohtia hieman myöhemmin.) Ja lopputulos oli tosiaan se, että ratkaisuja on tasan 1.
229. Jukkis21.10.2021 klo 13:18
Ilman ohjelmointia minäkin sen ratkaisin. Piti vaan tutkia tuo Jaskan väite neljästä ratkaisusta, vaikka ilman sitä varmistustakin se kyllä aika selvä oli. Ja aina on kiva kun saa ohjelmoida.
230. Jukkis21.10.2021 klo 13:22
TH:n kolikkotehtävä ennestään tuttu, joten hep.
231. Matti21.10.2021 klo 21:28
TH:lle hep.
232. Matti21.10.2021 klo 21:47
Logaritmitehtävän ratkaisu. Logaritmifunktion määritelmän mukaan b^ log(b,c)=c. Otetaan yhtälön molemmista puolista a-kantainen logaritmi, ja siirretään eksponentti logaritmin eteen kertoimeksi, jolloin saadaan log(b,c)*log(a,b)=log(a,c). Vaihdetaan vielä tulon tekijöiden järjestys: log(a,b)*log(b,c)=log(a,c).Sovelletaan tätä useita kertoja tehtävän lausekkeeseen. Huomataan, että logaritmit keskellä syövät toisensa niin että jäljelle jää vain reunimmaiset: log(a,z)*log(z,a)=log(a,a)=1.
eol ja jukkis ilmiselvästi saivat tämän tuloksen.
233. eol21.10.2021 klo 22:58
Hep TH:lle minultakin. Myös minulle tehtävä oli entuudestaan tuttu.
234. eol21.10.2021 klo 23:45
Matin logaritmitehtävän ratkaisua ehkä entisestään havainnollistaa sen "parafraseeraaminen" hieman toisin: Aloitetaan ratkaisu soveltamalla tulon jokaiseen tekijään kaavaa log(x1,x2) = ln(x2)/ln(x1). Syntyneestä murtolausekkeesta ln(b)*ln(c)*...*ln(z)*ln(a) / ln(a)*ln(b)*...*ln(y)*ln(z)
voidaan sitten triviaalisti supistaa pois sekä kaikki osoittajan tekijät että kaikki nimittäjän tekijät, joten jäljelle jää 1.
P.S. Luonnollisten logaritmien sijasta voitaisiin toki yhtä hyvin käyttää minkä tahansa kannan logaritmeja, sillä sovelletun kaavan yleisempi muoto on log(x1,x2) = log(x3,x2)/log(x3,x1).
235. eol21.10.2021 klo 23:59
P.P.S. Viimeksi mainitsemani yleisemmän kaavan johtaminen Matin esittämästä kaavasta log(b,c)*log(a,b)=log(a,c) on triviaalia.
236. Jaska22.10.2021 klo 11:56
Hep Jukkiksen kirjainpötkölle. ghi hyvin tuttu vakioveikkauksesta. Rajauksia: kunkin trion abc, def, ghi tulee olla jaollinen luvulla 3. abc:tä on laskujeni mukaan 24 kpl, def:ää 4 kpl (keskimmäinen 5 rajoitteena) ja ghi:tä 8 kpl (gh:n oltava jaollinen 8:lla rajoitteena). Ryhmien yhdistelyssä eliminoitui valtaosa lyhyellä vilkaisulla, tsekattavia jäi suht. vähän. Kalkulaattorin lyöntivirheet hidastuttivat hommaa, johon meni arviolta 4-5 tuntia. eolilla lienee ollut lyhyempiä oikoteitä.
237. TH22.10.2021 klo 19:21
Kolikkotehtävän (227.) ratkaisu:Heitä kolikkoa kaksi kertaa:
Jos tulos kruuna-klaava tulkitse se kruunaksi ja klaava-kruuna klaavaksi. Kruuna-kruunan tai klaava-klaavan tullessa yritä uudestaan, kunnes saat jommankumman ensiksi mainituista. Kruuna-klaava ja klaava-kruuna ovat tällöin yhtä todennäköisiä riippumatta siitä, miten kolikko painotettu.
238. Jaska22.10.2021 klo 21:22
TH, voitko selittää tarkemmin? Jos kolikko on painotettu, niin kruunan ja klaavan todennäköisyydet yhdelllä heitolla eivät ole 0,5 kummallekin. Olkoon painotus suhteessa 2-1 klaavan eduksi. Kuinka monta kahden heiton sarjaa keskimääri tarvitaan, että arvonta on puolueeton, so. kummankin tuloksen mahdollisuus on 0,5?
239. Ari23.10.2021 klo 09:20
Kolikkotehtävä:Kruuna&klaava = kruuna
Klaava&kruuna = klaava
Heitetään kaksi kertaa. Jos tulee jompi kumpi sarja, se on tulos. Jos tulee kaksi samaa peräkkäin, aloitetaan alusta.
240. Jaska23.10.2021 klo 11:07
Ari varmuuden vuoksi kertasi TH:n ilmoittaman tuloksen. Ymmärsin sen kyllä. Voisitko Ari vastata kysymykseeni 238, kiitos.
241. Ari23.10.2021 klo 11:42
Todennäköisyyttä ei voi sanoa, koska se riippuu heittotekniikasta. Jos heität tarkalleen tietyllä samalla tavalla, mikä on todellakin vaikeaa, voit saada peräkkäin vaikka sitä joka painotuksen mukaan olisi epätodennäköisempi.
242. Jaska23.10.2021 klo 11:47
Noin saattaa olla käytännössä. Tarkoitin teoreettista eli laskettavissa olevaa tilannetta, jossa heittotekniikka antaa satunnaisen tuloksen.
243. eol23.10.2021 klo 13:22
Minäkään en ole varma, ymmärränkö Jaskan kysymystä (238). Minusta nimittäin TH:n alkuperäinen vastaus on tyhjentävä. Etukäteen ei voida tietää, kuinka monta kahden heiton sarjaa arvonta vaatii, mutta "virtuaalinen kruuna" ja "virtuaalinen klaava" ovat kumpikin yhtä todennäköisiä arvontatuloksia. Joten koska arvonnan pituus on todennäköisyydellä 1 jokin äärellinen määrä kahden heiton sarjoja, niin virtuaalisen kruunan todennäköisyys on 1/2 ja virtuaalisen klaavan 1/2.Tarkastellaan vielä Jaskan mainitsemaa esime?kkitilannetta, jossa "fyysisen kruunan" todennäköisyys on 1/3 ja "fyysisen klaavan" 2/3. Tällöin kahden heiton sarjan eri mahdolliset tulokset todennäköisyyksineen ovat seuraavat, kun "fyysinen" ja "virtuaalinen" erotellaan toisistaan etuliitteillä F ja V:
FKruuna - FKruuna: arvonta jatkuu, 1/3 * 1/3 = 1/9
FKruuna - FKlaava: VKruuna, 1/3 * 2/3 = 2/9
FKlaava - FKruuna: VKlaava, 2/3 * 1/3 = 2/9
FKlaava - FKlaava: arvonta jatkuu, 2/3 * 2/3 = 4/9
244. Jukkis23.10.2021 klo 15:38
Jos todennäköisyydet on p ja q, niin sen, monennellako tuplaheitolla saadaan hyväksyttävä tulos (eri toinen on klaava ja toinen on kruuna) odotusarvo on 2/pq.Netistä löysin. Testasin simulaatiolla, noin se on.
245. TH23.10.2021 klo 16:24
Kiitos eol:lle ratkaisun avaamisesta. Jaskalle: painotetun kolikon todennäköisyydet kruunalle ja klaavalle on tässä oletettu tuntemattoksi, mutta kuitenkin kiinteiksi (olisi varmaan pitänyt mainita tehtävänannossa..). Heittotekniikasta tms. ei siis aiheudu vaihtelua "fyysisen klaavan" ja "fyysisen kruunan" todennäköisyyteen.
246. eol23.10.2021 klo 17:29
Laskeskelin käsin tuota tarvittavien tuplaheittojen määrän odotusarvoa (kun kruunan todennäköisyyys on p ja klaavan q):sum [k=0,...] (k+1) * 2pq(1-2pq)^k
= sum [n=0,...] sum [k=n,...] 2pq(1-2pq)^k
= sum [n=0,...] 2pq(1-2pq)^n/(1-(1-2pq))
= sum [n=0,...] (1-2pq)^n
= 1/(1-(1-2pq))
= 1 / 2pq
Jukkiksen tähän verrattuna jopa nelinkertainen tulos 2 / pq vaikuttaa aika suurelta: tasapainoisella kolikolla (p=q=1/2) tuplaheittojen määrän odotusarvoksi tulisi 8.
247. Jukkis23.10.2021 klo 17:42
Joo, en tiedä, miksi sen kakkosen tuossa osoittajaan laitoin. Siis 1/2pq on tosiaan kaava. Jolla myös laskin kun vertasin simulointeihin.
248. Jaska23.10.2021 klo 18:34
Pitää korjata epätäsmällistä muotoiluani 238. Lähtökohtahan on, että sekä kruunan että klaavan voittotodennäköisyys yksittäisessä kahden heiton arvonnassa on 0,5 riippumatta niiden todennäköisyydestä yhdellä heitolla. Tarkennettu kysymys 238. kuuluu: Kuinka monta kahden heiton arvontaa keskimäärin tarvitaan, että jompikumpi voittaa? Laskin sen näin: todennäköisyys pelin jatkumiselle kahden heiton jälkeen on 5/9 = 0,555555... Kaavalla log 0,5 / log 0,555555 saadaan tulos n. 0,179 arvontaa. Stemmaako?
249. eol23.10.2021 klo 18:48
Jos kruunan ja klaavan todenäköisyydet ovat 1/3 ja 2/3, niin tarvittavan tuplaheittomäärän odotusarvo on 1/(2 * 1/3 * 2/3) = 9/4 = 2,25. Ks. Jukkiksen ja minun postaukset tässä välissä.
250. Jaska23.10.2021 klo 18:58
Selvä, katsottu on. Täytyy tsekata omia laskelmia.
251. Jaska23.10.2021 klo 19:51
Olinpa siis toisissa kuin odotusarvon sfääreissä. Laskin siis 0,5 todennäköisyyttä jommankumman voitolle, mutta odotusarvolle se on vilpillinen tulos.Täytyyhän ne jatkossa esiintyvätkin todennäköisyydet ynnätä odotusarvoon. Pännii kuitenkin vain lievästi, koska Enon Vilpillä tuli mukava nousu.
252. Matti24.10.2021 klo 14:24
Jatketaan todennäköisyyslaskennan parissa. f1, f2, f3 ja f4 ovat samoin jakautuneita toisistaan riippumattomia satunnaissuureita. Tiheysfunktio on vakio 1 välillä [0,1]. Satunnaissuure M on näiden satunnaissuureiden maksimi. Mikä on M:n odotusarvo?
253. eol24.10.2021 klo 18:10
Palataan vielä hetkeksi hakuavaruuden rajaamiseen Jukkiksen abcdefghi-tehtävässä. (Tässä kuvattava rajaus on pitkälti Jaskan jo esittämä, mutta nähdäkseni vielä jonkin verran aggressiivisempi.) Jaollisuussääntöjen perusteella voidaan aluksi todeta seuraavat faktat:
1) e = 5, {b,d,f,h} = {2,4,6,8} ja {a,c,g,i} = {1,3,7,9}.
2) Koska 100 on jaollinen 4:llä, niin cd ja gh ovat jaollisia 4:llä. Ja koska c ja g ovat parittomia, niin tästä seuraa {d,h) = {2,6}. Siten lisäksi {b,f} = {4,8}.
3) Koska luku on jaollinen 3:lla jos ja vain jos sen numeroiden summakin on, niin jokaisen luvuista abc, def ja ghi numeroiden summa on 3:lla jaollinen.
Näiden faktojen avulla voidaan sitten suht helposti rajata mahdollisten eri abcdefghi-vaihtoehtojen määrä 20:een:
1) abc:lle löytyy 10 mahdollista eri vaihtoehtoa.
2) Kullekin mahdolliselle abc-vaihtoehdolle on täsmälleen 1 mahdollinen def-jatkovaihtoehto.
3) Kullekin mahdolliselle abcdef-vaihtoehdolle on täsmälleen 2 mahdollista ghi-jatkovaihtoehtoa.
254. Jaska24.10.2021 klo 19:09
Paljonkin omaani nopeampi oli eolin oikotie. Ne kaksi aivohäiriöratkaisuani ovat 918456723 ja 19456723. Laskin siis a+b, a+b+c jne. Useampiakin saattaa löytyä.
238. Osamäärän tarkoitus oli olla 1,179. Sekään ei ole oikein kolmella desimaalilla. Tarkistus tuotti tuloksen 0,176.
255. Jaska24.10.2021 klo 19:11
Jo nyt on ple sen nollan kummittelun kanssa. 1,176 tietenkin.
256. eol25.10.2021 klo 20:56
Hep Matin odotusarvotehtävään (252): vastaukseni neliöjuuren 3. ja 4. desimaali ovat 44. (Käytin brute force -menetelmää, eli jaoin 4-ulotteisen integrointiavaruuden 2^(4-1) = 8 palaan, joista jokaisen integroin sitten Wolfram Alphalla. Ja ensin harjoittelin laskemalla kokonaan käsin 2- ja 3-ulotteiset tapaukset.)
257. Katti25.10.2021 klo 21:14
eol, stemmaa oman vastaukseni kanssa. Vaan entäpä yleinen tapaus, kun näitä satunnaissuureita on n kappaletta?
258. eol25.10.2021 klo 21:27
Yleisen tapauksen ratkaisun pystynee jo noiden suorittamieni harjoitusten pohjalta arvaamaan. Vaan enpä ole ainakaan vielä ehtinyt miettiä, miten pystyisin kehittämään sille todistuksen.
259. eol26.10.2021 klo 02:06
Löytyihän se Matin klo 21:14 peräänkuuluttama todistus yleiselle ratkaisulle kun kyseisentyyppisiä satunnaissuureita on n kappaletta. (Tuo yllä kuvaamani brute force -mallinen integrointiavaruuden paloittelu 2^(n-1) palaan täytyi kyllä korvata näppärämmällä paloittelulla vain n palaan. Sen jälkeen yleisen kaavan todistamisesta tuli helppoa.)
260. Matti26.10.2021 klo 12:22
Suorastaan päässälaskuksi se tulee, kun tekee seuraavan havainnon. Todenn. että maksimi on pienempi kun x, M(x), on todenn. että kaikki fi:t ovat pienemmät kuin x, siis M(x) = F1(x)^n. M(x) ja F1(x) ovat siis kertymäfunktioita.Samalla tavalla saadaan odotusarvo j:nneksi suurimmalle fi:lle: Mi(x) = (n yli j)*F(1)^j*(1-F(1))^(n-j). Minimin odotusarvo on tietysti Mn(x) = (1-F1(x))^n.
261. Matti26.10.2021 klo 13:25
Lopussa pitää olla tietenkin " Minimin kertymäfunktio on ..."
262. Matti26.10.2021 klo 13:29
Höh, myös edellisessä lauseessa kysymyksessä on kertymäfunktio.
263. Matti26.10.2021 klo 22:25
Maksimitehtävän ratkaisu on siis: Jos M:n kertymäfunktio on M(x) ja fi:den yhteinen kertymäfunktio F1(x), on voimassa F1(x) = x ja M(x) = F1(x)^4 = x^4, koska M on pienempi kuin x täsmälleen silloin kun kaikki fi:t ovat pienemmät kuin x. M:n tiheysfunktio saadaan derivoimalla: 4x^3, ja kysytty odotusarvo integroimalla 0 to 1 x*4x^3 dx = 4/5. Yleistys n:n satunnaissuureen tapaukseen on selvä, M:n odotusarvo on n/(n+1).
264. eol27.10.2021 klo 00:39
Kyllä Matin tapa on näppärämpi kuin minun tavoistani yllä näppäräksi kehumani. Lasken nyt kuitenkin tällä minun tavallanikin tuon haetun odotusarvon n:n toisistaan riippumattoman jatkuvan satunnaismuuttujan x1,...,x(n) maksimille kun näillä satunnaismuuttujilla on sama tiheysfunktio f: f(x) = 1 kun x on välillä [0, 1] ja f(x) = 0 muutoin.Tulos pyritään saamaan integroimalla maksimi arvoalueiden muodostaman sivunpituuden 1 (ja siten myös hypertilavuuden 1) omaavan n-ulotteisen hyperkuution yli.
Paloitellaan hyperkuutio osiin. Tarkastellaan ensin sellaista palasta, joka koostuu niistä pisteistä, joissa maksimi = x(n). Tämän palasen osalta saadaan:
int [x1=0 to x(n), x2=0 to x(n), ..., x(n-1)=0 to x(n), x(n)=0 to 1] x(n) dx1 dx2 ... dx(n-1) dx(n)
= int [x(n)=0 to 1] x(n)^n dx(n)
= 1/(n+1)
Symmetrian ansiosta sama pätee jokaiselle muullekin samalla tavoin kutakin eri satunnaismuuttujaa x1, ..., x(n) kohden muodostetulle palaselle. Siten haettu odotusarvo on n * 1/(n+1) = n/(n+1).
265. Matti27.10.2021 klo 01:34
Ihan näppäräähän tuokin on, ei siinä mitään. Hyvä metodi muissakin yhteyksissä käytettäväksi. Ei kun työkalupakkiin.
266. Jaska28.10.2021 klo 19:44
Seuraavaa misääripasianssia pelataan tavallisella 52 kortin pakalla. Esimerkissä käytetään selvyyden vuoksi kahta pakkaa, jolloin pelin seuranta on helpompaa. Asetetaan toisen pakan kortit pöydälle maittain ja numeroittain järjestyksessä. Ässä on 1, kurko 13.pata 1-13
risti 1-13
ruutu 1-13
hertta 1-13
Sitten sekoitetaan toinen pakka pitkään ja huolellisesti, jotta korttien järjestys saadaan satunnaiseksi. Käännetään pakka ylöslaisin ja aletaan kääntää kortteja järjestyksessä. Jos ekaksi kortiksi osuu pataässä, peli päättyy siihen. Jos se ei ole pataässä, peli jatkuu. Tarkoitus on siis onnistua laistamaan pakan loppuun saakka alkuperäisen järjestyksen määräämät pelin lopettavat osumat.
Mikä on todennäköisyys pasianssin läpimenolle? Ilmoita kuudes, seitsemäs ja kahdeksas desimaali.
267. eol29.10.2021 klo 00:39
Sain Jaskan hakemiksi desimaaleiksi 944.
268. Jaska29.10.2021 klo 10:42
Oikein. Kysytään seuraavalta ratkojalta kolmas, neljäs ja viides desimaali.
269. Juhani Heino30.10.2021 klo 00:41
Mulla täsmää eol:in kanssa ja seuraavat pyydetyt ovat 787.
270. Juhani Heino30.10.2021 klo 00:46
Kun laskentaohjelma kerran oli esillä, kokeilin vielä. Ilmeisesti jo 12 kortin pakalla tulisi sama tulos, eol:in desimaaleihin asti siis.
271. eol30.10.2021 klo 02:47
Olen samaa mieltä, ja samaan tulokseen Juhani Heinon desimaaleihin asti päästäneen jo 9 kortin pakalla.
272. Matti30.10.2021 klo 09:07
Tehtävä ei vielä ole ajankohtainen, koska pikkujoulusesonki on vasta tulossa.
273. Jaska30.10.2021 klo 11:00
Yhdeksällä alkiolla kuudes desimaali on edelleen 9, mutta seitsemäs ja kahdeksas 18. Voi päätellä, että alkioiden määrän todennäköisyys x kasvaa himpun verran alkioiden määrän kasvaessa. Uusi tehtävä: mikä on x:n raja-arvo? Mahdollisia uusia ratkojia ajatellen aluksi vain hepitys.
274. Jaska30.10.2021 klo 12:38
Korjaan. Voi päätellä, että todennäköisyys x kasvaa himpun verran alkioden määrän kasvaessa.
275. eol30.10.2021 klo 12:39
Hep: tarkka arvo läpimenotodennäköisyyden raja-arvolle pakan koon kasvaessa löytyy kyllä. (Juhani Heinon antamat desimaalit siis tosiaan saadaan jo 9 kortin pakalla, ja minun antamani seuraavat lisädesimaalit taas jo 12 kortin pakalla.)Ainakin pakan koon N ollessa korkeintaan 12 pätee muuten seuraava: jos N on pariton, niin N+1 kortin pakan läpimenotodennäköisyys on suurempi kuin N kortin pakan; mutta jos N on parillinen, niin N+1 kortin pakan läpimenotodennäköisyys on pienempi kuin N kortin pakan.
276. Matti30.10.2021 klo 13:03
Luulin, että tässä on koko ajan pelattu raja-arvolla, kun korttien määrä kasvaa yli kaikkien rajojen. Nimittäin ongelma on vanha tuttu tältä palstalta joitakin vuosia taaksepäin, mutta vain eri asussa:Jokainen vie firman pikkujouluun lahjan. Se laitetaan konttiin, ja sieltä joulupukki jakaa ne satunnaisessa järjestyksessä. Millä todennäköisyydellä kukaan ei saa omaa lahjaansa?
Kai sen voi jo paljastaa, että ratkaisu on erään funktion Taylorin polynomi, ja raja-arvo sen Taylorin sarja.
277. Matti30.10.2021 klo 13:24
Samslla saa luonnollisen selityksen eol:n havainto 275, joka siis pätee kaikille N:n arvoille: sarja on alternoiva, eli etumerkit vaihtuvat vuoronperään. Katkaisuvirheen arvio on nyt helppoa, alternoivan sarjan katkaisuvirhe on itseisarvoltaan pienempi kuin ensimmäiseksi pois jätetty termi.
278. Jaska31.10.2021 klo 19:17
Tulkitsen Matin kaksi viestiä hepitykseksi. Kysytään vielä ennen ratkaisun paljastamista, mikä "duaali" on alternoinnin seuraus.
279. Matti31.10.2021 klo 23:10
En kyllä keksi.
280. Jaska31.10.2021 klo 23:55
Tarkoittamani duaali löytyy helposti taulukosta. 0
1, 1
2, 3, 1
9, 8, 6, 1
44, 45, 20, 10, 1
265, 264, 135, 40, 15, 1
1854, 1855, 924, 315, 70, 21, 1
14833, 14832, 7420, 2464, 630, 112, 28, 1
133496, 133497, 66744, 22260, 5544, 1134, 168, 36, 1
1334961, 1334960, 667485, 222480, 55650, 11088, 1890, 240, 45, 1
jne.
281. Matti1.11.2021 klo 00:56
Tämä on kai jokin Jascalin kolmioista, mutta pitemmälle en pääse. Sutii tyhjää. Voinet Jaska jo paljastaa.
282. Jaska1.11.2021 klo 11:12
Tasakylkinen suorakulmainen kolmiohan se tosiaan on neljän ekan rivin osalta, sitten lisääntyvä numeromäärä kaarruttaa hypotenuusan. Kullakin vaakarivillä on suuruusjärjestyksessä alkiomäärien n! jakauma kortipakka/pikkujoulupukkiprobleemassa.Ensimmäisessä pystysarakkeessa on kpl-määrä tulokselle 0, eli misääripasianssin onnistumiselle. Tai pikkujoulupukin jakamien lahjojen ollessa kaikille muu kuin itse tuomansa. Siis kymmenen lahjan tapauksessa 1334961/10! Tokassa pysrysarakkeessa on lukumäärä tulokselle 2 (1 voi toteutua), Kolmannessa tulokselle 3 itse tuomaa jne. Vaakarivin viimeinen numero 1 on siis tapaus, jossa jokainen saa pikkujoulupukilta oman lahjansa takaisin. Jos lahjoja on kymmenen, todennäköisyys on 1/10!
Taulukkoa voidaan jatkaa niin pitkälle kuin omat ja netin kalkulaattoreiden rahkeet riittävät. Kun alkioita on vain yksi, on lukumääräkombinaatioita luonnollisesti 0. Eka pysysarake rakentuu seuraavasti.
0
1 = 2*0 +1
2 = 3*1 -1
9 = 4*2 +1
44 = 5*9 -1
265 = 6*44 +1
1854 = 7*265 -1
jne.
Tarkoittamani alternaatio on siis +1 ja -1 vuorotellen ja samoin toisen sarakkeen lukumäärä vuorotellen +1 ja -1 ekasta. Se puolestaan tarkoittaa duaalia, eli kummankin raja-arvo on sama. Siis mikä?
283. Jaska1.11.2021 klo 11:21
P.S. Wolfram Alphan maksimi on 18 alkiota, 16-numeroinen tulos 2 355 301 661 033 953/18! Pääseekö jossain koneellisesti pitemmälle?
284. Jaska1.11.2021 klo 12:53
282. Sori sori jälleen, siinä on tolkutonta sekoilua. Synapsit käänsivät hetkellisesti ajatuksen käänteiseen taulukkoon, jossa eka sarake on yllä olevan viimeinen ja toka sarake toiseksi viimeinen. Esim. maksimin 10 jälkeen korkein tulos on 8, koska 9 on mahdoton. Tekstin piti olla: Tokassa pystysarakkeessa ovat tuloksen 1 lukumäärät. Eli tietenkin yhdelle pikkujouluilijalle voi osua itse tuotu lahja.
285. eol1.11.2021 klo 18:25
Lainaus: 283. Jaska 1.11.2021 klo 11:21"P.S. Wolfram Alphan maksimi on 18 alkiota, 16-numeroinen tulos 2 355 301 661 033 953/18! Pääseekö jossain koneellisesti pitemmälle?"
Kyllähän Wolfram Alphastakin saadaan (ja jopa erittäin helposti) ulos kyseisen pasianssin läpimenoon johtavien eri järjestysten määrä myös 52 kortin pakan tapauksessa:
29672484407795138298279444403649511427278111361911 893663894333196201
eli noin 2,9672 * 10^67
(Vastaava kaikkien eri järjestysten määrä on 52! = 80658175170943878571660636856403766975289505440883 277824000000000000
eli noin 8,0658 * 10^67.)
Millä tavalla tuo tulos sitten saadaan ulos? Vahva vinkki löytyy tästä samasta säikeestä vajaan kuukauden takaa :)
286. Jaska2.11.2021 klo 00:06
Pakko myöntää, että heikoin lenkki ei honannut vahvinta vinkkiä. Mutta ei se mitään, yllähän 52!:n kaikki 69 numeroa ovat framilla, ja ehkä myös kaikki läpimenon numerot. Yksi numero mahd. puuttuu. Tai tuli tahaton välilyönti.
287. eol2.11.2021 klo 01:00
Tuo "läpimenevien järjestysten" määrä N kortin pakalla on itse asiassa sama kuin Juhani Heinon viestissään 7.10. klo 00:16 käyttämä (ja myös selittämä) merkintä !N, jonka Wolfram Alphakin hyväksyy. Vielä pitemmälle meneviä lisätietoja löytyy vaikkapa täältä:https://en.m.wikipedia.org/wiki/Derangement
P.S. Pahoittelen edellisen viestini isojen lukujen rivinvaihto-ongelmia. Tässä vielä kumpikin luku kokonaisuudessaan (rivinvaihto aina 30 numeromerkin jälkeen):
!52 =
296724844077951382982794444036
495114272781113619118936638943
33196201
eli noin 2,9672 * 10^67
52! =
806581751709438785716606368564
037669752895054408832778240000
00000000
eli noin 8,0658 * 10^67
288. Jaska2.11.2021 klo 11:49
Toki Juhanin Heinon viestin huomasin ja ymmärsin 3!:n osalta. Siinä en kuitenkaan havainnut merkintää !N selityksineen. Arvelen eolin muistavan asiansiltä osin väärin, vai? Derangement siinä on mainittu, mutta en tajunnut panna sanaa hakuun. eolin linkistä löysin sitten kyseiset epäjärjestykset kolmeenkymmeneen alkioon saakka. Kalkulaattorilla kombinatorisesti kertolaskemalla ylsin siis kahdeksaantoista.Nyt siis pitäisi jokaisen kiinnostuneen kyetä kynsimään kysytty todennäköisyys esille yllä olevista eolin luvuista. Kymmenen ekaa numeroa riittää hyvin. Raja-arvon kekkaamiseen auttanee tuloksen käänteisluku.
289. eol2.11.2021 klo 12:29
Lainaus: 288. Jaska 2.11.2021 klo 11:49"Toki Juhanin Heinon viestin huomasin ja ymmärsin 3!:n osalta. Siinä en kuitenkaan havainnut merkintää !N selityksineen."
Seuraavasta lainauksestahan heti ensimmäiseltä riviltä löytyy !sqrt(9), jonka arvo siis on !3 = 2.
Lainaus: 119. Juhani Heino 7.10.2021 klo 00:16
"Jukkikselle rankka kikkailu: 9+9+!sqrt(9)
Viimeisessä osassa ensin otetaan neliöjuuri 9:stä. 3:lle otetaan sitten väärinjärjestysten määrä (derangement) joka on 2. Se tarkoittaa että kun on kolme alkiota, niiden järjestyksistä 123, 132, 213, 231, 312 ja 321 vain 231 ja 312 ovat sellaisia joissa kaikki alkiot ovat eri paikassa kuin alkuperäisessä järjestyksessä 123."
290. Jaska2.11.2021 klo 13:38
Joo kyllä NoiN oN. Etsin siis viestistä vain kirjamellisesti versaaliännää, mutta ei sitä näkökenttään osunut. Ei mitenkään uskomaton moka.
291. Jaska3.11.2021 klo 23:41
Eipä näy ilmoituksia eolin jaettavan ja jakajan osamäärästä. Se on kymmenellä desimaalilla 0,3678794412 (pyöristys). Raja-arvo puolestaan 1/e.
292. Matti8.11.2021 klo 22:31
Palaan vielä Jaskan pasianssitehtävään. Tehtävässä ei ole mitään ratkaistavaa jos tietää, että on olemassa derangement-funktio, jonka arvot saa matematiikkaohjelmalla. Tulos on !52/52!. Näen tuossa symmetrian kauneutta.Tilanne on eri jos tuota ei tiedä. Silloin tehtävässä on kovastikin ratkottavaa. Oma ratkaisuni on seuraava. Jos Q on todenn. että ainakin yksi numero tärppää, jolloin pasianssi ei mene, niin kysytty todenn. on 1-Q. Voidaan päätellä että jos qi on todenn. että i kertaa tärppää, niin qi = [1/n(n-1)(n-2)...(n-i+1)]*(n yli i) = 1/i!. Käytetää sitten seuraavaa joukko-opin kaavaa: jos A, B ja C ovat joukkoja, AuB A:n ja B:n unioni ja AB niiden leikkaus, ja jos mA on joukon A mitta, tai pinta-ala, tai todennäköisyys tms, niin m(AuB)=mA+mB-m(AB) ja m(AuBuC)=mA+mB+mC-m(AB)-m(BC)-
m(CA)+m(ABC), jne. useammille joukoille.
Näin ollen 1-Q=sum(i käy 0 to 52)(-1^i)/i!. Nyt eksponenttifunktion e^x Taylorin sarja on sum(i käy 0 to ääretön) x^i/i!. Sijoituksella x=-1 saadaan 1-Q:lle likiarvo 1/e.
Tuo summa suppenee "nopeasti", sekä siksi että sarja on alternoiva että siksi, että n! kasvaa "nopeast". Tarkka arvo saataisiin äärellisellä summalla i käy 0 to 52, se on juuri tuo rationaaliluku (eol 287) !52/52!. Likiarvon käyttäjä voi lohduttautua sillä, että siinä on alussa ainakin 69 oikeaa desimaalia.
293. Matti8.11.2021 klo 23:42
Lisätään nyt vielä tuohon, kun vauhtiin päästiin, että näin saadaan laskukaava derangement-funktiolle:Dr(n) = n!*sum(i käy 0 to n) (-1)^i/i!. Noinkohan esim. Wolfram alpha sen laskee?
294. eol9.11.2021 klo 00:05
Englanninkielinen Wikipedia ainakin antaa juuri tuon Matin johtaman sarjakehitelmän:https://en.m.wikipedia.org/wiki/Derangement#Counti ng_derangements
295. Jukkis9.11.2021 klo 13:50
2819+3456
-----
6275
-2349
-----
3926
Tuossa on laskettu yhteen kaksi lukua ja sitten vähennetty summasta kolmas luku. Tehtävä: Poista joka riviltä yksi numero niin, että syntyvien kolmenumeroisten lukujen merkityt laskutoimitukset pitävät edelleen paikkansa. Sitten poista joka riviltä yksi numero niin, että syntyvien kaksinumeroisten lukujen merkityt laskutoimitukset pitävät edelleen paikkansa. Sitten poista joka riviltä yksi numero niin, että syntyvien yksinumeroisten lukujen merkityt laskutoimitukset pitävät edelleen paikkansa. (Numeron poiston jälkeen syntyvä aukko tietysti suljetaan siirtämällä luvun numerot vierekkäin.)
296. Jukkis9.11.2021 klo 13:51
Äh, kun ei ole tasalevyinen fontti, niin tuo ei näytä hyvältä, pitäis tietysti olla järkevästi allekkain numerot, niinkuin ruutupaperilla olisi.
297. Juhani Heino9.11.2021 klo 14:30
Hep. Perinpohjaisesti en jaksanut tarkistaa, eli en tiedä onko muita ratkaisuja. Muutamia vaihtoehtoja toki karsiutui prosessin aikana.
298. Matti9.11.2021 klo 15:08
Tuo eolin Wkipediasta löytämä "!n = nearest integer to n!/e" on kyllä aika häkellyttävä havainto, ja varmaan helpoin tapa !n:n laskemiseksi. Vaikka tuleehan se suoraan likimääräisyhtälöstä !n/n! = 1/e.
299. Matias-Myyrä9.11.2021 klo 16:01
Jukkiksen tehtävään 295. hep!
300. Elva9.11.2021 klo 19:46
Jukkis, tehtävä 295. Hep.
301. Jukkis10.11.2021 klo 15:22
Tällaiset laskuthan tuosta muotoutuu:2819 + 3456 = 6275
6275 – 2349 = 3926
219 + 456 = 675
675 – 349 = 326
19 + 46 = 65
65 – 39 = 26
1 + 4 = 5
5 – 3 = 2
302. Matti18.11.2021 klo 23:21
Kokeillaanpa tällaista. On vääristetty arpanoppa, jonka numeroilla 1 - 6 voi olla aivan mitkä todennäköisyydet tahansa, kunhan nämä kuuluvat väliin [0,1] ja summautuvat ykköseen. Sitten on vielä toinenkin vääristetty noppa, omine sivun todennäköisyyksineen.Voidaanko nämä 12 todennäköisyyttä valita niin, että kun molemmat nopat heitetään kerran, niin mahdollisten summien 2, 3, 4, ... 12 todennäköisyydet ovat kaikki samat 1/11? Osoita joko esimerkillä että voidaan, tai todistamalla että ei voida.
303. Jaska19.11.2021 klo 12:50
Funtsataan lenkillä osoitusta, että voidaan.
304. Jaska19.11.2021 klo 17:13
Lenkillä valkeni hetkohta, että 1/11 * 36 ei ole 1, joten ei voida valita.
305. Jukkis19.11.2021 klo 20:25
Jaskalla taitaa olla hiukka epäselvää se, mitä kysyttiin.Eikös tässä systeemissä ole 12 tuntematonta ja 13 yhtälöä, joten taitaa ratkaisun olemassaolo olla tuuripeliä. Aika ikävän oloinen yhtälöryhmä ainakin näyttäis syntyvän. Näin pikaisesti katsellen, eri asia sitten menikö päättely oikein
306. Jaska19.11.2021 klo 21:43
Joo, 304. meni kyllä pieleen. Pisteyhdistelmiä on 36, mutta jokaisen todennäköisyys ei voi olla 1/11. Mutta 2 ja 12 voivat olla, kun 1:n ja 12:n todennäköisyys molemmissa nopissa A ja B on neliöjuuri 1/11:sta. Mutta sitten tulee tenkkapoo. 3 saadaan yhdistelmillä A1 + B2 sekä A2 + B1. Mutta jotta 3:n tod.näk. olisi 1/11, pitää myös A2:n ja B2:n tod. näk. olla neliöjuuri 1/11:sta ja jatkossa kaikkien muidenkin pistesummien kanssa sama juttu. A:n ja B:n pistelukujen todennäköisyyksien pitää siis olla erisuuret ja tietysti pienempiä kuin neliöjuuri 11:sta. Vaaditut yhtälöt eivät ainakaan minulta onnistu. Pitäydyn silti oletuksessani "Ei voida valita."
307. Jaska19.11.2021 klo 22:32
Korjaus. 12:n todennäköisyydessa 1/11 = 0,909090... on kummankin nopan 6:n todenäköisyys neliöjuuri 11 = 0,3015...
308. Jaska19.11.2021 klo 23:06
Huoh, neliöjuuri 1/11:sta koko ajan tietenkin.
309. eol21.11.2021 klo 17:09
Jos arpanopissa olisi 6 mahdollisen numeron sijasta vain 2 numeroa, eli kyseessä olisivat kolikot joille kruuna = 1 ja klaava = 2, niin vastaavan "todennäköisyysvalinnan" mahdottomuuden todistaminen näyttää suht suoraviivaiselta. Mutta 6-numeroisten noppien tapauksessa muuttujien ja yhtälöiden määrä on tosiaan ikävän suuri... Pitää miettiä vielä.
310. Jaska21.11.2021 klo 19:30
Ihan suoraviivaisesti näkee, kahden heiton summat vaihtoehdoin 1 ja 2 ovat 2, 3, 3, 4. Jos summille 2 ja 4 saadaan todennäköisyydet 1/3 millä tahansa 1:n ja 2:n todennäköisyydellä, eii summan 3 todennäköisyys voi olla millään 1:n ja 2:n todennäköisyysvariaatioilla 1/3. Miksi vaatimus voisi toteutua kuudella tai millään vaihtoehdolla?
311. eol21.11.2021 klo 22:09
Seuraavassa todistuksessa näytetään, että oletus haetunkaltaisen "todennäköisyysvalinnan" olemassaolosta johtaa ristiriitaan.Oletetaan, että haetunkaltainen valinta on olemassa. Olkoon siinä ykkösnopalla numeron 1 todennäköisyys a ja numeron 6 todennäköisyys A, ja olkoon kakkosnopalla numeron 1 todennäköisyys b ja numeron 6 todennäköisyys B. Tällöin silmälukusummien 2, 12 ja 7 kohdilta saadaan (merkintä < = tarkoittaa tietysti "pienempi tai yhtä suuri kuin"):
ab = 1/11 eli b = 1/(11a)
AB = 1/11 eli B = 1/(11A)
aB + Ab < = 1/11
Muokataan sitten saatua epäyhtälöä:
a/(11A) + A/(11a) < = 1/11
a^2/(11aA) + A^2/(11aA) < = aA/(11aA)
Koska 11aA on positiivinen (sillä sekä a että A ovat positiivisia), niin kerrotaan sillä epäyhtälön molemmat puolet ja saadaan:
a^2 + A^2 < = aA
a^2 - 2aA + A^2 < = - aA
(a - A)^2 < = - aA
Tämä on ristiriita, koska viimeisimmän epäyhtälön vasen puoli on neliönä ei-negatiivinen mutta oikea puoli on negatiivinen.
312. Matti22.11.2021 klo 22:58
Kyllä vaan. Tuo oli minunkin todistukseni.
313. Jaska23.11.2021 klo 13:44
Yhtälötön päätelmä. Nopanheitossa kunkin silmäluvun todennäköisyys on 1/6. Kahden nopan heitossa (tai yhden nopan kahdesti) on kunkin silmälukujen summakombinaation todennäköisyys siten 1/36. Jos määrätyn silmäluvun todennäköisyys muutetaan, muuttuu myös yhden tai useamman muun silmäluvun todennäköisyys muuksi kuin 1/6. Poikkeamasta seuraa aksiomaattisesti, että kaikkien summakombinaatioiden todennäköisyys ei voi olla sama.
314. Juhani Heino1.1.2022 klo 01:20
Onko mahdollista piirtää kolmio niin, että kaikki kärkipisteet ovat eri kokonaiskoordinaateissa ja kaikki sivut ovat yhtä pitkiä? Eli kolmio on tasasivuinen. Tasakylkinen on helppo tehdä, eli sellainen jossa kaksi sivua on yhtä pitkiä. Esimerkkinä pisteet (0,0), (0,2), (1,1)Siis joko esimerkki tuollaisesta kolmiosta tai todistus ettei sellaista olekaan.
315. Jaska1.1.2022 klo 20:14
Ei sellaista ole. Olkoot pisteet nuo Juhani Heinon antamat ja sivu AB x-akselilla. Tasasivuisen kolmion korkeus ei voi olla kokonaisluku, koska kolmannen kärkipisteen C:n korkeuskoordinaatti on yli 1 ja alle 2. Entä jos AB ei ole kokonaisluku? Ei merkitystä, mulkataan vain koordinaatisto sopivaksi.
316. Matti1.1.2022 klo 20:38
Joo, ei ole mahdollista. Tehtävä on vanha klassikko, joka ratkeaa tangentin yhteenlaskukaavaa soveltamalla. Netistä löytyy. Esim. Integer coefficients.
317. Juhani Heino2.1.2022 klo 00:53
Juuri noin. Itse lähestyin näin: laitetaan yksi kärkipiste origoon (0,0) koska minkä tahansa kolmionhan voi siirtää siten. Jos kahden muunkin pisteen molemmat koordinaatit ovat parilliset, silloin kolmio voidaan pienentää puolikkaaksi ja täsmälleen samanmuotoiseksi. Näin jatketaan ja jossain vaiheessa jokin koordinaatti on pariton. Sen jälkeen osoitetaan erilaisilla pariton-parillinen-yhdistelmillä ettei voi olla yhtä pitkiä. Pituuden neliöhän tulee Pythagoraan lauseen mukaisesti x-siirtymän neliön ja y-siirtymän neliön summana.
318. Matti20.1.2022 klo 21:41
Yksinkertainen pandemian leviämismalli.Olkoon y(t) hetkellä t yhdyskunnassa tartunnan saaneiden henkilöiden osuus. y(t) on siis välillä [0,1]. Tehdään seuraavat oletukset:
- Yhdyskunta on suljettu. Tarkastelujaksolla kukaan ei synny eikä kuole, ja kukaan ei muuta sinne tai sieltä pois.
- Tartunnan saanut tartuttaa itse koko tarkastelujakson ajan.
- Tartuntavauhti, siis tartunnan saaneiden osuus per vuorokausi on suoraan verrannollinen kaikkien tartunnan
saaneiden ja kaikkien vielä terveiden osuuksien tuloon, verrannollisuuskerroin on k, ja sen dimensio on
[k]=1/vuorokausi.
Viimeinen oletus on järkeenkäyvä, mitä enemmän on tartuttajia ja terveitä, sitä kiivaampi on tartuntavauhti.
Kysytään nyt, että mikä on funktio y(t), ja mikä on tartuntavauhdin funktio ajan suhteen. Olkoon y(0)=1/2.
Suomessa sairastuu nyt n. 8000 henkeä/vrk. Väkiluku olkoon 5,6 miljoonaa. Jos oletetaan, että tämä on tartuntavauhdin maksimi, saadaan k=1/175vrk. Kauanko kestää, että tartunta-asteesta 0,1 edetään asteeseen 0,9?
319. Jukkis28.1.2022 klo 14:12
Tämä muistui mieleen ja kun rupesin miettimään niin heti ymmärrys loppui, koska en tajua noita lopussa olevia lukuarvoja. Jos tartunta-aste nyt on y=0.1 ja k=1/175, niin eikö silloin vuorokautisten tartuntojen määrä ole(0.1*0.9/175)*5600000 = 2880
Jos on y=0.1 niin jotta tulisi 8000 tartuntaa, pitäisi olla k=1/63:
(0.1*0.9/63)*5600000 = 8000
Jos on k=1/175, niin jotta tulisi 8000 tartuntaa, pitäisi olla y=0.5:
(0.5*0.5/175)*5600000 = 8000
Vai enkö vaan ymmärrä?
320. Matti28.1.2022 klo 21:59
Jukkis, ymmärrätpä hyvinnii. Tartuntamaksimi on selvästi silloin kun y=1-y=0,5. Sijoittamalla saadaan k=1/175. Kun y=0,1 ja k=1/175, saadaan sijoittamalla tartuntavauhdiksi 2880 henkeä/vrk, juuri kuten sanoit.
321. Jukkis28.1.2022 klo 22:05
OK, yhtä aikaa ymmärsin ja olin ymmärtämättä. Pitää huomenna miettiä lisää.
322. Jukkis30.1.2022 klo 21:13
En jaksanut vääntää yhtälöitä riittävästi, joten simuloin ja sain tulokseksi että 771 vrk kestää että tartunta-asteesta 0,1 edetään asteeseen 0,9. Uskoisko tuota?
323. Matti31.1.2022 klo 00:59
Vähiin jäi tehtävään osoitettu mielenkiinto. Ilmeisesti sivustolla ollaan palaamassa juurille, verbaali-iloitteluun. Hyvä niin.Tässä ratkaisu. Tartuntavauhti on tartunnan saaneiden osuuden aikaderivaatta. Kolmannen oletuksen mukaan
dy/dt=ky(1-y). Kyseessä on ensimmäisen kertaluvun separoituva differentiaaliyhtälö, joka ratkeaa suoraan yhdellä integroinnilla. Ehdon y(0)=0,5 täyttävä ratkaisu on, sievennysten jälkeen, y(t)=1/(1+exp(-kt)). Tartuntavauhti saadaan derivoimalla, tai myös sijoittamalla yo diff-yhtälöön y(t), joten dy/dt=k*exp(-kt)/(1+exp(-kt))^2. Ratkaisemalla y(t):n yhtälösta t y:n funktiona saadaan t=(1/k)*ln(y/(1-y)).
y on symmetrinrn pisteen (0,1/2) suhteen. Sijoittamalla k=1/175vrk saadaan t(90%)=384,5 vrk, ja kun kerrotaan tämä vielä kahdella saadaan ajalle 10%-90% arvo 769 vrk. Kokolailla nappiin siis Jukkiksen simulointi osui!
Piirtäisikö joku aijaahan y(t):n ja dy/dt:n kuvaajat. Edellinen muistuttaa kovin horr... siis errorfunktiota, ja jälkimmäinen Gaussin kellokäyrää. Aivan järkeenkäyvät tulokset.
324. Jukkis31.1.2022 klo 11:06
Pikaisesti Excelillä:https://imgur.com/a/me0yOAo
325. Matti31.1.2022 klo 17:05
Kiitos Jukkis!
326. Jukkis31.1.2022 klo 20:53
Vaikkapa perusgeometriaa välillä.Kuva: https://imgur.com/a/JYwQquE
Ympyrän sisään on piirretty mielivaltainen nelikulmio ABCD. Kuvassa on kuusi janaa eli nelikulmion sivut ja lävistäjät, a - f.
Osoita että janojen pituuksille pätee
a*c+b*d=e*f
327. Jaska1.2.2022 klo 11:42
En osoita, vaikka on tutunoloinen kuvio. Varmaan helppo nakki pitkän matikan lukeneille. Lunttaan netistä. Nyt vartin päästä en enää muista todistusta:-(
328. Jaska2.2.2022 klo 12:00
Kekkasinpa ihan simppelin todistuksen (taas ainakin itselleni) Ptolemaioksen lauseelle ilman mitään kirjainpötkojä.
329. Jukkis2.2.2022 klo 13:23
"...ilman mitään kirjainpötkojä".No täällä
https://imgur.com/a/gZLxUTu
on kuva ilman kirjaimia. Tuosta simppeli todistus Ptolemaioksen lauseelle ilman kirjainpötköjä.
330. Jaska2.2.2022 klo 23:01
Kuvaa ei tarvita. Nelikulmiot voidaan neliöidä. Jänteet pitenevät ja lyhenevät vastaavasti. Eli luku 2 saadaan äärettömän monena kahden yhteenlaskettavan summana, jotka kumpikin ovat kahden kerrottavan tuloja.
331. Jukkis3.2.2022 klo 10:59
Neliön pinta-ala on se kaikkien sivujen tulon neliöjuuri, pätee tietysti myös ympyrän sisään piirretyllä neliöllä. Koska nelikulmiot voidaan neliöidä, niin ympyrän sisään piirretyn nelikulmion pinta-ala on sen sivujen tulon neliöjuuri. Vai?
332. Jaska3.2.2022 klo 12:35
Heh, joo, jos kaikkien sivujen pituus on 1. Ja sellainen nelkulmio onkin sehän neliö. Pätee myös ympyrän ulkopuolelle piirrettyyn neliöön.Ilman sarvia ja hampaita eilinen ei tietenkään ollut todistus, vaan seuraamus todistuksesta. Kun määritetään mitkä tahansa neljä pistettä ympyrän kehältä, niiden yhdysjanat eli ympyrän jänteet muodostavat P:n lauseen toteuttavan nelikulmion. Ja ilman ympyrääkin lause on totta...
333. Matti4.2.2022 klo 18:18
Jaska 328 tiesi Jukkiksen 326 pulman nimen. Ratkaisu on suoraan kuukkeloitavissa. En sanoisi sitä aivan yksinkertaiseksi.
KOMMENTOI